Theorem 4bc2eq6 11191

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9634	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9653	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9651	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1206	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9373	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9353	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9360	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9457	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8418	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10400	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 430	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 11166	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9560	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 11146	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9344	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5693	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2269	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9361	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9354	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9410	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8605	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5693	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 11147	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2259	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6087	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9438	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6087	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 11151	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9293	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9382	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 9079	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 11148	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2259	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2259	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   ≤ cle 8351   − cmin 8487   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  3c3 9335  4c4 9336  6c6 9338  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ...cfz 10390  !cfa 11141  Ccbc 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-fac 11142  df-bc 11164

This theorem is referenced by:  ex-bc  16657