Theorem mulgneg 12857

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a negative integer. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnncl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnncl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgneg.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgneg	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9146	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		simpl3 1000	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		mulgnncl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mulgnncl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
6		mulgneg.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
7	4, 5, 6	mulgnegnn 12849	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
8	2, 3, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
9		simpl1 998	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2173	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
11	10, 6	grpinvid 12787	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
12	9, 11	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(0g‘𝐺)) = (0g‘𝐺))
13		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
14	13	oveq1d 5877	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
15		simpl3 1000	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
16	4, 10, 5	mulg0 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (0 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
18	14, 17	eqtrd 2206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
19	18	fveq2d 5508	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)) = (𝐼‘(0g‘𝐺)))
20	13	negeqd 8123	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
21		neg0 8174	. . . . . . . 8 ⊢ -0 = 0
22	20, 21	eqtrdi 2222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 0)
23	22	oveq1d 5877	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
24	23, 17	eqtrd 2206	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (0g‘𝐺))
25	12, 19, 24	3eqtr4rd 2217	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 = 0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
26	8, 25	jaodan 795	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
27	1, 26	sylan2b 287	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
28		simpl1 998	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐺 ∈ Grp)
29		simprr 530	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℕ)
30	29	nnzd 9342	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → -𝑁 ∈ ℤ)
31		simpl3 1000	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
32	4, 5	mulgcl 12856	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
33	28, 30, 31, 32	syl3anc 1236	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
34	4, 6	grpinvinv 12793	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
35	28, 33, 34	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (-𝑁 · 𝑋))
36	4, 5, 6	mulgnegnn 12849	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
37	29, 31, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)))
38		simprl 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
39	38	recnd 7957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
40	39	negnegd 8230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → --𝑁 = 𝑁)
41	40	oveq1d 5877	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (--𝑁 · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
42	37, 41	eqtr3d 2208	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(-𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
43	42	fveq2d 5508	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝐼‘(𝐼‘(-𝑁 · 𝑋))) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
44	35, 43	eqtr3d 2208	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))
45		simp2 996	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
46		elznn0nn 9235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
47	45, 46	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
48	27, 44, 47	mpjaodan 796	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = (𝐼‘(𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 706   ∧ w3a 976   = wceq 1351   ∈ wcel 2144  ‘cfv 5205  (class class class)co 5862  ℝcr 7782  0cc0 7783  -cneg 8100  ℕcn 8887  ℕ₀cn0 9144  ℤcz 9221  Basecbs 12425  0_gc0g 12623  Grpcgrp 12735  inv_gcminusg 12736  ._gcmg 12839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-nul 4121  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-iinf 4578  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1cn 7876  ax-1re 7877  ax-icn 7878  ax-addcl 7879  ax-addrcl 7880  ax-mulcl 7881  ax-addcom 7883  ax-addass 7885  ax-distr 7887  ax-i2m1 7888  ax-0lt1 7889  ax-0id 7891  ax-rnegex 7892  ax-cnre 7894  ax-pre-ltirr 7895  ax-pre-ltwlin 7896  ax-pre-lttrn 7897  ax-pre-ltadd 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 833  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-nel 2439  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rmo 2459  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-nul 3418  df-if 3530  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-tr 4094  df-id 4284  df-iord 4357  df-on 4359  df-ilim 4360  df-suc 4362  df-iom 4581  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-1st 6128  df-2nd 6129  df-recs 6293  df-frec 6379  df-pnf 7965  df-mnf 7966  df-xr 7967  df-ltxr 7968  df-le 7969  df-sub 8101  df-neg 8102  df-inn 8888  df-2 8946  df-n0 9145  df-z 9222  df-uz 9497  df-seqfrec 10411  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-mgm 12637  df-sgrp 12670  df-mnd 12680  df-grp 12738  df-minusg 12739  df-mulg 12840

This theorem is referenced by:  mulgnegneg  12858  mulgm1  12859  mulgaddcomlem  12861  mulginvcom  12863  mulgz  12866  mulgdirlem  12869  mulgdir  12870  mulgneg2  12872  mulgass  12875  mulgsubdir  12878