Theorem sincos6thpi 14977

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9053	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
3		pire 14921	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4		6re 9063	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		6pos 9083	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 6
6	4, 5	gt0ap0ii 8647	. . . . . . . 8 ⊢ 6 # 0
7	3, 4, 6	redivclapi 8798	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
8	7	recni 8031	. . . . . 6 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
9		sincl 11849	. . . . . 6 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
12		2ap0 9075	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 # 0)
14		recoscl 11864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
16	15	recni 8031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
17	1, 10, 16	mulassi 8028	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
18		sin2t 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
19	8, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
20	17, 19	eqtr4i 2217	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
21		3cn 9057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
22		3ap0 9078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 # 0
23	1, 21, 22	divclapi 8773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
24	21, 22	recclapi 8761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
25		df-3 9042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
26	25	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
27	21, 22	dividapi 8764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = 1
28		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	1, 28, 21, 22	divdirapi 8788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
30	26, 27, 29	3eqtr3ri 2223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
31		sincosq1eq 14974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
32	23, 24, 30, 31	mp3an 1348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
33		picn 14922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
34	1, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 8791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
35		3t2e6 9138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
36	35	oveq2i 5929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
37		6cn 9064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	1, 33, 37, 6	divassapi 8787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
39	34, 36, 38	3eqtri 2218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
40	39	fveq2i 5557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
41	32, 40	eqtr3i 2216	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
42	28, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 8791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
43	33	mullidi 8022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
44	43, 35	oveq12i 5930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
45	42, 44	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
46	45	fveq2i 5557	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
47	41, 46	eqtr3i 2216	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
48	20, 47	eqtri 2214	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
49	16	mullidi 8022	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
50	48, 49	eqtr4i 2217	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
51	1, 10	mulcli 8024	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
52		pipos 14923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
53	3, 4, 52, 5	divgt0ii 8938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (π / 6)
54		2lt6 9164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 6
55		2re 9052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
56		2pos 9073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
57	55, 56	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58	4, 5	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
59	3, 52	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
60		ltdiv2 8906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
61	57, 58, 59, 60	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
62	54, 61	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
63		0re 8019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		halfpire 14927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
65		rexr 8065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
66		rexr 8065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67		elioo2 9987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
68	65, 66, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
69	63, 64, 68	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
70	7, 53, 62, 69	mpbir3an 1181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
71		sincosq1sgn 14961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
73	72	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
74	15, 73	gt0ap0ii 8647	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) # 0
75	16, 74	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)
76		mulcanap2 8685	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
77	51, 28, 75, 76	mp3an 1348	. . . . . 6 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
78	50, 77	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
80	2, 11, 13, 79	mvllmulapd 8861	. . 3 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) = (1 / 2))
81	80	mptru 1373	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
82		3re 9056	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
83		3pos 9076	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	sqrtpclii 11274	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
85	84	recni 8031	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
86	85, 1, 12	sqdivapi 10694	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
87	63, 82, 83	ltleii 8122	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
88	82	sqsqrti 11268	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
90		sq2 10706	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
91	89, 90	oveq12i 5930	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
92	86, 91	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
93	92	fveq2i 5557	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
94	82	sqrtge0i 11269	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
95	87, 94	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
96	84, 55	divge0i 8930	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
97	95, 56, 96	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
98	84, 55, 12	redivclapi 8798	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
99	98	sqrtsqi 11267	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
100	97, 99	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
101		4cn 9060	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
102		4ap0 9081	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
103	101, 102	dividapi 8764	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
104	103	oveq1i 5928	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
105	101, 102	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)
106		divsubdirap 8727	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
107	101, 28, 105, 106	mp3an 1348	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
108		4m1e3 9103	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
109	108	oveq1i 5928	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
110	107, 109	eqtr3i 2216	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
111	101, 102	recclapi 8761	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
112	16	sqcli 10691	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
113	81	oveq1i 5928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
114		2z 9345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
115		exprecap 10651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2)))
116	1, 12, 114, 115	mp3an 1348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
117	90	oveq2i 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
118	113, 116, 117	3eqtri 2218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
119	118	oveq1i 5928	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
120		sincossq 11891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
121	8, 120	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
122	119, 121	eqtr3i 2216	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
123	28, 111, 112, 122	subaddrii 8308	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
124	104, 110, 123	3eqtr3ri 2223	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
125	124	fveq2i 5557	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
126	63, 15, 73	ltleii 8122	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
127	15	sqrtsqi 11267	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
128	126, 127	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
129	125, 128	eqtr3i 2216	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
130	93, 100, 129	3eqtr3ri 2223	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
131	81, 130	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  6c6 9037  ℤcz 9317  (,)cioo 9954  ↑cexp 10609  √csqrt 11140  sincsin 11787  cosccos 11788  πcpi 11790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992  ax-pre-suploc 7993  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-disj 4007  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-map 6704  df-pm 6705  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-ioo 9958  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-icc 9961  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-bc 10819  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793  df-cos 11794  df-pi 11796  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-ntr 14264  df-cn 14356  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-cncf 14726  df-limced 14810  df-dvap 14811

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  14978  pigt3  14979