Theorem sincos6thpi 15510

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 9177	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
3		pire 15454	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
4		6re 9187	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
5		6pos 9207	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 6
6	4, 5	gt0ap0ii 8771	. . . . . . . 8 ⊢ 6 # 0
7	3, 4, 6	redivclapi 8922	. . . . . . 7 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
8	7	recni 8154	. . . . . 6 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
9		sincl 12212	. . . . . 6 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
12		2ap0 9199	. . . . 5 ⊢ 2 # 0
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 # 0)
14		recoscl 12227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
16	15	recni 8154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
17	1, 10, 16	mulassi 8151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
18		sin2t 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
19	8, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
20	17, 19	eqtr4i 2253	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
21		3cn 9181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℂ
22		3ap0 9202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 # 0
23	1, 21, 22	divclapi 8897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
24	21, 22	recclapi 8885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
25		df-3 9166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = (2 + 1)
26	25	oveq1i 6010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
27	21, 22	dividapi 8888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 / 3) = 1
28		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	1, 28, 21, 22	divdirapi 8912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
30	26, 27, 29	3eqtr3ri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
31		sincosq1eq 15507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
32	23, 24, 30, 31	mp3an 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
33		picn 15455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℂ
34	1, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 8915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
35		3t2e6 9263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
36	35	oveq2i 6011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
37		6cn 9188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 6 ∈ ℂ
38	1, 33, 37, 6	divassapi 8911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
39	34, 36, 38	3eqtri 2254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
40	39	fveq2i 5629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
41	32, 40	eqtr3i 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
42	28, 21, 33, 1, 22, 12	divmuldivapi 8915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
43	33	mullidi 8145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · π) = π
44	43, 35	oveq12i 6012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
45	42, 44	eqtri 2250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
46	45	fveq2i 5629	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
47	41, 46	eqtr3i 2252	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
48	20, 47	eqtri 2250	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
49	16	mullidi 8145	. . . . . . 7 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
50	48, 49	eqtr4i 2253	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
51	1, 10	mulcli 8147	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
52		pipos 15456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
53	3, 4, 52, 5	divgt0ii 9062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (π / 6)
54		2lt6 9289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < 6
55		2re 9176	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
56		2pos 9197	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 < 2
57	55, 56	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
58	4, 5	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
59	3, 52	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
60		ltdiv2 9030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
61	57, 58, 59, 60	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
62	54, 61	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
63		0re 8142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
64		halfpire 15460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
65		rexr 8188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
66		rexr 8188	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67		elioo2 10113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
68	65, 66, 67	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
69	63, 64, 68	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
70	7, 53, 62, 69	mpbir3an 1203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
71		sincosq1sgn 15494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
73	72	simpri 113	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
74	15, 73	gt0ap0ii 8771	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) # 0
75	16, 74	pm3.2i 272	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)
76		mulcanap2 8809	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) # 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
77	51, 28, 75, 76	mp3an 1371	. . . . . 6 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
78	50, 77	mpbi 145	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
79	78	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
80	2, 11, 13, 79	mvllmulapd 8985	. . 3 ⊢ (⊤ → (sin‘(π / 6)) = (1 / 2))
81	80	mptru 1404	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
82		3re 9180	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
83		3pos 9200	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
84	82, 83	sqrtpclii 11636	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
85	84	recni 8154	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
86	85, 1, 12	sqdivapi 10840	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
87	63, 82, 83	ltleii 8245	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
88	82	sqsqrti 11630	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
90		sq2 10852	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
91	89, 90	oveq12i 6012	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
92	86, 91	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
93	92	fveq2i 5629	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
94	82	sqrtge0i 11631	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
95	87, 94	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
96	84, 55	divge0i 9054	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
97	95, 56, 96	mp2an 426	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
98	84, 55, 12	redivclapi 8922	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
99	98	sqrtsqi 11629	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
100	97, 99	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
101		4cn 9184	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
102		4ap0 9205	. . . . . . . 8 ⊢ 4 # 0
103	101, 102	dividapi 8888	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
104	103	oveq1i 6010	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
105	101, 102	pm3.2i 272	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)
106		divsubdirap 8851	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 # 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
107	101, 28, 105, 106	mp3an 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
108		4m1e3 9227	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
109	108	oveq1i 6010	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
110	107, 109	eqtr3i 2252	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
111	101, 102	recclapi 8885	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
112	16	sqcli 10837	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
113	81	oveq1i 6010	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
114		2z 9470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
115		exprecap 10797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0 ∧ 2 ∈ ℤ) → ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2)))
116	1, 12, 114, 115	mp3an 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
117	90	oveq2i 6011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
118	113, 116, 117	3eqtri 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
119	118	oveq1i 6010	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
120		sincossq 12254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
121	8, 120	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
122	119, 121	eqtr3i 2252	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
123	28, 111, 112, 122	subaddrii 8431	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
124	104, 110, 123	3eqtr3ri 2259	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
125	124	fveq2i 5629	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
126	63, 15, 73	ltleii 8245	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
127	15	sqrtsqi 11629	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
128	126, 127	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
129	125, 128	eqtr3i 2252	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
130	93, 100, 129	3eqtr3ri 2259	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
131	81, 130	pm3.2i 272	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177   ≤ cle 8178   − cmin 8313   # cap 8724   / cdiv 8815  2c2 9157  3c3 9158  4c4 9159  6c6 9161  ℤcz 9442  (,)cioo 10080  ↑cexp 10755  √csqrt 11502  sincsin 12150  cosccos 12151  πcpi 12153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-pre-suploc 8116  ax-addf 8117  ax-mulf 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-map 6795  df-pm 6796  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-ioo 10084  df-ioc 10085  df-ico 10086  df-icc 10087  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-fac 10943  df-bc 10965  df-ihash 10993  df-shft 11321  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785  df-sumdc 11860  df-ef 12154  df-sin 12156  df-cos 12157  df-pi 12159  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-cncf 15239  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  15511  pigt3  15512