Theorem ndvdsadd 12463

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdsadd	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem ndvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2		nnre 9133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3		posdif 8618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
5	4	pm5.32i 454	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
6		nnz 9481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7		nnz 9481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8		zsubcl 9503	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ)
10		elnnz 9472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)))
11	10	biimpri 133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
12	9, 11	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷 − 𝐾)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
13	5, 12	sylbi 121	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
14	13	anasss 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ)
15		nngt0 9151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16		ltsubpos 8617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
17	1, 2, 16	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
18	17	biimpd 144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)))
20	15, 19	mpdi 43	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
21	20	imp 124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
22	21	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)
23	14, 22	jca 306	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
24	23	3adant1 1039	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷))
25		ndvdssub 12462	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷 − 𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷 − 𝐾) < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
26	24, 25	syld3an3 1316	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
27		zaddcl 9502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
28	7, 27	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29		dvdssubr 12371	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
30	6, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
31	30	an12s 565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32	31	3impb 1223	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33		zcn 9467	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34		nncn 9134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35		nncn 9134	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36		subsub3 8394	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1313	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
38	37	breq2d 4095	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
39	32, 38	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
40	39	notbid 671	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
41	40	3adant3r 1259	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷 − 𝐾))))
42	26, 41	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷 ∥ 𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  ℝcr 8014  0cc0 8015   + caddc 8018   < clt 8197   − cmin 8333  ℕcn 9126  ℤcz 9462   ∥ cdvds 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-dvds 12320

This theorem is referenced by:  ndvdsp1  12464  ndvdsi  12465