Theorem 4bc2eq6 10756

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9266	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9285	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9283	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1175	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9011	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 8991	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 8998	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9094	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8062	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10020	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10732	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9196	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10712	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8982	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5520	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5888	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2208	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 8999	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 8992	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9048	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8248	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5520	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10713	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2198	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5889	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9075	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5889	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10717	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8931	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9020	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8718	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10714	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2198	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2198	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2198	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   ≤ cle 7995   − cmin 8130   / cdiv 8631  ℕcn 8921  2c2 8972  3c3 8973  4c4 8974  6c6 8976  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ...cfz 10010  !cfa 10707  Ccbc 10729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-fac 10708  df-bc 10730

This theorem is referenced by:  ex-bc  14566