Theorem 4bc2eq6 11008

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9468	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9487	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9485	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1199	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9211	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9191	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9198	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9295	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8260	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10226	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10984	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9398	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10964	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9182	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5632	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6018	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2260	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9199	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9192	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9248	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8446	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5632	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10965	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2250	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6019	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9276	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6019	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10969	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9131	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9220	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8917	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10966	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2250	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2250	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  0cc0 8010  1c1 8011   + caddc 8013   · cmul 8015   ≤ cle 8193   − cmin 8328   / cdiv 8830  ℕcn 9121  2c2 9172  3c3 9173  4c4 9174  6c6 9176  ℕ₀cn0 9380  ℤcz 9457  ...cfz 10216  !cfa 10959  Ccbc 10981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-fz 10217  df-seqfrec 10682  df-fac 10960  df-bc 10982

This theorem is referenced by:  ex-bc  16148