Theorem structiedg0val 15856

Description: The set of indexed edges of an extensible structure with a base set and another slot not being the slot for edge functions is empty. (Contributed by AV, 23-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
structvtxvallem.s	⊢ 𝑆 ∈ ℕ
structvtxvallem.b	⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
structvtxvallem.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}

Assertion

Ref	Expression
structiedg0val	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem structiedg0val

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structvtxvallem.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
2		basendxnn 13103	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
3		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝑉 ∈ 𝑋)
4		opexg 4314	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝑉 ∈ 𝑋) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V)
6		structvtxvallem.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ ℕ
7		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐸 ∈ 𝑌)
8		opexg 4314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V)
10		prexg 4295	. . . . . 6 ⊢ ((⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ V ∧ ⟨𝑆, 𝐸⟩ ∈ V) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
11	5, 9, 10	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} ∈ V)
12	1, 11	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 ∈ V)
13		structvtxvallem.b	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) < 𝑆
14	1, 13, 6	2strstrndx 13166	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩)
15		structn0fun 13060	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨(Base‘ndx), 𝑆⟩ → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
16	14, 15	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
17	6, 13, 1	struct2slots2dom 15854	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → 2o ≼ dom 𝐺)
18		funiedgdm2domval 15846	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
19	12, 16, 17, 18	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
20	19	3adant3 1041	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = (.ef‘𝐺))
21		edgfndxid 15825	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
22	12, 21	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
23	22	3adant3 1041	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
24		edgfndxnn 15824	. . . 4 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ ℕ
25	24	elexi 2812	. . 3 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
26		basendxnedgfndx 15827	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
27	26	nesymi 2446	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
28	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
29		neneq 2422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ 𝑆 = (.ef‘ndx))
30	29	neqcomd 2234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ≠ (.ef‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
31	30	3ad2ant3 1044	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆)
32		ioran 757	. . . . . 6 ⊢ (¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆) ↔ (¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∧ ¬ (.ef‘ndx) = 𝑆))
33	28, 31, 32	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
34	25	elpr 3687	. . . . 5 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆} ↔ ((.ef‘ndx) = (Base‘ndx) ∨ (.ef‘ndx) = 𝑆))
35	33, 34	sylnibr 681	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx), 𝑆})
36	1	dmeqi 4924	. . . . 5 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩}
37		dmpropg 5201	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
38	37	3adant3 1041	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩, ⟨𝑆, 𝐸⟩} = {(Base‘ndx), 𝑆})
39	36, 38	eqtrid 2274	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx), 𝑆})
40	35, 39	neleqtrrd 2328	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
41		ndmfvg 5660	. . 3 ⊢ (((.ef‘ndx) ∈ V ∧ ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
42	25, 40, 41	sylancr 414	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
43	20, 23, 42	3eqtrd 2266	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌 ∧ 𝑆 ≠ (.ef‘ndx)) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  Vcvv 2799   ∖ cdif 3194  ∅c0 3491  {csn 3666  {cpr 3667  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  2_oc2o 6562   ≼ cdom 6894   < clt 8192  ℕcn 9121   Struct cstr 13043  ndxcnx 13044  Basecbs 13047  .efcedgf 15820  iEdgciedg 15829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-dom 6897  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-fz 10217  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-iedg 15831

This theorem is referenced by: (None)