ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgneg GIF version

Theorem mulgneg 13030
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgnncl.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
mulgneg.i ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgneg ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgneg
StepHypRef Expression
1 elnn0 9191 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0))
2 simpr 110 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3 simpl3 1003 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
4 mulgnncl.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
5 mulgnncl.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
6 mulgneg.i . . . . . 6 ๐ผ = (invgโ€˜๐บ)
74, 5, 6mulgnegnn 13022 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
82, 3, 7syl2anc 411 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
9 simpl1 1001 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
10 eqid 2187 . . . . . . 7 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
1110, 6grpinvid 12954 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
129, 11syl 14 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)) = (0gโ€˜๐บ))
13 simpr 110 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
1413oveq1d 5903 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
15 simpl3 1003 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
164, 10, 5mulg0 13017 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1715, 16syl 14 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (0 ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1814, 17eqtrd 2220 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
1918fveq2d 5531 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐ผโ€˜(0gโ€˜๐บ)))
2013negeqd 8165 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = -0)
21 neg0 8216 . . . . . . . 8 -0 = 0
2220, 21eqtrdi 2236 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = 0)
2322oveq1d 5903 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (0 ยท ๐‘‹))
2423, 17eqtrd 2220 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (0gโ€˜๐บ))
2512, 19, 243eqtr4rd 2231 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
268, 25jaodan 798 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
271, 26sylan2b 287 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
28 simpl1 1001 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
29 simprr 531 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„•)
3029nnzd 9387 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ -๐‘ โˆˆ โ„ค)
31 simpl3 1003 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
324, 5mulgcl 13029 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3328, 30, 31, 32syl3anc 1248 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
344, 6grpinvinv 12961 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
3528, 33, 34syl2anc 411 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (-๐‘ ยท ๐‘‹))
364, 5, 6mulgnegnn 13022 . . . . . 6 ((-๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
3729, 31, 36syl2anc 411 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)))
38 simprl 529 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
3938recnd 7999 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
4039negnegd 8272 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ --๐‘ = ๐‘)
4140oveq1d 5903 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (--๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4237, 41eqtr3d 2222 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
4342fveq2d 5531 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐ผโ€˜(๐ผโ€˜(-๐‘ ยท ๐‘‹))) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4435, 43eqtr3d 2222 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
45 simp2 999 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
46 elznn0nn 9280 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
4745, 46sylib 122 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆจ (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง -๐‘ โˆˆ โ„•)))
4827, 44, 47mpjaodan 799 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (-๐‘ ยท ๐‘‹) = (๐ผโ€˜(๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 709   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„cr 7823  0cc0 7824  -cneg 8142  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266  Basecbs 12475  0gc0g 12722  Grpcgrp 12896  invgcminusg 12897  .gcmg 13011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-seqfrec 10459  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-mulg 13012
This theorem is referenced by:  mulgnegneg  13031  mulgm1  13032  mulgaddcomlem  13035  mulginvcom  13037  mulgz  13040  mulgdirlem  13043  mulgdir  13044  mulgneg2  13046  mulgass  13049  mulgsubdir  13052  mulgass2  13293
  Copyright terms: Public domain W3C validator