Theorem 4bc2eq6 11035

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9489	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9508	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9506	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1201	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9232	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9212	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9219	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9316	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8281	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10252	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 11011	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9419	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10991	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9203	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5642	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6028	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2262	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9220	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9213	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9269	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8467	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5642	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10992	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6029	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9297	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6029	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10996	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9152	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9241	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8938	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10993	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2252	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2252	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   ≤ cle 8214   − cmin 8349   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  3c3 9194  4c4 9195  6c6 9197  ℕ₀cn0 9401  ℤcz 9478  ...cfz 10242  !cfa 10986  Ccbc 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-fac 10987  df-bc 11009

This theorem is referenced by:  ex-bc  16325