Theorem 4bc2eq6 10845

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9328	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9347	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9345	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1177	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 9072	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 9052	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 9059	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9155	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8122	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 272	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 10084	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 426	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10821	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9258	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10801	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 9043	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5557	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5929	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2224	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 9060	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 9053	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9109	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8308	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5557	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10802	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2214	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5930	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9136	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2214	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5930	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10806	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8992	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 9081	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8778	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10803	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2214	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2214	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   ≤ cle 8055   − cmin 8190   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  6c6 9037  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ...cfz 10074  !cfa 10796  Ccbc 10818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-fac 10797  df-bc 10819

This theorem is referenced by:  ex-bc  15221