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Theorem en2eqpr 6936
Description: Building a set with two elements. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2eqpr ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem en2eqpr
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6774 . . . . . 6 (𝐶 ≈ 2o ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2o)
21biimpi 120 . . . . 5 (𝐶 ≈ 2o → ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2o)
323ad2ant1 1020 . . . 4 ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2o)
43adantr 276 . . 3 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐶1-1-onto→2o)
5 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → (𝑓𝑥) = ∅)
6 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → (𝑓𝐵) = ∅)
75, 6eqtr4d 2225 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐵))
8 f1of1 5479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐶1-1-onto→2o𝑓:𝐶1-1→2o)
98adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝑓:𝐶1-1→2o)
109adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑓:𝐶1-1→2o)
11 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
12 simpll3 1040 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝐵𝐶)
1312adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵𝐶)
14 f1fveq 5794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐶1-1→2o ∧ (𝑥𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
1510, 11, 13, 14syl12anc 1247 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
1615ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
177, 16mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝑥 = 𝐵)
18 prid2g 3712 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝐶𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
1913, 18syl 14 . . . . . . . . . 10 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
2019ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
2117, 20eqeltrd 2266 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
22 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝑥) = ∅)
23 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐴) = ∅)
2422, 23eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐴))
25 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝐴𝐶)
2625adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
27 f1fveq 5794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐶1-1→2o ∧ (𝑥𝐶𝐴𝐶)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
2810, 11, 26, 27syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
2928ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
3024, 29mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝑥 = 𝐴)
31 prid1g 3711 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐶𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3226, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3332ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
3430, 33eqeltrd 2266 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
35 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → (𝑓𝐴) = 1o)
36 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → (𝑓𝐵) = 1o)
3735, 36eqtr4d 2225 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
38 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝐴𝐵)
3938neneqd 2381 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
40 f1fveq 5794 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐶1-1→2o ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → ((𝑓𝐴) = (𝑓𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
419, 25, 12, 40syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → ((𝑓𝐴) = (𝑓𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4239, 41mtbird 674 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → ¬ (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
4342ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → ¬ (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
4437, 43pm2.21dd 621 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
45 f1of 5480 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝐶1-1-onto→2o𝑓:𝐶⟶2o)
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝑓:𝐶⟶2o)
4746, 25ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → (𝑓𝐴) ∈ 2o)
48 elpri 3630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝐴) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1o))
49 df2o3 6456 . . . . . . . . . . . 12 2o = {∅, 1o}
5048, 49eleq2s 2284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝐴) ∈ 2o → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1o))
5147, 50syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1o))
5251ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1o))
5334, 44, 52mpjaodan 799 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
5446, 12ffvelcdmd 5673 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → (𝑓𝐵) ∈ 2o)
55 elpri 3630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝐵) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1o))
5655, 49eleq2s 2284 . . . . . . . . . 10 ((𝑓𝐵) ∈ 2o → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1o))
5754, 56syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1o))
5857ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1o))
5921, 53, 58mpjaodan 799 . . . . . . 7 ((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
60 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐴) = ∅)
61 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐵) = ∅)
6260, 61eqtr4d 2225 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
6342ad4antr 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → ¬ (𝑓𝐴) = (𝑓𝐵))
6462, 63pm2.21dd 621 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
65 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → (𝑓𝑥) = 1o)
66 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → (𝑓𝐴) = 1o)
6765, 66eqtr4d 2225 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐴))
6828ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = 𝐴))
6967, 68mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → 𝑥 = 𝐴)
7032ad3antrrr 492 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
7169, 70eqeltrd 2266 . . . . . . . . 9 ((((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) ∧ (𝑓𝐴) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
7251ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → ((𝑓𝐴) = ∅ ∨ (𝑓𝐴) = 1o))
7364, 71, 72mpjaodan 799 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = ∅) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
74 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → (𝑓𝑥) = 1o)
75 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → (𝑓𝐵) = 1o)
7674, 75eqtr4d 2225 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝐵))
7715ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → ((𝑓𝑥) = (𝑓𝐵) ↔ 𝑥 = 𝐵))
7876, 77mpbid 147 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → 𝑥 = 𝐵)
7919ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
8078, 79eqeltrd 2266 . . . . . . . 8 (((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) ∧ (𝑓𝐵) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
8157ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) → ((𝑓𝐵) = ∅ ∨ (𝑓𝐵) = 1o))
8273, 80, 81mpjaodan 799 . . . . . . 7 ((((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) ∧ (𝑓𝑥) = 1o) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
8346ffvelcdmda 5672 . . . . . . . 8 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → (𝑓𝑥) ∈ 2o)
84 elpri 3630 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑥) ∈ {∅, 1o} → ((𝑓𝑥) = ∅ ∨ (𝑓𝑥) = 1o))
8584, 49eleq2s 2284 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑥) ∈ 2o → ((𝑓𝑥) = ∅ ∨ (𝑓𝑥) = 1o))
8683, 85syl 14 . . . . . . 7 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝑓𝑥) = ∅ ∨ (𝑓𝑥) = 1o))
8759, 82, 86mpjaodan 799 . . . . . 6 (((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) ∧ 𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵})
8887ex 115 . . . . 5 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}))
8988ssrdv 3176 . . . 4 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝐶 ⊆ {𝐴, 𝐵})
90 prssi 3765 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐶) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
9125, 12, 90syl2anc 411 . . . 4 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝐶)
9289, 91eqssd 3187 . . 3 ((((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑓:𝐶1-1-onto→2o) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
934, 92exlimddv 1910 . 2 (((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 = {𝐴, 𝐵})
9493ex 115 1 ((𝐶 ≈ 2o𝐴𝐶𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐶 = {𝐴, 𝐵}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980   = wceq 1364  wex 1503  wcel 2160  wne 2360  wss 3144  c0 3437  {cpr 3608   class class class wbr 4018  wf 5231  1-1wf1 5232  1-1-ontowf1o 5234  cfv 5235  1oc1o 6435  2oc2o 6436  cen 6765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6442  df-2o 6443  df-en 6768
This theorem is referenced by:  exmidpw  6937  en2eleq  7225  isprm2lem  12151
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