Theorem 4bc2eq6 10941

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9403	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9422	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9420	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1178	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9146	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9126	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9133	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9230	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8195	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10160	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10917	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9333	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10897	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9117	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5592	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5968	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2237	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9134	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9127	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9183	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8381	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5592	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10898	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2227	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5969	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9211	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5969	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10902	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9066	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9155	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8852	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10899	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2227	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2227	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2227	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  0cc0 7945  1c1 7946   + caddc 7948   · cmul 7950   ≤ cle 8128   − cmin 8263   / cdiv 8765  ℕcn 9056  2c2 9107  3c3 9108  4c4 9109  6c6 9111  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  ...cfz 10150  !cfa 10892  Ccbc 10914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-fz 10151  df-seqfrec 10615  df-fac 10893  df-bc 10915

This theorem is referenced by:  ex-bc  15804