Theorem mplsubgfileminv 14717

Description: Lemma for mplsubgfi 14718. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplsubgfileminv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubgfileminv.inv	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfileminv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem mplsubgfileminv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2231	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		mplsubgfileminv.inv	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
8		mplsubg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mplsubg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
10	8, 1, 9, 6	mplbasss 14713	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
11		mplsubgfileminv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	10, 11	sselid 3225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12	psrneg 14704	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	psrnegcl 14700	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
15	13, 14	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
16		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14709	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
18	2, 3, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
19	11, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
20	19	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
21	13	fveq1d 5641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
23		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	1, 23, 2, 6, 12	psrelbasfi 14693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
26		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27		fvco3 5717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	29	fveq2d 5643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)))
31	16, 5	grpinvid 13645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	3, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
34	30, 33	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = (0g‘𝑅))
35	22, 28, 34	3eqtrd 2268	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
37	36	imim2d 54	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
38	37	ralimdva 2599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
39	38	reximdv 2633	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
40	20, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
41	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14709	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	15, 40, 42	mpbir2and 952	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514   class class class wbr 4088  ^◡ccnv 4724   “ cima 4728   ∘ ccom 4729  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   ↑_𝑚 cmap 6817  Fincfn 6909   < clt 8214  ℕcn 9143  ℕ₀cn0 9402  Basecbs 13084  0_gc0g 13341  Grpcgrp 13585  inv_gcminusg 13586   mPwSer cmps 14678   mPoly cmpl 14679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-er 6702  df-map 6819  df-ixp 6868  df-en 6910  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13086  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-plusg 13175  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-tset 13181  df-ple 13182  df-ds 13184  df-hom 13186  df-cco 13187  df-rest 13326  df-topn 13327  df-0g 13343  df-topgen 13345  df-pt 13346  df-prds 13352  df-pws 13375  df-mgm 13441  df-sgrp 13487  df-mnd 13502  df-grp 13588  df-minusg 13589  df-psr 14680  df-mplcoe 14681

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14718