Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd GIF version

 Description: Corollary of the division algorithm. If an integer 𝐷 greater than 1 divides 𝑁, then it does not divide any of 𝑁 + 1, 𝑁 + 2... 𝑁 + (𝐷 − 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))

StepHypRef Expression
1 nnre 8750 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
2 nnre 8750 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ)
3 posdif 8240 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
41, 2, 3syl2anr 288 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐾)))
54pm5.32i 450 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) ↔ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
6 nnz 9096 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℤ)
7 nnz 9096 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8 zsubcl 9118 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
96, 7, 8syl2an 287 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) ∈ ℤ)
10 elnnz 9087 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)))
1110biimpri 132 . . . . . . . 8 (((𝐷𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
129, 11sylan 281 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 0 < (𝐷𝐾)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
135, 12sylbi 120 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝐷) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
1413anasss 397 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) ∈ ℕ)
15 nngt0 8768 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 0 < 𝐾)
16 ltsubpos 8239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
171, 2, 16syl2an 287 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 ↔ (𝐷𝐾) < 𝐷))
1817biimpd 143 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷))
1918expcom 115 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (0 < 𝐾 → (𝐷𝐾) < 𝐷)))
2015, 19mpdi 43 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ → (𝐷𝐾) < 𝐷))
2120imp 123 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2221adantrr 471 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝐾) < 𝐷)
2314, 22jca 304 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
24233adant1 1000 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷))
25 ndvdssub 11661 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ ((𝐷𝐾) ∈ ℕ ∧ (𝐷𝐾) < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
2624, 25syld3an3 1262 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
27 zaddcl 9117 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
287, 27sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ)
29 dvdssubr 11573 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝐾) ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
306, 28, 29syl2an 287 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3130an12s 555 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ)) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
32313impb 1178 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
33 zcn 9082 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
34 nncn 8751 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℂ)
35 nncn 8751 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
36 subsub3 8017 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3733, 34, 35, 36syl3an 1259 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐷𝐾)) = ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷))
3837breq2d 3948 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑁 + 𝐾) − 𝐷)))
3932, 38bitr4d 190 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4039notbid 657 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
41403adant3r 1214 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 − (𝐷𝐾))))
4226, 41sylibrd 168 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝐷)) → (𝐷𝑁 → ¬ 𝐷 ∥ (𝑁 + 𝐾)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  ℂcc 7641  ℝcr 7642  0cc0 7643   + caddc 7646   < clt 7823   − cmin 7956  ℕcn 8743  ℤcz 9077   ∥ cdvds 11527 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fl 10073  df-mod 10126  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528 This theorem is referenced by:  ndvdsp1  11663  ndvdsi  11664
 Copyright terms: Public domain W3C validator