Theorem sincos6thpi 15833

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9325	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
3		pire 15777	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4		6re 9335	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		6pos 9355	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 6
6	4, 5	gt0ap0ii 8919	. . . . . . . 8 ⊢ 6 # 0
7	3, 4, 6	redivclapi 9070	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
8	7	recni 8302	. . . . . 6 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
9		sincl 12417	. . . . . 6 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
12		2ap0 9347	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 # 0)
14		recoscl 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
16	15	recni 8302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
17	1, 10, 16	mulassi 8299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
18		sin2t 12460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
19	8, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
20	17, 19	eqtr4i 2258	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
21		3cn 9329	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
22		3ap0 9350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 # 0
23	1, 21, 22	divclapi 9045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
24	21, 22	recclapi 9033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
25		df-3 9314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
26	25	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
27	21, 22	dividapi 9036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = 1
28		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	1, 28, 21, 22	divdirapi 9060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
30	26, 27, 29	3eqtr3ri 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
31		sincosq1eq 15830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
32	23, 24, 30, 31	mp3an 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
33		picn 15778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
34	1, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 9063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
35		3t2e6 9411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
36	35	oveq2i 6069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
37		6cn 9336	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	1, 33, 37, 6	divassapi 9059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
39	34, 36, 38	3eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
40	39	fveq2i 5678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
41	32, 40	eqtr3i 2257	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
42	28, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 9063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
43	33	mullidi 8293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
44	43, 35	oveq12i 6070	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
45	42, 44	eqtri 2255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
46	45	fveq2i 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
47	41, 46	eqtr3i 2257	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
48	20, 47	eqtri 2255	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
49	16	mullidi 8293	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
50	48, 49	eqtr4i 2258	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
51	1, 10	mulcli 8295	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
52		pipos 15779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
53	3, 4, 52, 5	divgt0ii 9210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (π / 6)
54		2lt6 9437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 6
55		2re 9324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
56		2pos 9345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
57	55, 56	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58	4, 5	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
59	3, 52	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
60		ltdiv2 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
61	57, 58, 59, 60	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
62	54, 61	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
63		0re 8290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		halfpire 15783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
65		rexr 8335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
66		rexr 8335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67		elioo2 10273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
68	65, 66, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
69	63, 64, 68	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
70	7, 53, 62, 69	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
71		sincosq1sgn 15817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
73	72	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
74	15, 73	gt0ap0ii 8919	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) # 0
75	16, 74	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)
76		mulcanap2 8957	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
77	51, 28, 75, 76	mp3an 1374	. . . . . 6 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
78	50, 77	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
80	2, 11, 13, 79	mvllmulapd 9133	. . 3 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) = (1 / 2))
81	80	mptru 1407	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
82		3re 9328	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
83		3pos 9348	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	sqrtpclii 11840	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
85	84	recni 8302	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
86	85, 1, 12	sqdivapi 11009	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
87	63, 82, 83	ltleii 8392	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
88	82	sqsqrti 11834	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
90		sq2 11021	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
91	89, 90	oveq12i 6070	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
92	86, 91	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
93	92	fveq2i 5678	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
94	82	sqrtge0i 11835	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
95	87, 94	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
96	84, 55	divge0i 9202	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
97	95, 56, 96	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
98	84, 55, 12	redivclapi 9070	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
99	98	sqrtsqi 11833	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
100	97, 99	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
101		4cn 9332	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
102		4ap0 9353	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
103	101, 102	dividapi 9036	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
104	103	oveq1i 6068	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
105	101, 102	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)
106		divsubdirap 8999	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
107	101, 28, 105, 106	mp3an 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
108		4m1e3 9375	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
109	108	oveq1i 6068	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
110	107, 109	eqtr3i 2257	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
111	101, 102	recclapi 9033	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
112	16	sqcli 11006	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
113	81	oveq1i 6068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
114		2z 9622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
115		exprecap 10966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2)))
116	1, 12, 114, 115	mp3an 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
117	90	oveq2i 6069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
118	113, 116, 117	3eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
119	118	oveq1i 6068	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
120		sincossq 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
121	8, 120	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
122	119, 121	eqtr3i 2257	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
123	28, 111, 112, 122	subaddrii 8578	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
124	104, 110, 123	3eqtr3ri 2264	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
125	124	fveq2i 5678	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
126	63, 15, 73	ltleii 8392	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
127	15	sqrtsqi 11833	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
128	126, 127	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
129	125, 128	eqtr3i 2257	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
130	93, 100, 129	3eqtr3ri 2264	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
131	81, 130	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  2c2 9305  3c3 9306  4c4 9307  6c6 9309  ℤcz 9594  (,)cioo 10240  ↑cexp 10924  √csqrt 11706  sincsin 12355  cosccos 12356  πcpi 12358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-ioo 10244  df-ioc 10245  df-ico 10246  df-icc 10247  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-fac 11113  df-bc 11135  df-ihash 11164  df-shft 11525  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-sumdc 12064  df-ef 12359  df-sin 12361  df-cos 12362  df-pi 12364  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-ntr 15087  df-cn 15179  df-cnp 15180  df-tx 15244  df-cncf 15562  df-limced 15647  df-dvap 15648

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  15834  pigt3  15835