Theorem sincos6thpi 15636

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9256	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
3		pire 15580	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4		6re 9266	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		6pos 9286	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 6
6	4, 5	gt0ap0ii 8850	. . . . . . . 8 ⊢ 6 # 0
7	3, 4, 6	redivclapi 9001	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
8	7	recni 8234	. . . . . 6 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
9		sincl 12330	. . . . . 6 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
12		2ap0 9278	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 # 0)
14		recoscl 12345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
16	15	recni 8234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
17	1, 10, 16	mulassi 8231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
18		sin2t 12373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
19	8, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
20	17, 19	eqtr4i 2255	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
21		3cn 9260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
22		3ap0 9281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 # 0
23	1, 21, 22	divclapi 8976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
24	21, 22	recclapi 8964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
25		df-3 9245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
26	25	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
27	21, 22	dividapi 8967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = 1
28		ax-1cn 8168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	1, 28, 21, 22	divdirapi 8991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
30	26, 27, 29	3eqtr3ri 2261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
31		sincosq1eq 15633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
32	23, 24, 30, 31	mp3an 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
33		picn 15581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
34	1, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 8994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
35		3t2e6 9342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
36	35	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
37		6cn 9267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	1, 33, 37, 6	divassapi 8990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
39	34, 36, 38	3eqtri 2256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
40	39	fveq2i 5651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
41	32, 40	eqtr3i 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
42	28, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 8994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
43	33	mullidi 8225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
44	43, 35	oveq12i 6040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
45	42, 44	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
46	45	fveq2i 5651	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
47	41, 46	eqtr3i 2254	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
48	20, 47	eqtri 2252	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
49	16	mullidi 8225	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
50	48, 49	eqtr4i 2255	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
51	1, 10	mulcli 8227	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
52		pipos 15582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
53	3, 4, 52, 5	divgt0ii 9141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (π / 6)
54		2lt6 9368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 6
55		2re 9255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
56		2pos 9276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
57	55, 56	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58	4, 5	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
59	3, 52	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
60		ltdiv2 9109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
61	57, 58, 59, 60	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
62	54, 61	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
63		0re 8222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		halfpire 15586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
65		rexr 8267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
66		rexr 8267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67		elioo2 10200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
68	65, 66, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
69	63, 64, 68	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
70	7, 53, 62, 69	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
71		sincosq1sgn 15620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
73	72	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
74	15, 73	gt0ap0ii 8850	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) # 0
75	16, 74	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)
76		mulcanap2 8888	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
77	51, 28, 75, 76	mp3an 1374	. . . . . 6 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
78	50, 77	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
80	2, 11, 13, 79	mvllmulapd 9064	. . 3 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) = (1 / 2))
81	80	mptru 1407	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
82		3re 9259	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
83		3pos 9279	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	sqrtpclii 11753	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
85	84	recni 8234	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
86	85, 1, 12	sqdivapi 10931	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
87	63, 82, 83	ltleii 8324	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
88	82	sqsqrti 11747	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
90		sq2 10943	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
91	89, 90	oveq12i 6040	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
92	86, 91	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
93	92	fveq2i 5651	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
94	82	sqrtge0i 11748	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
95	87, 94	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
96	84, 55	divge0i 9133	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
97	95, 56, 96	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
98	84, 55, 12	redivclapi 9001	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
99	98	sqrtsqi 11746	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
100	97, 99	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
101		4cn 9263	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
102		4ap0 9284	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
103	101, 102	dividapi 8967	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
104	103	oveq1i 6038	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
105	101, 102	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)
106		divsubdirap 8930	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
107	101, 28, 105, 106	mp3an 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
108		4m1e3 9306	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
109	108	oveq1i 6038	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
110	107, 109	eqtr3i 2254	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
111	101, 102	recclapi 8964	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
112	16	sqcli 10928	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
113	81	oveq1i 6038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
114		2z 9551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
115		exprecap 10888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2)))
116	1, 12, 114, 115	mp3an 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
117	90	oveq2i 6039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
118	113, 116, 117	3eqtri 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
119	118	oveq1i 6038	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
120		sincossq 12372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
121	8, 120	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
122	119, 121	eqtr3i 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
123	28, 111, 112, 122	subaddrii 8510	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
124	104, 110, 123	3eqtr3ri 2261	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
125	124	fveq2i 5651	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
126	63, 15, 73	ltleii 8324	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
127	15	sqrtsqi 11746	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
128	126, 127	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
129	125, 128	eqtr3i 2254	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
130	93, 100, 129	3eqtr3ri 2261	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
131	81, 130	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080  ℝ^*cxr 8255   < clt 8256   ≤ cle 8257   − cmin 8392   # cap 8803   / cdiv 8894  2c2 9236  3c3 9237  4c4 9238  6c6 9240  ℤcz 9523  (,)cioo 10167  ↑cexp 10846  √csqrt 11619  sincsin 12268  cosccos 12269  πcpi 12271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-ioo 10171  df-ioc 10172  df-ico 10173  df-icc 10174  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-sin 12274  df-cos 12275  df-pi 12277  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-cncf 15365  df-limced 15450  df-dvap 15451

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  15637  pigt3  15638