Theorem climcvg1nlem 11290

Description: Lemma for climcvg1n 11291. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcvg1n.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
climcvg1nlem.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
climcvg1nlem.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥)))

Assertion

Ref	Expression
climcvg1nlem	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 9501	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 9218	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		climcvg1n.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
4	3	ffvelrnda 5620	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
5	4	recld 10880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
6		climcvg1nlem.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥)))
7	5, 6	fmptd 5639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
8		climcvg1n.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
9		climcvg1n.cau	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10		eluznn 9538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
11	10	adantll 468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
12	3	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
13	12, 11	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
14	13	recld 10880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
16	15	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
17	16, 6	fvmptg 5562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
18	11, 14, 17	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
19		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
20	12, 19	ffvelrnd 5621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
21	20	recld 10880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
22		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑛))
23	22	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
24	23, 6	fvmptg 5562	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑛) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
25	19, 21, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐺‘𝑛) = (ℜ‘(𝐹‘𝑛)))
26	18, 25	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑛))))
27	13, 20	resubd 10903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑛))))
28	26, 27	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) = (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
29	28	fveq2d 5490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))))
30	13, 20	subcld 8209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ)
31		absrele 11025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
32	30, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
33	29, 32	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
34	30	recld 10880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ)
35	34	recnd 7927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℂ)
36	28, 35	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛)) ∈ ℂ)
37	36	abscld 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ∈ ℝ)
38	30	abscld 11123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ)
39	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
40	19	nnrpd 9630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
41	39, 40	rpdivcld 9650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
42	41	rpred 9632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43		lelttr 7987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
44	37, 38, 42, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
45	33, 44	mpand 426	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
46	45	ralimdva 2533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
47	46	ralimdva 2533	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
48	9, 47	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐺‘𝑘) − (𝐺‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
49	7, 8, 48	climrecvg1n 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
50		climdm 11236	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
51	49, 50	sylib 121	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52		nnex 8863	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
53		fex 5714	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
54	3, 52, 53	sylancl 410	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
55	4	imcld 10881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
56		climcvg1nlem.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥)))
57	55, 56	fmptd 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
58	13	imcld 10881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
59	15	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
60	59, 56	fvmptg 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
61	11, 58, 60	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
62	20	imcld 10881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ)
63	22	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
64	63, 56	fvmptg 5562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑛) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
65	19, 62, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))
66	61, 65	oveq12d 5860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))
67	13, 20	imsubd 10904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))
68	66, 67	eqtr4d 2201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) = (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
69	68	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))))
70		absimle 11026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
71	30, 70	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
72	69, 71	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))))
73	61, 58	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℝ)
74	65, 62	eqeltrd 2243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ ℝ)
75	73, 74	resubcld 8279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) ∈ ℝ)
76	75	recnd 7927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛)) ∈ ℂ)
77	76	abscld 11123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ∈ ℝ)
78		lelttr 7987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
79	77, 38, 42, 78	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → (((abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
80	72, 79	mpand 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
81	80	ralimdva 2533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
82	81	ralimdva 2533	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
83	9, 82	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘((𝐻‘𝑘) − (𝐻‘𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
84	57, 8, 83	climrecvg1n 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ dom ⇝ )
85		climdm 11236	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
86	84, 85	sylib 121	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87		ax-icn 7848	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
88	87	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → i ∈ ℂ)
89		climcvg1nlem.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥)))
90	52	mptex 5711	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥))) ∈ V
91	89, 90	eqeltri 2239	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ V
92	91	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
93		ax-resscn 7845	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
94	93	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
95	57, 94	fssd 5350	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:ℕ⟶ℂ)
96	95	ffvelrnda 5620	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) ∈ ℂ)
97	89	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻‘𝑥))))
98		fveq2 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐻‘𝑥) = (𝐻‘𝑘))
99	98	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻‘𝑥)) = (i · (𝐻‘𝑘)))
100	99	adantl 275	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻‘𝑥)) = (i · (𝐻‘𝑘)))
101		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
102	87	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103	102, 96	mulcld 7919	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻‘𝑘)) ∈ ℂ)
104	97, 100, 101, 103	fvmptd 5567	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (i · (𝐻‘𝑘)))
105	1, 2, 86, 88, 92, 96, 104	climmulc2 11272	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
106	7	ffvelrnda 5620	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
107	106	recnd 7927	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
108	104, 103	eqeltrd 2243	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) ∈ ℂ)
109	3	ffvelrnda 5620	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
110	109	replimd 10883	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))))
111	109	recld 10880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
112	101, 111, 17	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (ℜ‘(𝐹‘𝑘)))
113	109	imcld 10881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
114	101, 113, 60	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑘) = (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))
115	114	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻‘𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘))))
116	104, 115	eqtrd 2198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽‘𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘))))
117	112, 116	oveq12d 5860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑘)))))
118	110, 117	eqtr4d 2201	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐺‘𝑘) + (𝐽‘𝑘)))
119	1, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118	climadd 11267	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120		climrel 11221	. . 3 ⊢ Rel ⇝
121	120	releldmi 4843	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122	119, 121	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   ↦ cmpt 4043  dom cdm 4604  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752  1c1 7754  ici 7755   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069   / cdiv 8568  ℕcn 8857  ℤ_≥cuz 9466  ℝ⁺crp 9589  ℜcre 10782  ℑcim 10783  abscabs 10939   ⇝ cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  climcvg1n  11291