Theorem 4bc2eq6 11082

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9534	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9553	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9551	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1202	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9275	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9255	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9262	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9359	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8324	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10298	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 11058	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9462	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 11038	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9246	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5651	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6039	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2262	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9263	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9256	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9312	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8510	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5651	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 11039	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6040	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9340	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6040	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 11043	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9195	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9284	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8981	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 11040	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2252	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2252	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   · cmul 8080   ≤ cle 8257   − cmin 8392   / cdiv 8894  ℕcn 9185  2c2 9236  3c3 9237  4c4 9238  6c6 9240  ℕ₀cn0 9444  ℤcz 9523  ...cfz 10288  !cfa 11033  Ccbc 11055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-fz 10289  df-seqfrec 10756  df-fac 11034  df-bc 11056

This theorem is referenced by:  ex-bc  16426