Theorem en2eqpr 6809

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 2o ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
2	1	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 2o → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
3	2	3ad2ant1 1003	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
4	3	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
5		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
6		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
8		f1of1 5374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2o → 𝑓:𝐶–1-1→2o)
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝑓:𝐶–1-1→2o)
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑓:𝐶–1-1→2o)
11		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12		simpll3 1023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐵 ∈ 𝐶)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
14		f1fveq 5681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2o ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
15	10, 11, 13, 14	syl12anc 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
16	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
17	7, 16	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 = 𝐵)
18		prid2g 3636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
20	19	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
21	17, 20	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
23		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
24	22, 23	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
25		simpll2 1022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐴 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27		f1fveq 5681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2o ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
28	10, 11, 26, 27	syl12anc 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
29	28	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
30	24, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 = 𝐴)
31		prid1g 3635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33	32	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
34	30, 33	eqeltrd 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
35		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐴) = 1o)
36		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐵) = 1o)
37	35, 36	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
38		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
40		f1fveq 5681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2o ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	9, 25, 12, 40	syl12anc 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	39, 41	mtbird 663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
43	42	ad4antr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
44	37, 43	pm2.21dd 610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
45		f1of 5375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2o → 𝑓:𝐶⟶2o)
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝑓:𝐶⟶2o)
47	46, 25	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → (𝑓‘𝐴) ∈ 2o)
48		elpri 3555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
49		df2o3 6335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o = {∅, 1o}
50	48, 49	eleq2s 2235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ 2o → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
52	51	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
53	34, 44, 52	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
54	46, 12	ffvelrnd 5564	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → (𝑓‘𝐵) ∈ 2o)
55		elpri 3555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
56	55, 49	eleq2s 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ 2o → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
57	54, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
58	57	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
59	21, 53, 58	mpjaodan 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
60		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
61		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
62	60, 61	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
63	42	ad4antr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
64	62, 63	pm2.21dd 610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
65		simpllr 524	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = 1o)
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐴) = 1o)
67	65, 66	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
68	28	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
69	67, 68	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝑥 = 𝐴)
70	32	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
71	69, 70	eqeltrd 2217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
72	51	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
73	64, 71, 72	mpjaodan 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
74		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = 1o)
75		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → (𝑓‘𝐵) = 1o)
76	74, 75	eqtr4d 2176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
77	15	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
78	76, 77	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝑥 = 𝐵)
79	19	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
80	78, 79	eqeltrd 2217	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
81	57	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
82	73, 80, 81	mpjaodan 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
83	46	ffvelrnda 5563	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑓‘𝑥) ∈ 2o)
84		elpri 3555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1o))
85	84, 49	eleq2s 2235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 2o → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1o))
86	83, 85	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1o))
87	59, 82, 86	mpjaodan 788	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
88	87	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
89	88	ssrdv 3108	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐶 ⊆ {𝐴, 𝐵})
90		prssi 3686	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
91	25, 12, 90	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
92	89, 91	eqssd 3119	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
93	4, 92	exlimddv 1871	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
94	93	ex 114	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  {cpr 3533   class class class wbr 3937  ⟶wf 5127  –1-1→wf1 5128  –1-1-onto→wf1o 5130  ‘cfv 5131  1_oc1o 6314  2_oc2o 6315   ≈ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-2o 6322  df-en 6643

This theorem is referenced by:  exmidpw  6810  en2eleq  7068  isprm2lem  11833