Theorem btwnnz 8901

Description: A number between an integer and its successor is not an integer. (Contributed by NM, 3-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
btwnnz	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1)) → ¬ 𝐵 ∈ ℤ)

Proof of Theorem btwnnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zltp1le 8865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
2		peano2z 8847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
3		zre 8815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
5		zre 8815	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
6		lenlt 7622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
7	4, 5, 6	syl2an 284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
8	1, 7	bitrd 187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
9	8	biimpd 143	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 → ¬ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
10	9	impancom 257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℤ → ¬ 𝐵 < (𝐴 + 1)))
11	10	con2d 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 < (𝐴 + 1) → ¬ 𝐵 ∈ ℤ))
12	11	3impia 1141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝐴 + 1)) → ¬ 𝐵 ∈ ℤ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 925   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  ℝcr 7410  1c1 7412   + caddc 7414   < clt 7583   ≤ cle 7584  ℤcz 8811

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-addcom 7506  ax-addass 7508  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-ltadd 7522

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-inn 8484  df-n0 8735  df-z 8812

This theorem is referenced by:  gtndiv  8902  3halfnz  8904  iseqcoll  10308  nonsq  11524