Theorem mplsubgfileminv 14629

Description: Lemma for mplsubgfi 14630. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplsubgfileminv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubgfileminv.inv	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfileminv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem mplsubgfileminv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2209	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		mplsubgfileminv.inv	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
8		mplsubg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mplsubg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
10	8, 1, 9, 6	mplbasss 14625	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
11		mplsubgfileminv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	10, 11	sselid 3202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12	psrneg 14616	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	psrnegcl 14612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
15	13, 14	eqeltrd 2286	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
16		eqid 2209	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14621	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
18	2, 3, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
19	11, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
20	19	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
21	13	fveq1d 5605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
23		eqid 2209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	1, 23, 2, 6, 12	psrelbasfi 14605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
26		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27		fvco3 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
28	25, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	29	fveq2d 5607	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)))
31	16, 5	grpinvid 13559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	3, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
34	30, 33	eqtrd 2242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = (0g‘𝑅))
35	22, 28, 34	3eqtrd 2246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
37	36	imim2d 54	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
38	37	ralimdva 2577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
39	38	reximdv 2611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
40	20, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
41	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 14621	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	15, 40, 42	mpbir2and 949	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489  {crab 2492   class class class wbr 4062  ^◡ccnv 4695   “ cima 4699   ∘ ccom 4700  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  Fincfn 6857   < clt 8149  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  Basecbs 12998  0_gc0g 13255  Grpcgrp 13499  inv_gcminusg 13500   mPwSer cmps 14590   mPoly cmpl 14591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-ixp 6816  df-en 6858  df-fin 6860  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-dec 9547  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-tset 13095  df-ple 13096  df-ds 13098  df-hom 13100  df-cco 13101  df-rest 13240  df-topn 13241  df-0g 13257  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-prds 13266  df-pws 13289  df-mgm 13355  df-sgrp 13401  df-mnd 13416  df-grp 13502  df-minusg 13503  df-psr 14592  df-mplcoe 14593

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  14630