ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd GIF version

Theorem ndvdsadd 11916
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 8912 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 nnre 8912 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3 posdif 8399 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
41, 2, 3syl2anr 290 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
54pm5.32i 454 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
6 nnz 9258 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7 nnz 9258 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8 zsubcl 9280 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
10 elnnz 9249 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
1110biimpri 133 . . . . . . . 8 (((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
129, 11sylan 283 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
135, 12sylbi 121 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
1413anasss 399 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
15 nngt0 8930 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16 ltsubpos 8398 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
171, 2, 16syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
1817biimpd 144 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷))
1918expcom 116 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷)))
2015, 19mpdi 43 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷𝐾) < 𝐷))
2120imp 124 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2221adantrr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2314, 22jca 306 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
24233adant1 1015 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
25 ndvdssub 11915 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
2624, 25syld3an3 1283 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
27 zaddcl 9279 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
287, 27sylan2 286 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29 dvdssubr 11827 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
306, 28, 29syl2an 289 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3130an12s 565 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32313impb 1199 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33 zcn 9244 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34 nncn 8913 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35 nncn 8913 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36 subsub3 8176 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3733, 34, 35, 36syl3an 1280 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3837breq2d 4012 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3932, 38bitr4d 191 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4039notbid 667 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
41403adant3r 1235 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4226, 41sylibrd 169 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cc 7797  cr 7798  0cc0 7799   + caddc 7802   < clt 7979  cmin 8115  cn 8905  cz 9239  cdvds 11775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-fl 10253  df-mod 10306  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-dvds 11776
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  11917  ndvdsi  11918
  Copyright terms: Public domain W3C validator