Theorem 4bc2eq6 10991

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9453	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9472	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9470	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1199	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9196	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9176	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9183	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9280	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8245	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10210	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10967	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9383	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10947	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9167	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5629	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 6011	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2260	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9184	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9177	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9233	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8431	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5629	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10948	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2250	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 6012	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9261	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 6012	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10952	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 9116	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9205	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8902	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10949	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2250	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2250	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2250	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000   ≤ cle 8178   − cmin 8313   / cdiv 8815  ℕcn 9106  2c2 9157  3c3 9158  4c4 9159  6c6 9161  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442  ...cfz 10200  !cfa 10942  Ccbc 10964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-fz 10201  df-seqfrec 10665  df-fac 10943  df-bc 10965

This theorem is referenced by:  ex-bc  16051