Theorem 4bc2eq6 10683

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9198	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9217	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9215	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1165	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 8943	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 8923	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 8930	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9026	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 7997	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 270	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 9949	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 423	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10659	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9128	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10639	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8914	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5488	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5852	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2196	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 8931	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 8924	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 8980	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8183	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5488	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10640	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2186	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5853	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9007	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2186	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5853	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10644	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8863	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 8952	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8651	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10641	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2186	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2186	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2186	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   · cmul 7754   ≤ cle 7930   − cmin 8065   / cdiv 8564  ℕcn 8853  2c2 8904  3c3 8905  4c4 8906  6c6 8908  ℕ₀cn0 9110  ℤcz 9187  ...cfz 9940  !cfa 10634  Ccbc 10656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-2 8912  df-3 8913  df-4 8914  df-5 8915  df-6 8916  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-q 9554  df-fz 9941  df-seqfrec 10377  df-fac 10635  df-bc 10657

This theorem is referenced by:  ex-bc  13570