Theorem mplsubgfileminv 15247

Description: Lemma for mplsubgfi 15248. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplsubgfileminv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubgfileminv.inv	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfileminv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem mplsubgfileminv

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		mplsubgfileminv.inv	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
8		mplsubgfileminv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
9		mplsubg.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
11		mplsubg.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
12	9, 1, 6, 10, 11	mplelbas 15236	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
13	8, 12	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
14	13	simpld 112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 14	psrneg 15217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 14	psrnegcl 15213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
17	15, 16	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
18	13	simprd 114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp (0g‘𝑅))
19	18	fsuppfiss 7301	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)}))
20	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	21, 10	grpidcl 13893	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
23	3, 22	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
24	23	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	1, 21, 4, 6, 17	psrelbas 15198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋):{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
26	25	ffund 5540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun (𝑁‘𝑋))
27	26	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → Fun (𝑁‘𝑋))
28		simpr1 1034	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → 𝑤 ∈ Fin)
29		simpr2 1035	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → 𝑤 ⊆ dom 𝑋)
30	1, 21, 2, 6, 14	psrelbasfi 15199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
31	30	fdmd 5543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
32	1, 21, 2, 6, 17	psrelbasfi 15199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋):(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
33	32	fdmd 5543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → dom (𝑁‘𝑋) = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
34	31, 33	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝑋 = dom (𝑁‘𝑋))
35	34	sseq2d 3278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ⊆ dom 𝑋 ↔ 𝑤 ⊆ dom (𝑁‘𝑋)))
36	35	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (𝑤 ⊆ dom 𝑋 ↔ 𝑤 ⊆ dom (𝑁‘𝑋)))
37	29, 36	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → 𝑤 ⊆ dom (𝑁‘𝑋))
38	34	difeq1d 3346	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑋 ∖ 𝑤) = (dom (𝑁‘𝑋) ∖ 𝑤))
39	38	imaeq2d 5129	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) = ((𝑁‘𝑋) “ (dom (𝑁‘𝑋) ∖ 𝑤)))
40	39	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → ((𝑁‘𝑋) “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) = ((𝑁‘𝑋) “ (dom (𝑁‘𝑋) ∖ 𝑤)))
41		simpr3 1036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})
42	1, 21, 4, 6, 14	psrelbas 15198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
43	42	ffund 5540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑋)
44		difss 3355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝑋 ∖ 𝑤) ⊆ dom 𝑋
45		funimass4 5756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun 𝑋 ∧ (dom 𝑋 ∖ 𝑤) ⊆ dom 𝑋) → ((𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)(𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
46	43, 44, 45	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)(𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
47	46	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → ((𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)(𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
48	41, 47	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)(𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)})
49	15	fveq1d 5700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑝))
50	49	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑝))
51	30	ffnd 5537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
52	51	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → 𝑋 Fn (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
53		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤))
54	53	eldifad 3231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → 𝑝 ∈ dom 𝑋)
55	31	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → dom 𝑋 = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
56	54, 55	eleqtrd 2317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → 𝑝 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
57		fvco2 5777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 Fn (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑝 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑝) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑝)))
58	52, 56, 57	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑝) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑝)))
59	50, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑝)))
60		elsni 3727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑋‘𝑝) = (0g‘𝑅))
61	60	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (𝑋‘𝑝) = (0g‘𝑅))
62	61	fveq2d 5702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑝)) = ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)))
63	59, 62	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)))
64	10, 5	grpinvid 13924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
65	3, 64	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
66	65	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
67	63, 66	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = (0g‘𝑅))
68	23	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
69	67, 68	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
70		elsng 3724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) → (((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = (0g‘𝑅)))
71	69, 70	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → (((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) = (0g‘𝑅)))
72	67, 71	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ∧ (𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)})
73	72	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) ∧ 𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) → ((𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)} → ((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
74	73	ralimdva 2617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)(𝑋‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)} → ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
75	48, 74	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)})
76	44, 34	sseqtrid 3298	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (dom 𝑋 ∖ 𝑤) ⊆ dom (𝑁‘𝑋))
77		funimass4 5756	. . . . . . . 8 ⊢ ((Fun (𝑁‘𝑋) ∧ (dom 𝑋 ∖ 𝑤) ⊆ dom (𝑁‘𝑋)) → (((𝑁‘𝑋) “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
78	26, 76, 77	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘𝑋) “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
79	78	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (((𝑁‘𝑋) “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)} ↔ ∀𝑝 ∈ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)((𝑁‘𝑋)‘𝑝) ∈ {(0g‘𝑅)}))
80	75, 79	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → ((𝑁‘𝑋) “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})
81	40, 80	eqsstrrd 3285	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → ((𝑁‘𝑋) “ (dom (𝑁‘𝑋) ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})
82	20, 24, 27, 28, 37, 81	isfsuppfid 7297	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ Fin ∧ 𝑤 ⊆ dom 𝑋 ∧ (𝑋 “ (dom 𝑋 ∖ 𝑤)) ⊆ {(0g‘𝑅)})) → (𝑁‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
83	19, 82	exlimddv 1954	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅))
84	9, 1, 6, 10, 11	mplelbas 15236	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝑁‘𝑋) finSupp (0g‘𝑅)))
85	17, 83, 84	sylanbrc 421	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  {csn 3709   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775  dom cdm 4776   “ cima 4779   ∘ ccom 4780  Fun wfun 5374   Fn wfn 5375  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ↑_𝑚 cmap 6927  Fincfn 7028   finSupp cfsupp 7292  ℕcn 9314  ℕ₀cn0 9575  Basecbs 13410  0_gc0g 13669  Grpcgrp 13864  inv_gcminusg 13865   mPwSer cmps 15154   mPoly cmpl 15156

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6692  df-er 6812  df-map 6929  df-ixp 6987  df-en 7029  df-fin 7031  df-fsuppfi 7293  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9655  df-dec 9789  df-uz 9938  df-fz 10429  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-hom 13514  df-cco 13515  df-rest 13654  df-topn 13655  df-0g 13671  df-topgen 13673  df-pt 13674  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-prds 14277  df-pws 14310  df-psr 15157  df-mpl 15159

This theorem is used by:  mplsubgfi  15248