ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 GIF version

Theorem 4bc2eq6 10767
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 9277 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 9296 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 9294 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1176 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 9022 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 9002 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 9009 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 9105 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 8073 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 272 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 10031 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 426 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 10743 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 5 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 9207 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 10723 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 8993 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 5530 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 5899 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2218 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 9010 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 9003 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 9059 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 8259 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 5530 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 10724 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2208 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 5900 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 9086 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2208 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 5900 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 10728 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 8942 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ap0 9031 . . . . 5 4 # 0
3735, 22, 36divcanap4i 8729 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 10725 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2208 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2208 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2208 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829  cle 8006  cmin 8141   / cdiv 8642  cn 8932  2c2 8983  3c3 8984  4c4 8985  6c6 8987  0cn0 9189  cz 9266  ...cfz 10021  !cfa 10718  Ccbc 10740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-fz 10022  df-seqfrec 10459  df-fac 10719  df-bc 10741
This theorem is referenced by:  ex-bc  14708
  Copyright terms: Public domain W3C validator