Theorem 4bc2eq6 11137

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9588	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9607	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9605	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1202	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9327	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9307	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9314	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9411	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8376	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10352	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 11112	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9514	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 11092	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9298	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5673	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6061	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2263	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9315	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9308	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9364	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8562	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5673	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 11093	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2253	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6062	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9392	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2253	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6062	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 11097	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9247	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9336	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 9033	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 11094	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2253	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2253	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2253	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  0cc0 8127  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132   ≤ cle 8309   − cmin 8444   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  3c3 9289  4c4 9290  6c6 9292  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ...cfz 10342  !cfa 11087  Ccbc 11109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-fz 10343  df-seqfrec 10810  df-fac 11088  df-bc 11110

This theorem is referenced by:  ex-bc  16497