Theorem en2eqpr 6881

Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2eqpr	⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr

Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≈ 2o ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
2	1	biimpi 119	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ≈ 2o → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
3	2	3ad2ant1 1013	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
4	3	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o)
5		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
6		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
7	5, 6	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
8		f1of1 5439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2o → 𝑓:𝐶–1-1→2o)
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝑓:𝐶–1-1→2o)
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑓:𝐶–1-1→2o)
11		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
12		simpll3 1033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐵 ∈ 𝐶)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ 𝐶)
14		f1fveq 5748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2o ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
15	10, 11, 13, 14	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
16	15	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
17	7, 16	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 = 𝐵)
18		prid2g 3686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
19	13, 18	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
20	19	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
21	17, 20	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
22		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = ∅)
23		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
24	22, 23	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
25		simpll2 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐴 ∈ 𝐶)
26	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27		f1fveq 5748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2o ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
28	10, 11, 26, 27	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
29	28	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
30	24, 29	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 = 𝐴)
31		prid1g 3685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
32	26, 31	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
33	32	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
34	30, 33	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
35		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐴) = 1o)
36		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐵) = 1o)
37	35, 36	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
38		simplr 525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐴 ≠ 𝐵)
39	38	neneqd 2361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
40		f1fveq 5748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓:𝐶–1-1→2o ∧ (𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
41	9, 25, 12, 40	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ((𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
42	39, 41	mtbird 668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
43	42	ad4antr 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
44	37, 43	pm2.21dd 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
45		f1of 5440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝐶–1-1-onto→2o → 𝑓:𝐶⟶2o)
46	45	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝑓:𝐶⟶2o)
47	46, 25	ffvelrnd 5629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → (𝑓‘𝐴) ∈ 2o)
48		elpri 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
49		df2o3 6406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2o = {∅, 1o}
50	48, 49	eleq2s 2265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐴) ∈ 2o → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
51	47, 50	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
52	51	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
53	34, 44, 52	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
54	46, 12	ffvelrnd 5629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → (𝑓‘𝐵) ∈ 2o)
55		elpri 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
56	55, 49	eleq2s 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ 2o → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
57	54, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
58	57	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
59	21, 53, 58	mpjaodan 793	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
60		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = ∅)
61		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
62	60, 61	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
63	42	ad4antr 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → ¬ (𝑓‘𝐴) = (𝑓‘𝐵))
64	62, 63	pm2.21dd 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
65		simpllr 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = 1o)
66		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝐴) = 1o)
67	65, 66	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴))
68	28	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
69	67, 68	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝑥 = 𝐴)
70	32	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
71	69, 70	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) ∧ (𝑓‘𝐴) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
72	51	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → ((𝑓‘𝐴) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐴) = 1o))
73	64, 71, 72	mpjaodan 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
74		simplr 525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = 1o)
75		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → (𝑓‘𝐵) = 1o)
76	74, 75	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵))
77	15	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → ((𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
78	76, 77	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝑥 = 𝐵)
79	19	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
80	78, 79	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) ∧ (𝑓‘𝐵) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
81	57	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) → ((𝑓‘𝐵) = ∅ ∨ (𝑓‘𝐵) = 1o))
82	73, 80, 81	mpjaodan 793	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ (𝑓‘𝑥) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
83	46	ffvelrnda 5628	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑓‘𝑥) ∈ 2o)
84		elpri 3604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1o))
85	84, 49	eleq2s 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ 2o → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1o))
86	83, 85	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑓‘𝑥) = ∅ ∨ (𝑓‘𝑥) = 1o))
87	59, 82, 86	mpjaodan 793	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
88	87	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
89	88	ssrdv 3153	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐶 ⊆ {𝐴, 𝐵})
90		prssi 3736	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
91	25, 12, 90	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
92	89, 91	eqssd 3164	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑓:𝐶–1-1-onto→2o) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
93	4, 92	exlimddv 1891	. 2 ⊢ (((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
94	93	ex 114	1 ⊢ ((𝐶 ≈ 2o ∧ 𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐵 → 𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703   ∧ w3a 973   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {cpr 3582   class class class wbr 3987  ⟶wf 5192  –1-1→wf1 5193  –1-1-onto→wf1o 5195  ‘cfv 5196  1_oc1o 6385  2_oc2o 6386   ≈ cen 6712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1o 6392  df-2o 6393  df-en 6715

This theorem is referenced by:  exmidpw  6882  en2eleq  7159  isprm2lem  12057