ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd GIF version

Theorem ndvdsadd 10813
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 8364 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 nnre 8364 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3 posdif 7877 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
41, 2, 3syl2anr 284 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
54pm5.32i 442 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
6 nnz 8702 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7 nnz 8702 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8 zsubcl 8724 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
96, 7, 8syl2an 283 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
10 elnnz 8693 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
1110biimpri 131 . . . . . . . 8 (((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
129, 11sylan 277 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
135, 12sylbi 119 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
1413anasss 391 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
15 nngt0 8382 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16 ltsubpos 7876 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
171, 2, 16syl2an 283 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
1817biimpd 142 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷))
1918expcom 114 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷)))
2015, 19mpdi 42 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷𝐾) < 𝐷))
2120imp 122 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2221adantrr 463 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2314, 22jca 300 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
24233adant1 959 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
25 ndvdssub 10812 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
2624, 25syld3an3 1217 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
27 zaddcl 8723 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
287, 27sylan2 280 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29 dvdssubr 10724 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
306, 28, 29syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3130an12s 530 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32313impb 1137 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33 zcn 8688 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34 nncn 8365 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35 nncn 8365 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36 subsub3 7658 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3733, 34, 35, 36syl3an 1214 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3837breq2d 3832 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3932, 38bitr4d 189 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4039notbid 625 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
41403adant3r 1169 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4226, 41sylibrd 167 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cc 7292  cr 7293  0cc0 7294   + caddc 7297   < clt 7466  cmin 7597  cn 8357  cz 8683  cdvds 10678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3929  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407  ax-arch 7408
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-iord 4167  df-on 4169  df-ilim 4170  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-1st 5868  df-2nd 5869  df-recs 6024  df-frec 6110  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684  df-uz 8952  df-q 9037  df-rp 9067  df-fl 9605  df-mod 9658  df-iseq 9780  df-iexp 9854  df-cj 10172  df-re 10173  df-im 10174  df-rsqrt 10327  df-abs 10328  df-dvds 10679
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  10814  ndvdsi  10815
  Copyright terms: Public domain W3C validator