Theorem cos1bnd 11700

Description: Bounds on the cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
cos1bnd	⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Proof of Theorem cos1bnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq1 10548	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
2	1	oveq1i 5852	. . . . . . 7 ⊢ ((1↑2) / 3) = (1 / 3)
3	2	oveq2i 5853	. . . . . 6 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 · (1 / 3))
4		2cn 8928	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		3cn 8932	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
6		3ap0 8953	. . . . . . 7 ⊢ 3 # 0
7	4, 5, 6	divrecapi 8653	. . . . . 6 ⊢ (2 / 3) = (2 · (1 / 3))
8	3, 7	eqtr4i 2189	. . . . 5 ⊢ (2 · ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
9	8	oveq2i 5853	. . . 4 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 − (2 / 3))
10		ax-1cn 7846	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	4, 5, 6	divclapi 8650	. . . . 5 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
12	5, 6	recclapi 8638	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
13		df-3 8917	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (2 + 1)
14	13	oveq1i 5852	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
15	5, 6	dividapi 8641	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
16	4, 10, 5, 6	divdirapi 8665	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
17	14, 15, 16	3eqtr3ri 2195	. . . . 5 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
18	10, 11, 12, 17	subaddrii 8187	. . . 4 ⊢ (1 − (2 / 3)) = (1 / 3)
19	9, 18	eqtri 2186	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) = (1 / 3)
20		1re 7898	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		0lt1 8025	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
22		1le1 8470	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
23		0xr 7945	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		elioc2 9872	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
25	23, 20, 24	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
26		cos01bnd 11699	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
27	25, 26	sylbir 134	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1) → ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))))
28	20, 21, 22, 27	mp3an 1327	. . . 4 ⊢ ((1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3)))
29	28	simpli 110	. . 3 ⊢ (1 − (2 · ((1↑2) / 3))) < (cos‘1)
30	19, 29	eqbrtrri 4005	. 2 ⊢ (1 / 3) < (cos‘1)
31	28	simpri 112	. . 3 ⊢ (cos‘1) < (1 − ((1↑2) / 3))
32	2	oveq2i 5853	. . . 4 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (1 − (1 / 3))
33	10, 12, 11	subadd2i 8186	. . . . 5 ⊢ ((1 − (1 / 3)) = (2 / 3) ↔ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1)
34	17, 33	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
35	32, 34	eqtri 2186	. . 3 ⊢ (1 − ((1↑2) / 3)) = (2 / 3)
36	31, 35	breqtri 4007	. 2 ⊢ (cos‘1) < (2 / 3)
37	30, 36	pm3.2i 270	1 ⊢ ((1 / 3) < (cos‘1) ∧ (cos‘1) < (2 / 3))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758  ℝ^*cxr 7932   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069   / cdiv 8568  2c2 8908  3c3 8909  (,]cioc 9825  ↑cexp 10454  cosccos 11586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-cos 11592

This theorem is referenced by:  cos2bnd  11701