Theorem 4bc2eq6 10866

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9337	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9356	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9354	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9080	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9060	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9067	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9164	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8129	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10093	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10842	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9267	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10822	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9051	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5561	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5933	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2227	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9068	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9061	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9117	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8315	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5561	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10823	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5934	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9145	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5934	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10827	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9000	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9089	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8786	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10824	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2217	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2217	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2217	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   ≤ cle 8062   − cmin 8197   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  3c3 9042  4c4 9043  6c6 9045  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ...cfz 10083  !cfa 10817  Ccbc 10839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-fz 10084  df-seqfrec 10540  df-fac 10818  df-bc 10840

This theorem is referenced by:  ex-bc  15375