Theorem en2eqpr 6575

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6416	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 2𝑜 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
2	1	biimpi 118	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 2𝑜 → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
3	2	3ad2ant1 962	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
4	3	adantr 270	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜)
5		simplr 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
6		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
8		f1of1 5215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜 → 𝑓:𝐶–1-1→2𝑜)
9	8	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝑓:𝐶–1-1→2𝑜)
10	9	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑓:𝐶–1-1→2𝑜)
11		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12		simpll3 982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐵 ∈ 𝐶)
13	12	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
14		f1fveq 5512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2𝑜 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
15	10, 11, 13, 14	syl12anc 1170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
16	15	ad2antrr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
17	7, 16	mpbid 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 = 𝐵)
18		prid2g 3530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
20	19	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
21	17, 20	eqeltrd 2161	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		simpllr 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
23		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
24	22, 23	eqtr4d 2120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
25		simpll2 981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐴 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27		f1fveq 5512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2𝑜 ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
28	10, 11, 26, 27	syl12anc 1170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
29	28	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
30	24, 29	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 = 𝐴)
31		prid1g 3529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33	32	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
34	30, 33	eqeltrd 2161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
35		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐴) = 1𝑜)
36		simplr 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐵) = 1𝑜)
37	35, 36	eqtr4d 2120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
38		simplr 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
40		f1fveq 5512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2𝑜 ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	9, 25, 12, 40	syl12anc 1170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	39, 41	mtbird 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
43	42	ad4antr 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
44	37, 43	pm2.21dd 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
45		f1of 5216	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜 → 𝑓:𝐶⟶2𝑜)
46	45	adantl 271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝑓:𝐶⟶2𝑜)
47	46, 25	ffvelrnd 5398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → (𝑓‘𝐴) ∈ 2𝑜)
48		elpri 3454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
49		df2o3 6149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
50	48, 49	eleq2s 2179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ 2𝑜 → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
52	51	ad3antrrr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
53	34, 44, 52	mpjaodan 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
54	46, 12	ffvelrnd 5398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → (𝑓‘𝐵) ∈ 2𝑜)
55		elpri 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
56	55, 49	eleq2s 2179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ 2𝑜 → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
57	54, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
58	57	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
59	21, 53, 58	mpjaodan 745	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
60		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
61		simplr 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
62	60, 61	eqtr4d 2120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
63	42	ad4antr 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
64	62, 63	pm2.21dd 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
65		simpllr 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = 1𝑜)
66		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐴) = 1𝑜)
67	65, 66	eqtr4d 2120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
68	28	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
69	67, 68	mpbid 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 = 𝐴)
70	32	ad3antrrr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
71	69, 70	eqeltrd 2161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
72	51	ad3antrrr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1𝑜))
73	64, 71, 72	mpjaodan 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
74		simplr 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = 1𝑜)
75		simpr 108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → (𝑓‘𝐵) = 1𝑜)
76	74, 75	eqtr4d 2120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
77	15	ad2antrr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
78	76, 77	mpbid 145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 = 𝐵)
79	19	ad2antrr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
80	78, 79	eqeltrd 2161	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
81	57	ad2antrr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1𝑜))
82	73, 80, 81	mpjaodan 745	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
83	46	ffvelrnda 5397	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑓‘𝑥) ∈ 2𝑜)
84		elpri 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ {∅, 1𝑜} → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜))
85	84, 49	eleq2s 2179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 2𝑜 → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜))
86	83, 85	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1𝑜))
87	59, 82, 86	mpjaodan 745	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
88	87	ex 113	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
89	88	ssrdv 3020	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐶 ⊆ {𝐴, 𝐵})
90		prssi 3578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
91	25, 12, 90	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
92	89, 91	eqssd 3031	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2𝑜) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
93	4, 92	exlimddv 1823	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
94	93	ex 113	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2𝑜 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∧ w3a 922   = wceq 1287  ∃wex 1424   ∈ wcel 1436   ≠ wne 2251   ⊆ wss 2988  ∅c0 3275  {cpr 3432   class class class wbr 3820  ⟶wf 4977  –1-1→wf1 4978  –1-1-onto→wf1o 4980  ‘cfv 4981  1_𝑜c1o 6128  2_𝑜c2o 6129   ≈ cen 6407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-suc 4172  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-1o 6135  df-2o 6136  df-en 6410

This theorem is referenced by:  exmidpw  6576  en2eleq  6765  isprm2lem  10973