Theorem 4bc2eq6 10243

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8822	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 8841	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 8839	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1122	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 8573	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 8553	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 8560	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 8650	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 7648	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 267	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 9494	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 418	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10219	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 7	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 8752	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10199	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8544	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5321	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5677	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2119	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 8561	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 8554	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 8604	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 7832	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5321	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10200	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2109	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5678	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 8631	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2109	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5678	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10204	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8493	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 8582	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8287	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10201	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2109	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2109	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2109	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∧ w3a 925   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3851  ‘cfv 5028  (class class class)co 5666  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416   ≤ cle 7584   − cmin 7714   / cdiv 8200  ℕcn 8483  2c2 8534  3c3 8535  4c4 8536  6c6 8538  ℕ₀cn0 8734  ℤcz 8811  ...cfz 9485  !cfa 10194  Ccbc 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-5 8545  df-6 8546  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-fz 9486  df-iseq 9914  df-fac 10195  df-bc 10217

This theorem is referenced by:  ex-bc  11929