Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos1bnd GIF version

Theorem cos1bnd 11473
 Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 10393 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
21oveq1i 5784 . . . . . . 7 ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
32oveq2i 5785 . . . . . 6 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4 2cn 8798 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 3cn 8802 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
6 3ap0 8823 . . . . . . 7 3 # 0
74, 5, 6divrecapi 8524 . . . . . 6 (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
83, 7eqtr4i 2163 . . . . 5 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
98oveq2i 5785 . . . 4 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10 ax-1cn 7720 . . . . 5 1 ∈ ℂ
114, 5, 6divclapi 8521 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
125, 6recclapi 8509 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
13 df-3 8787 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1413oveq1i 5784 . . . . . 6 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
155, 6dividapi 8512 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
164, 10, 5, 6divdirapi 8536 . . . . . 6 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
1714, 15, 163eqtr3ri 2169 . . . . 5 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
1810, 11, 12, 17subaddrii 8058 . . . 4 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
199, 18eqtri 2160 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20 1re 7772 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 0lt1 7896 . . . . 5 0 < 1
22 1le1 8341 . . . . 5 1 ≤ 1
23 0xr 7819 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
24 elioc2 9726 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
2523, 20, 24mp2an 422 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26 cos01bnd 11472 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2725, 26sylbir 134 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2820, 21, 22, 27mp3an 1315 . . . 4 ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
2928simpli 110 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
3019, 29eqbrtrri 3951 . 2 (1 / 3) < (cos‘1)
3128simpri 112 . . 3 (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
322oveq2i 5785 . . . 4 (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
3310, 12, 11subadd2i 8057 . . . . 5 ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
3417, 33mpbir 145 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
3532, 34eqtri 2160 . . 3 (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
3631, 35breqtri 3953 . 2 (cos‘1) < (2 / 3)
3730, 36pm3.2i 270 1 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  ℝ*cxr 7806   < clt 7807   ≤ cle 7808   − cmin 7940   / cdiv 8439  2c2 8778  3c3 8779  (,]cioc 9679  ↑cexp 10299  cosccos 11358 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-cos 11364 This theorem is referenced by:  cos2bnd  11474
 Copyright terms: Public domain W3C validator