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Theorem sincos6thpi 12936
Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
sincos6thpi ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi
StepHypRef Expression
1 2cn 8798 . . . . 5 2 ∈ ℂ
21a1i 9 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
3 pire 12880 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
4 6re 8808 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5 6pos 8828 . . . . . . . . 9 0 < 6
64, 5gt0ap0ii 8397 . . . . . . . 8 6 # 0
73, 4, 6redivclapi 8546 . . . . . . 7 (π / 6) ∈ ℝ
87recni 7785 . . . . . 6 (π / 6) ∈ ℂ
9 sincl 11420 . . . . . 6 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
1110a1i 9 . . . 4 (⊤ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
12 2ap0 8820 . . . . 5 2 # 0
1312a1i 9 . . . 4 (⊤ → 2 # 0)
14 recoscl 11435 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
157, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
1615recni 7785 . . . . . . . . . 10 (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
171, 10, 16mulassi 7782 . . . . . . . . 9 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
18 sin2t 11463 . . . . . . . . . 10 ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
198, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
2017, 19eqtr4i 2163 . . . . . . . 8 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
21 3cn 8802 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
22 3ap0 8823 . . . . . . . . . . . 12 3 # 0
231, 21, 22divclapi 8521 . . . . . . . . . . 11 (2 / 3) ∈ ℂ
2421, 22recclapi 8509 . . . . . . . . . . 11 (1 / 3) ∈ ℂ
25 df-3 8787 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
2625oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
2721, 22dividapi 8512 . . . . . . . . . . . 12 (3 / 3) = 1
28 ax-1cn 7720 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
291, 28, 21, 22divdirapi 8536 . . . . . . . . . . . 12 ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
3026, 27, 293eqtr3ri 2169 . . . . . . . . . . 11 ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
31 sincosq1eq 12933 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
3223, 24, 30, 31mp3an 1315 . . . . . . . . . 10 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
33 picn 12881 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
341, 21, 33, 1, 22, 12divmuldivapi 8539 . . . . . . . . . . . 12 ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
35 3t2e6 8883 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
3635oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
37 6cn 8809 . . . . . . . . . . . . 13 6 ∈ ℂ
381, 33, 37, 6divassapi 8535 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
3934, 36, 383eqtri 2164 . . . . . . . . . . 11 ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
4039fveq2i 5424 . . . . . . . . . 10 (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
4132, 40eqtr3i 2162 . . . . . . . . 9 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
4228, 21, 33, 1, 22, 12divmuldivapi 8539 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
4333mulid2i 7776 . . . . . . . . . . . 12 (1 · π) = π
4443, 35oveq12i 5786 . . . . . . . . . . 11 ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
4542, 44eqtri 2160 . . . . . . . . . 10 ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
4645fveq2i 5424 . . . . . . . . 9 (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
4741, 46eqtr3i 2162 . . . . . . . 8 (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4820, 47eqtri 2160 . . . . . . 7 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
4916mulid2i 7776 . . . . . . 7 (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
5048, 49eqtr4i 2163 . . . . . 6 ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
511, 10mulcli 7778 . . . . . . 7 (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
52 pipos 12882 . . . . . . . . . . . . 13 0 < π
533, 4, 52, 5divgt0ii 8684 . . . . . . . . . . . 12 0 < (π / 6)
54 2lt6 8909 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 6
55 2re 8797 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
56 2pos 8818 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
5755, 56pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
584, 5pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
593, 52pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
60 ltdiv2 8652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
6157, 58, 59, 60mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . 13 (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
6254, 61mpbi 144 . . . . . . . . . . . 12 (π / 6) < (π / 2)
63 0re 7773 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
64 halfpire 12886 . . . . . . . . . . . . 13 (π / 2) ∈ ℝ
65 rexr 7818 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
66 rexr 7818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67 elioo2 9711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6865, 66, 67syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
6963, 64, 68mp2an 422 . . . . . . . . . . . 12 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
707, 53, 62, 69mpbir3an 1163 . . . . . . . . . . 11 (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
71 sincosq1sgn 12920 . . . . . . . . . . 11 ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
7372simpri 112 . . . . . . . . 9 0 < (cos‘(π / 6))
7415, 73gt0ap0ii 8397 . . . . . . . 8 (cos‘(π / 6)) # 0
7516, 74pm3.2i 270 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)
76 mulcanap2 8434 . . . . . . 7 (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
7751, 28, 75, 76mp3an 1315 . . . . . 6 (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
7850, 77mpbi 144 . . . . 5 (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
7978a1i 9 . . . 4 (⊤ → (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
802, 11, 13, 79mvllmulapd 8608 . . 3 (⊤ → (sin‘(π / 6)) = (1 / 2))
8180mptru 1340 . 2 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
82 3re 8801 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
83 3pos 8821 . . . . . . . 8 0 < 3
8482, 83sqrtpclii 10909 . . . . . . 7 (√‘3) ∈ ℝ
8584recni 7785 . . . . . 6 (√‘3) ∈ ℂ
8685, 1, 12sqdivapi 10383 . . . . 5 (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
8763, 82, 83ltleii 7873 . . . . . . 7 0 ≤ 3
8882sqsqrti 10903 . . . . . . 7 (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
8987, 88ax-mp 5 . . . . . 6 ((√‘3)↑2) = 3
90 sq2 10395 . . . . . 6 (2↑2) = 4
9189, 90oveq12i 5786 . . . . 5 (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
9286, 91eqtri 2160 . . . 4 (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
9392fveq2i 5424 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
9482sqrtge0i 10904 . . . . . 6 (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
9587, 94ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (√‘3)
9684, 55divge0i 8676 . . . . 5 ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
9795, 56, 96mp2an 422 . . . 4 0 ≤ ((√‘3) / 2)
9884, 55, 12redivclapi 8546 . . . . 5 ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
9998sqrtsqi 10902 . . . 4 (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
10097, 99ax-mp 5 . . 3 (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
101 4cn 8805 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
102 4ap0 8826 . . . . . . . 8 4 # 0
103101, 102dividapi 8512 . . . . . . 7 (4 / 4) = 1
104103oveq1i 5784 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
105101, 102pm3.2i 270 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)
106 divsubdirap 8475 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
107101, 28, 105, 106mp3an 1315 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
108 4m1e3 8848 . . . . . . . 8 (4 − 1) = 3
109108oveq1i 5784 . . . . . . 7 ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
110107, 109eqtr3i 2162 . . . . . 6 ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
111101, 102recclapi 8509 . . . . . . 7 (1 / 4) ∈ ℂ
11216sqcli 10380 . . . . . . 7 ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
11381oveq1i 5784 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
114 2z 9089 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
115 exprecap 10341 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2)))
1161, 12, 114, 115mp3an 1315 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
11790oveq2i 5785 . . . . . . . . . 10 (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
118113, 116, 1173eqtri 2164 . . . . . . . . 9 ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
119118oveq1i 5784 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
120 sincossq 11462 . . . . . . . . 9 ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
1218, 120ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
122119, 121eqtr3i 2162 . . . . . . 7 ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
12328, 111, 112, 122subaddrii 8058 . . . . . 6 (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
124104, 110, 1233eqtr3ri 2169 . . . . 5 ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
125124fveq2i 5424 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
12663, 15, 73ltleii 7873 . . . . 5 0 ≤ (cos‘(π / 6))
12715sqrtsqi 10902 . . . . 5 (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
128126, 127ax-mp 5 . . . 4 (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
129125, 128eqtr3i 2162 . . 3 (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
13093, 100, 1293eqtr3ri 2169 . 2 (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
13181, 130pm3.2i 270 1 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wtru 1332  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   · cmul 7632  *cxr 7806   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  2c2 8778  3c3 8779  4c4 8780  6c6 8782  cz 9061  (,)cioo 9678  cexp 10299  csqrt 10775  sincsin 11357  cosccos 11358  πcpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  12937  pigt3  12938
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