Theorem sincos6thpi 16069

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9384	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
3		pire 16013	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4		6re 9394	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		6pos 9414	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 6
6	4, 5	gt0ap0ii 8964	. . . . . . . 8 ⊢ 6 # 0
7	3, 4, 6	redivclapi 9117	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
8	7	recni 8344	. . . . . 6 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
9		sincl 12498	. . . . . 6 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
12		2ap0 9406	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 # 0)
14		recoscl 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
16	15	recni 8344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
17	1, 10, 16	mulassi 8341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
18		sin2t 12541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
19	8, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
20	17, 19	eqtr4i 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
21		3cn 9388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
22		3ap0 9409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 # 0
23	1, 21, 22	divclapi 9092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
24	21, 22	recclapi 9080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
25		df-3 9373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
26	25	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
27	21, 22	dividapi 9083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = 1
28		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	1, 28, 21, 22	divdirapi 9107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
30	26, 27, 29	3eqtr3ri 2268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
31		sincosq1eq 16066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
32	23, 24, 30, 31	mp3an 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
33		picn 16014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
34	1, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 9110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
35		3t2e6 9470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
36	35	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
37		6cn 9395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	1, 33, 37, 6	divassapi 9106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
39	34, 36, 38	3eqtri 2263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
40	39	fveq2i 5701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
41	32, 40	eqtr3i 2261	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
42	28, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 9110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
43	33	mullidi 8335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
44	43, 35	oveq12i 6100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
45	42, 44	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
46	45	fveq2i 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
47	41, 46	eqtr3i 2261	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
48	20, 47	eqtri 2259	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
49	16	mullidi 8335	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
50	48, 49	eqtr4i 2262	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
51	1, 10	mulcli 8337	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
52		pipos 16015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
53	3, 4, 52, 5	divgt0ii 9257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (π / 6)
54		2lt6 9498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 6
55		2re 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
56		2pos 9404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
57	55, 56	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58	4, 5	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
59	3, 52	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
60		ltdiv2 9225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
61	57, 58, 59, 60	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
62	54, 61	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
63		0re 8332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		halfpire 16019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
65		rexr 8377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
66		rexr 8377	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67		elioo2 10340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
68	65, 66, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
69	63, 64, 68	mp2an 430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
70	7, 53, 62, 69	mpbir3an 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
71		sincosq1sgn 16053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
73	72	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
74	15, 73	gt0ap0ii 8964	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) # 0
75	16, 74	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)
76		mulcanap2 9002	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
77	51, 28, 75, 76	mp3an 1378	. . . . . 6 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
78	50, 77	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
80	2, 11, 13, 79	mvllmulapd 9180	. . 3 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) = (1 / 2))
81	80	mptru 1411	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
82		3re 9387	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
83		3pos 9407	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	sqrtpclii 11919	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
85	84	recni 8344	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
86	85, 1, 12	sqdivapi 11081	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
87	63, 82, 83	ltleii 8435	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
88	82	sqsqrti 11913	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
90		sq2 11093	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
91	89, 90	oveq12i 6100	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
92	86, 91	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
93	92	fveq2i 5701	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
94	82	sqrtge0i 11914	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
95	87, 94	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
96	84, 55	divge0i 9249	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
97	95, 56, 96	mp2an 430	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
98	84, 55, 12	redivclapi 9117	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
99	98	sqrtsqi 11912	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
100	97, 99	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
101		4cn 9391	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
102		4ap0 9412	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
103	101, 102	dividapi 9083	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
104	103	oveq1i 6098	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
105	101, 102	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)
106		divsubdirap 9046	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
107	101, 28, 105, 106	mp3an 1378	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
108		4m1e3 9434	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
109	108	oveq1i 6098	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
110	107, 109	eqtr3i 2261	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
111	101, 102	recclapi 9080	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
112	16	sqcli 11078	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
113	81	oveq1i 6098	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
114		2z 9683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
115		exprecap 11038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2)))
116	1, 12, 114, 115	mp3an 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
117	90	oveq2i 6099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
118	113, 116, 117	3eqtri 2263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
119	118	oveq1i 6098	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
120		sincossq 12540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
121	8, 120	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
122	119, 121	eqtr3i 2261	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
123	28, 111, 112, 122	subaddrii 8622	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
124	104, 110, 123	3eqtr3ri 2268	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
125	124	fveq2i 5701	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
126	63, 15, 73	ltleii 8435	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
127	15	sqrtsqi 11912	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
128	126, 127	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
129	125, 128	eqtr3i 2261	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
130	93, 100, 129	3eqtr3ri 2268	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
131	81, 130	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  ℝ^*cxr 8365   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  6c6 9368  ℤcz 9655  (,)cioo 10307  ↑cexp 10996  √csqrt 11784  sincsin 12436  cosccos 12437  πcpi 12439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ioo 10311  df-ioc 10312  df-ico 10313  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443  df-pi 12445  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797  df-limced 15882  df-dvap 15883

This theorem is used by:  sincos3rdpi  16070  pigt3  16071