ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cos1bnd GIF version

Theorem cos1bnd 11799
Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
cos1bnd ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd
StepHypRef Expression
1 sq1 10645 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
21oveq1i 5906 . . . . . . 7 ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
32oveq2i 5907 . . . . . 6 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4 2cn 9020 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 3cn 9024 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
6 3ap0 9045 . . . . . . 7 3 # 0
74, 5, 6divrecapi 8744 . . . . . 6 (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
83, 7eqtr4i 2213 . . . . 5 (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
98oveq2i 5907 . . . 4 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10 ax-1cn 7934 . . . . 5 1 ∈ ℂ
114, 5, 6divclapi 8741 . . . . 5 (2 / 3) ∈ ℂ
125, 6recclapi 8729 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℂ
13 df-3 9009 . . . . . . 7 3 = (2 + 1)
1413oveq1i 5906 . . . . . 6 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
155, 6dividapi 8732 . . . . . 6 (3 / 3) = 1
164, 10, 5, 6divdirapi 8756 . . . . . 6 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
1714, 15, 163eqtr3ri 2219 . . . . 5 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
1810, 11, 12, 17subaddrii 8276 . . . 4 (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
199, 18eqtri 2210 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20 1re 7986 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21 0lt1 8114 . . . . 5 0 < 1
22 1le1 8559 . . . . 5 1 ≤ 1
23 0xr 8034 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
24 elioc2 9966 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
2523, 20, 24mp2an 426 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26 cos01bnd 11798 . . . . . 6 (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2725, 26sylbir 135 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
2820, 21, 22, 27mp3an 1348 . . . 4 ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
2928simpli 111 . . 3 (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
3019, 29eqbrtrri 4041 . 2 (1 / 3) < (cos‘1)
3128simpri 113 . . 3 (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
322oveq2i 5907 . . . 4 (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
3310, 12, 11subadd2i 8275 . . . . 5 ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
3417, 33mpbir 146 . . . 4 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
3532, 34eqtri 2210 . . 3 (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
3631, 35breqtri 4043 . 2 (cos‘1) < (2 / 3)
3730, 36pm3.2i 272 1 ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5896  cr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846  *cxr 8021   < clt 8022  cle 8023  cmin 8158   / cdiv 8659  2c2 9000  3c3 9001  (,]cioc 9919  cexp 10550  cosccos 11685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-ioc 9923  df-ico 9924  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-ihash 10788  df-shft 10856  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-cos 11691
This theorem is referenced by:  cos2bnd  11800
  Copyright terms: Public domain W3C validator