ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ubmelm1fzo GIF version

Theorem ubmelm1fzo 9602
Description: The result of subtracting 1 and an integer of a half-open range of nonnegative integers from the upper bound of this range is contained in this range. (Contributed by AV, 23-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelm1fzo (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem ubmelm1fzo
StepHypRef Expression
1 elfzo0 9558 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2 nnz 8739 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
32adantr 270 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 nn0z 8740 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
54adantl 271 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℤ)
63, 5zsubcld 8843 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
76ancoms 264 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
8 peano2zm 8758 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ ℤ → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 14 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
1093adant3 963 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ)
11 simp3 945 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
124, 2anim12i 331 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
13123adant3 963 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14 znnsub 8771 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1513, 14syl 14 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝑁𝐾) ∈ ℕ))
1611, 15mpbid 145 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ)
17 nnm1ge0 8802 . . . . 5 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
1816, 17syl 14 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1))
19 elnn0z 8733 . . . 4 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁𝐾) − 1)))
2010, 18, 19sylanbrc 408 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0)
21 simp2 944 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
22 nncn 8402 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322adantl 271 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
24 nn0cn 8653 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
2524adantr 270 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
26 1cnd 7483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2723, 25, 26subsub4d 7803 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) = (𝑁 − (𝐾 + 1)))
28 nn0p1gt0 8672 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 < (𝐾 + 1))
2928adantr 270 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐾 + 1))
30 nn0re 8652 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
31 peano2re 7597 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
3230, 31syl 14 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
33 nnre 8401 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
34 ltsubpos 7911 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3532, 33, 34syl2an 283 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐾 + 1) ↔ (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁))
3629, 35mpbid 145 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − (𝐾 + 1)) < 𝑁)
3727, 36eqbrtrd 3857 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
38373adant3 963 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁)
39 elfzo0 9558 . . 3 (((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ (((𝑁𝐾) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝐾) − 1) < 𝑁))
4020, 21, 38, 39syl3anbrc 1127 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
411, 40sylbi 119 1 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝐾) − 1) ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 924  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cc 7327  cr 7328  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   < clt 7501  cle 7502  cmin 7632  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  ..^cfzo 9518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-fz 9394  df-fzo 9519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator