Theorem mplsubgfileminv 14984

Description: Lemma for mplsubgfi 14985. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplsubgfileminv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubgfileminv.inv	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfileminv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem mplsubgfileminv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2234	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		mplsubgfileminv.inv	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
8		mplsubg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mplsubg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
10	8, 1, 9, 6	mplbasss 14980	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
11		mplsubgfileminv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	10, 11	sselid 3240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12	psrneg 14971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	psrnegcl 14967	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
15	13, 14	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
16		eqid 2234	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
18	2, 3, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
19	11, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
20	19	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
21	13	fveq1d 5677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
23		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	1, 23, 2, 6, 12	psrelbasfi 14960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
26		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27		fvco3 5753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	29	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)))
31	16, 5	grpinvid 13818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	3, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
34	30, 33	eqtrd 2267	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = (0g‘𝑅))
35	22, 28, 34	3eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
37	36	imim2d 54	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
38	37	ralimdva 2611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
39	38	reximdv 2645	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
40	20, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
41	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14976	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	15, 40, 42	mpbir2and 953	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526   class class class wbr 4114  ^◡ccnv 4753   “ cima 4757   ∘ ccom 4758  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895  Fincfn 6988   < clt 8324  ℕcn 9257  ℕ₀cn0 9516  Basecbs 13299  0_gc0g 13556  Grpcgrp 13758  inv_gcminusg 13759   mPwSer cmps 14938   mPoly cmpl 14939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-ixp 6947  df-en 6989  df-fin 6991  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-fz 10365  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-hom 13401  df-cco 13402  df-rest 13541  df-topn 13542  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-pt 13561  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-prds 14115  df-pws 14148  df-psr 14940  df-mplcoe 14941

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14985