Theorem 4bc2eq6 10917

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9382	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9401	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9125	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9105	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9112	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9209	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8174	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10139	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10893	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9312	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10873	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9096	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5578	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5954	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2235	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9113	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9106	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9162	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8360	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5578	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10874	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2225	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5955	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9190	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2225	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5955	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10878	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9045	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9134	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8831	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10875	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2225	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2225	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2225	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  0cc0 7924  1c1 7925   + caddc 7927   · cmul 7929   ≤ cle 8107   − cmin 8242   / cdiv 8744  ℕcn 9035  2c2 9086  3c3 9087  4c4 9088  6c6 9090  ℕ₀cn0 9294  ℤcz 9371  ...cfz 10129  !cfa 10868  Ccbc 10890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-fz 10130  df-seqfrec 10591  df-fac 10869  df-bc 10891

This theorem is referenced by:  ex-bc  15598