Theorem 4bc2eq6 11162

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9605	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9624	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9622	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1202	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9344	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9324	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9331	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9428	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8392	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10371	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 11137	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9531	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 11117	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9315	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5678	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6069	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2265	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9332	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9325	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9381	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8578	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5678	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 11118	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2255	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6070	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9409	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6070	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 11122	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9264	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9353	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 9050	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 11119	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2255	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2255	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2255	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   ≤ cle 8325   − cmin 8460   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  3c3 9306  4c4 9307  6c6 9309  ℕ₀cn0 9513  ℤcz 9594  ...cfz 10361  !cfa 11112  Ccbc 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-fz 10362  df-seqfrec 10834  df-fac 11113  df-bc 11135

This theorem is referenced by:  ex-bc  16623