Theorem climcvg1nlem 11909

Description: Lemma for climcvg1n 11910. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
climcvg1nlem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
climcvg1nlem.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9791	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9505	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
4	3	ffvelcdmda 5782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	recld 11498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
7	5, 6	fmptd 5801	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
8		climcvg1n.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10		eluznn 9833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11	10	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	3	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
13	12, 11	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	recld 11498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
17	16, 6	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
18	11, 14, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
19		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
20	12, 19	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
21	20	recld 11498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
22		fveq2 5639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑛))
23	22	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
24	23, 6	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑛) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
25	19, 21, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐺‘𝑛) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
26	18, 25	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑛))))
27	13, 20	resubd 11521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑛))))
28	26, 27	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) = (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
29	28	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))))
30	13, 20	subcld 8489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ)
31		absrele 11643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
33	29, 32	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
34	30	recld 11498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ)
35	34	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℂ)
36	28, 35	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ∈ ℝ)
38	30	abscld 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ)
39	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
40	19	nnrpd 9928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
41	39, 40	rpdivcld 9948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 9930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43		lelttr 8267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
45	33, 44	mpand 429	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
46	45	ralimdva 2599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
47	46	ralimdva 2599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
50		climdm 11855	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
51	49, 50	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52		nnex 9148	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
53		fex 5882	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
54	3, 52, 53	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
55	4	imcld 11499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
57	55, 56	fmptd 5801	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
58	13	imcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
59	15	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
60	59, 56	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
61	11, 58, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
62	20	imcld 11499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
63	22	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
64	63, 56	fvmptg 5722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑛) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
65	19, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
66	61, 65	oveq12d 6035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))
67	13, 20	imsubd 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))
68	66, 67	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) = (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
69	68	fveq2d 5643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))))
70		absimle 11644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
72	69, 71	eqbrtrd 4110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
73	61, 58	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
74	65, 62	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 8559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 11741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ∈ ℝ)
78		lelttr 8267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
80	72, 79	mpand 429	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
81	80	ralimdva 2599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
82	81	ralimdva 2599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom ⇝ )
85		climdm 11855	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
86	84, 85	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87		ax-icn 8126	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
88	87	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥)))
90	52	mptex 5879	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥))) ∈ V
91	89, 90	eqeltri 2304	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
92	91	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
93		ax-resscn 8123	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
94	93	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
95	57, 94	fssd 5495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℂ)
96	95	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
97	89	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥))))
98		fveq2 5639	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑘))
99	98	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻‘𝑥)) = (i · (𝐻‘𝑘)))
100	99	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻‘𝑥)) = (i · (𝐻‘𝑘)))
101		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
102	87	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103	102, 96	mulcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻‘𝑘)) ∈ ℂ)
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (i · (𝐻‘𝑘)))
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
106	7	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
107	106	recnd 8207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
108	104, 103	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
109	3	ffvelcdmda 5782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
110	109	replimd 11501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))))
111	109	recld 11498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
112	101, 111, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
113	109	imcld 11499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
114	101, 113, 60	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
115	114	oveq2d 6033	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻‘𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘))))
116	104, 115	eqtrd 2264	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘))))
117	112, 116	oveq12d 6035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))))
118	110, 117	eqtr4d 2267	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11886	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120		climrel 11840	. . 3 ⊢ Rel ⇝
121	120	releldmi 4971	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122	119, 121	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  dom cdm 4725  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  ℝcr 8030  1c1 8032  ici 8033   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   ≤ cle 8214   − cmin 8349   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℤ_≥cuz 9754  ℝ⁺crp 9887  ℜcre 11400  ℑcim 11401  abscabs 11557   ⇝ cli 11838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11910