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Theorem climcvg1nlem 11328
Description: Lemma for climcvg1n 11329. We construct sequences of the real and imaginary parts of each term of 𝐹, show those converge, and use that to show that 𝐹 converges. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climcvg1n.f (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
climcvg1n.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
climcvg1n.cau (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
climcvg1nlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.h 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
climcvg1nlem.j 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
Assertion
Ref Expression
climcvg1nlem (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐻,𝑛,𝑥   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑛)   𝐺(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem climcvg1nlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 9539 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 9256 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 climcvg1n.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
43ffvelcdmda 5646 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
54recld 10918 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
6 climcvg1nlem.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥)))
75, 6fmptd 5665 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
8 climcvg1n.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
9 climcvg1n.cau . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
10 eluznn 9576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1110adantll 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
123ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
1312, 11ffvelcdmd 5647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1413recld 10918 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
15 fveq2 5510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1615fveq2d 5514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑘 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1716, 6fvmptg 5587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
1811, 14, 17syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
19 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2012, 19ffvelcdmd 5647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
2120recld 10918 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
22 fveq2 5510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
2322fveq2d 5514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (ℜ‘(𝐹𝑥)) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2423, 6fvmptg 5587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℜ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2519, 21, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐺𝑛) = (ℜ‘(𝐹𝑛)))
2618, 25oveq12d 5886 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2713, 20resubd 10941 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) − (ℜ‘(𝐹𝑛))))
2826, 27eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) = (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
2928fveq2d 5514 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) = (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
3013, 20subcld 8245 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ)
31 absrele 11063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3230, 31syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3329, 32eqbrtrd 4022 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
3430recld 10918 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
3534recnd 7963 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℜ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℂ)
3628, 35eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
3736abscld 11161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ)
3830abscld 11161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
398ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4019nnrpd 9668 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4139, 40rpdivcld 9688 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4241rpred 9670 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ)
43 lelttr 8023 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4437, 38, 42, 43syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4533, 44mpand 429 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4645ralimdva 2544 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
4746ralimdva 2544 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
489, 47mpd 13 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐺𝑘) − (𝐺𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
497, 8, 48climrecvg1n 11327 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝ )
50 climdm 11274 . . . 4 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
5149, 50sylib 122 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
52 nnex 8901 . . . 4 ℕ ∈ V
53 fex 5740 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶ℂ ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
543, 52, 53sylancl 413 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
554imcld 10919 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
56 climcvg1nlem.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥)))
5755, 56fmptd 5665 . . . . . 6 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℝ)
5813imcld 10919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
5915fveq2d 5514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑘 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6059, 56fvmptg 5587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6111, 58, 60syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
6220imcld 10919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
6322fveq2d 5514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑛 → (ℑ‘(𝐹𝑥)) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6463, 56fvmptg 5587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑛)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6519, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) = (ℑ‘(𝐹𝑛)))
6661, 65oveq12d 5886 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6713, 20imsubd 10942 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) = ((ℑ‘(𝐹𝑘)) − (ℑ‘(𝐹𝑛))))
6866, 67eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) = (ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
6968fveq2d 5514 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) = (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))))
70 absimle 11064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7130, 70syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘(ℑ‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛)))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7269, 71eqbrtrd 4022 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))))
7361, 58eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
7465, 62eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ ℝ)
7573, 74resubcld 8315 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℝ)
7675recnd 7963 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛)) ∈ ℂ)
7776abscld 11161 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ)
78 lelttr 8023 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝑛) ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
7977, 38, 42, 78syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (((abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) ≤ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) ∧ (abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8072, 79mpand 429 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → ((abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → (abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8180ralimdva 2544 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
8281ralimdva 2544 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐹𝑘) − (𝐹𝑛))) < (𝐶 / 𝑛) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛)))
839, 82mpd 13 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘((𝐻𝑘) − (𝐻𝑛))) < (𝐶 / 𝑛))
8457, 8, 83climrecvg1n 11327 . . . . 5 (𝜑𝐻 ∈ dom ⇝ )
85 climdm 11274 . . . . 5 (𝐻 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
8684, 85sylib 122 . . . 4 (𝜑𝐻 ⇝ ( ⇝ ‘𝐻))
87 ax-icn 7884 . . . . 5 i ∈ ℂ
8887a1i 9 . . . 4 (𝜑 → i ∈ ℂ)
89 climcvg1nlem.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥)))
9052mptex 5737 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))) ∈ V
9189, 90eqeltri 2250 . . . . 5 𝐽 ∈ V
9291a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ V)
93 ax-resscn 7881 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
9493a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9557, 94fssd 5373 . . . . 5 (𝜑𝐻:ℕ⟶ℂ)
9695ffvelcdmda 5646 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
9789a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ (i · (𝐻𝑥))))
98 fveq2 5510 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑘))
9998oveq2d 5884 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
10099adantl 277 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (i · (𝐻𝑥)) = (i · (𝐻𝑘)))
101 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
10287a1i 9 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → i ∈ ℂ)
103102, 96mulcld 7955 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) ∈ ℂ)
10497, 100, 101, 103fvmptd 5592 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (𝐻𝑘)))
1051, 2, 86, 88, 92, 96, 104climmulc2 11310 . . 3 (𝜑𝐽 ⇝ (i · ( ⇝ ‘𝐻)))
1067ffvelcdmda 5646 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
107106recnd 7963 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
108104, 103eqeltrd 2254 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
1093ffvelcdmda 5646 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
110109replimd 10921 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
111109recld 10918 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℜ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
112101, 111, 17syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (ℜ‘(𝐹𝑘)))
113109imcld 10919 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (ℑ‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
114101, 113, 60syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (ℑ‘(𝐹𝑘)))
115114oveq2d 5884 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (i · (𝐻𝑘)) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
116104, 115eqtrd 2210 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (i · (ℑ‘(𝐹𝑘))))
117112, 116oveq12d 5886 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)) = ((ℜ‘(𝐹𝑘)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑘)))))
118110, 117eqtr4d 2213 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = ((𝐺𝑘) + (𝐽𝑘)))
1191, 2, 51, 54, 105, 107, 108, 118climadd 11305 . 2 (𝜑𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))))
120 climrel 11259 . . 3 Rel ⇝
121120releldmi 4861 . 2 (𝐹 ⇝ (( ⇝ ‘𝐺) + (i · ( ⇝ ‘𝐻))) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
122119, 121syl 14 1 (𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  wss 3129   class class class wbr 4000  cmpt 4061  dom cdm 4622  wf 5207  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787  cr 7788  1c1 7790  ici 7791   + caddc 7792   · cmul 7794   < clt 7969  cle 7970  cmin 8105   / cdiv 8605  cn 8895  cuz 9504  +crp 9627  cre 10820  cim 10821  abscabs 10977  cli 11257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-rp 9628  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258
This theorem is referenced by:  climcvg1n  11329
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