Theorem 4bc2eq6 11036

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9490	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9509	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9507	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1201	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9233	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9213	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9220	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9317	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8282	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10253	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 11012	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9420	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10992	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9204	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5642	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2262	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9221	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9270	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8468	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5642	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10993	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2252	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6030	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9298	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6030	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10997	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9153	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9242	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8939	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10994	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2252	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2252	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2252	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037   ≤ cle 8215   − cmin 8350   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  6c6 9198  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ...cfz 10243  !cfa 10987  Ccbc 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-fz 10244  df-seqfrec 10710  df-fac 10988  df-bc 11010

This theorem is referenced by:  ex-bc  16328