Theorem 4bc2eq6 10767

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9277	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9296	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9294	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1176	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9022	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9002	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9009	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9105	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8073	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10031	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10743	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9207	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10723	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8993	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5530	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5899	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2218	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9010	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9003	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9059	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8259	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5530	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10724	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2208	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5900	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9086	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2208	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5900	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10728	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8942	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9031	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8729	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10725	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2208	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2208	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2208	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829   ≤ cle 8006   − cmin 8141   / cdiv 8642  ℕcn 8932  2c2 8983  3c3 8984  4c4 8985  6c6 8987  ℕ₀cn0 9189  ℤcz 9266  ...cfz 10021  !cfa 10718  Ccbc 10740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-fz 10022  df-seqfrec 10459  df-fac 10719  df-bc 10741

This theorem is referenced by:  ex-bc  14708