Theorem 4bc2eq6 10772

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9282	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9301	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9299	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9027	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9007	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9014	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9110	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8078	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10036	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10748	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9212	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10728	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8998	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5533	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5902	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2220	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9015	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9008	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9064	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8264	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5533	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10729	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2210	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5903	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9091	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2210	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5903	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10733	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8947	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9036	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8734	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10730	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2210	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2210	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2210	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5231  (class class class)co 5891  0cc0 7829  1c1 7830   + caddc 7832   · cmul 7834   ≤ cle 8011   − cmin 8146   / cdiv 8647  ℕcn 8937  2c2 8988  3c3 8989  4c4 8990  6c6 8992  ℕ₀cn0 9194  ℤcz 9271  ...cfz 10026  !cfa 10723  Ccbc 10745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-5 8999  df-6 9000  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-fz 10027  df-seqfrec 10464  df-fac 10724  df-bc 10746

This theorem is referenced by:  ex-bc  14878