Theorem bcval4 10861

Description: Value of the binomial coefficient, 𝑁 choose 𝐾, outside of its standard domain. Remark in [Gleason] p. 295. (Contributed by NM, 14-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
bcval4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Proof of Theorem bcval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzle1 10119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 ≤ 𝐾)
2		0re 8043	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		elfzelz 10117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
4	3	zred 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℝ)
5		lenlt 8119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
6	2, 4, 5	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (0 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 0))
7	1, 6	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ 𝐾 < 0)
8	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 0)
9		elfzle2 10120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ≤ 𝑁)
10	9	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ≤ 𝑁)
11		nn0re 9275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		lenlt 8119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
13	4, 11, 12	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝐾 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝐾))
14	10, 13	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ 𝑁 < 𝐾)
15		ioran 753	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) ↔ (¬ 𝐾 < 0 ∧ ¬ 𝑁 < 𝐾))
16	8, 14, 15	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾))
17	16	ex 115	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
18	17	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)))
19	18	con2d 625	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
20	19	3impia 1202	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁))
21		bcval3 10860	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
22	20, 21	syld3an3 1294	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝐾 < 0 ∨ 𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝐾) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  0cc0 7896   < clt 8078   ≤ cle 8079  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ...cfz 10100  Ccbc 10856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-fz 10101  df-seqfrec 10557  df-fac 10835  df-bc 10857

This theorem is referenced by:  bc0k  10865  bcn1  10867  bcpasc  10875