Theorem 4bc2eq6 10885

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9356	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9375	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9373	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9099	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9079	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9086	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9183	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8148	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10112	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10861	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9286	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10841	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9070	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5564	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5936	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2227	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9087	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9080	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9136	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8334	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5564	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10842	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2217	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5937	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9164	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5937	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10846	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9019	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9108	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8805	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10843	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2217	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2217	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2217	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   ≤ cle 8081   − cmin 8216   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  3c3 9061  4c4 9062  6c6 9064  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ...cfz 10102  !cfa 10836  Ccbc 10858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-fz 10103  df-seqfrec 10559  df-fac 10837  df-bc 10859

This theorem is referenced by:  ex-bc  15483