ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  4bc2eq6 GIF version

Theorem 4bc2eq6 10243
Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
4bc2eq6 (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6
StepHypRef Expression
1 0z 8822 . . . . 5 0 ∈ ℤ
2 4z 8841 . . . . 5 4 ∈ ℤ
3 2z 8839 . . . . 5 2 ∈ ℤ
41, 2, 33pm3.2i 1122 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5 0le2 8573 . . . . 5 0 ≤ 2
6 2re 8553 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
7 4re 8560 . . . . . 6 4 ∈ ℝ
8 2lt4 8650 . . . . . 6 2 < 4
96, 7, 8ltleii 7648 . . . . 5 2 ≤ 4
105, 9pm3.2i 267 . . . 4 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11 elfz4 9494 . . . 4 (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
124, 10, 11mp2an 418 . . 3 2 ∈ (0...4)
13 bcval2 10219 . . 3 (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
1412, 13ax-mp 7 . 2 (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15 3nn0 8752 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
16 facp1 10199 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
1715, 16ax-mp 7 . . . . 5 (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18 df-4 8544 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
1918fveq2i 5321 . . . . 5 (!‘4) = (!‘(3 + 1))
2018oveq2i 5677 . . . . 5 ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
2117, 19, 203eqtr4i 2119 . . . 4 (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22 4cn 8561 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
23 2cn 8554 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
24 2p2e4 8604 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
2522, 23, 23, 24subaddrii 7832 . . . . . . . 8 (4 − 2) = 2
2625fveq2i 5321 . . . . . . 7 (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27 fac2 10200 . . . . . . 7 (!‘2) = 2
2826, 27eqtri 2109 . . . . . 6 (!‘(4 − 2)) = 2
2928, 27oveq12i 5678 . . . . 5 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30 2t2e4 8631 . . . . 5 (2 · 2) = 4
3129, 30eqtri 2109 . . . 4 ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
3221, 31oveq12i 5678 . . 3 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33 faccl 10204 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
3415, 33ax-mp 7 . . . . . 6 (!‘3) ∈ ℕ
3534nncni 8493 . . . . 5 (!‘3) ∈ ℂ
36 4ap0 8582 . . . . 5 4 # 0
3735, 22, 36divcanap4i 8287 . . . 4 (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38 fac3 10201 . . . 4 (!‘3) = 6
3937, 38eqtri 2109 . . 3 (((!‘3) · 4) / 4) = 6
4032, 39eqtri 2109 . 2 ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
4114, 40eqtri 2109 1 (4C2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  w3a 925   = wceq 1290  wcel 1439   class class class wbr 3851  cfv 5028  (class class class)co 5666  0cc0 7411  1c1 7412   + caddc 7414   · cmul 7416  cle 7584  cmin 7714   / cdiv 8200  cn 8483  2c2 8534  3c3 8535  4c4 8536  6c6 8538  0cn0 8734  cz 8811  ...cfz 9485  !cfa 10194  Ccbc 10216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-5 8545  df-6 8546  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-fz 9486  df-iseq 9914  df-fac 10195  df-bc 10217
This theorem is referenced by:  ex-bc  11929
  Copyright terms: Public domain W3C validator