Theorem mplsubgfileminv 15074

Description: Lemma for mplsubgfi 15075. The additive inverse of a polynomial is a polynomial. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
mplsubg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplsubgfileminv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
mplsubgfileminv.inv	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
mplsubgfileminv	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem mplsubgfileminv

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
3		mplsubg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7		mplsubgfileminv.inv	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑆)
8		mplsubg.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
9		mplsubg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
10	8, 1, 9, 6	mplbasss 15070	. . . . 5 ⊢ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑆)
11		mplsubgfileminv.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
12	10, 11	sselid 3246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 12	psrneg 15061	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12	psrnegcl 15057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
15	13, 14	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
16		eqid 2238	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 15066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
18	2, 3, 17	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
19	11, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
20	19	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
21	13	fveq1d 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
22	21	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏))
23		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	1, 23, 2, 6, 12	psrelbasfi 15050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
26		simplr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
27		fvco3 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
28	25, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋)‘𝑏) = ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)))
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅))
30	29	fveq2d 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)))
31	16, 5	grpinvid 13848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
32	3, 31	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
33	32	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
34	30, 33	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑏)) = (0g‘𝑅))
35	22, 28, 34	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) ∧ (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
37	36	imim2d 54	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)) → ((∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → (∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
38	37	ralimdva 2617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
39	38	reximdv 2651	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → (𝑋‘𝑏) = (0g‘𝑅)) → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅))))
40	20, 39	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))
41	8, 1, 6, 16, 9	mplelbascoe 15066	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Grp) → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
42	2, 3, 41	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑎 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼)(∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝑎‘𝑘) < (𝑏‘𝑘) → ((𝑁‘𝑋)‘𝑏) = (0g‘𝑅)))))
43	15, 40, 42	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   class class class wbr 4128  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775   ∘ ccom 4776  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   ↑_𝑚 cmap 6916  Fincfn 7016   < clt 8354  ℕcn 9287  ℕ₀cn0 9546  Basecbs 13335  0_gc0g 13593  Grpcgrp 13788  inv_gcminusg 13789   mPwSer cmps 15028   mPoly cmpl 15029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-of 6296  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-1o 6681  df-er 6801  df-map 6918  df-ixp 6975  df-en 7017  df-fin 7019  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-hom 13438  df-cco 13439  df-rest 13578  df-topn 13579  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-pt 13598  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-prds 14153  df-pws 14186  df-psr 15030  df-mplcoe 15031

This theorem is referenced by:  mplsubgfi  15075