Theorem 4bc2eq6 10708

Description: The value of four choose two. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
4bc2eq6	⊢ (4C2) = 6

Proof of Theorem 4bc2eq6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9223	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		4z 9242	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
3		2z 9240	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
4	1, 2, 3	3pm3.2i 1170	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
5		0le2 8968	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
6		2re 8948	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		4re 8955	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℝ
8		2lt4 9051	. . . . . 6 ⊢ 2 < 4
9	6, 7, 8	ltleii 8022	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ 4
10	5, 9	pm3.2i 270	. . . 4 ⊢ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)
11		elfz4 9974	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 4)) → 2 ∈ (0...4))
12	4, 10, 11	mp2an 424	. . 3 ⊢ 2 ∈ (0...4)
13		bcval2 10684	. . 3 ⊢ (2 ∈ (0...4) → (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))))
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 ⊢ (4C2) = ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)))
15		3nn0 9153	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
16		facp1 10664	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1)))
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (!‘(3 + 1)) = ((!‘3) · (3 + 1))
18		df-4 8939	. . . . . 6 ⊢ 4 = (3 + 1)
19	18	fveq2i 5499	. . . . 5 ⊢ (!‘4) = (!‘(3 + 1))
20	18	oveq2i 5864	. . . . 5 ⊢ ((!‘3) · 4) = ((!‘3) · (3 + 1))
21	17, 19, 20	3eqtr4i 2201	. . . 4 ⊢ (!‘4) = ((!‘3) · 4)
22		4cn 8956	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℂ
23		2cn 8949	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		2p2e4 9005	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 2) = 4
25	22, 23, 23, 24	subaddrii 8208	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 2) = 2
26	25	fveq2i 5499	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 2)) = (!‘2)
27		fac2 10665	. . . . . . 7 ⊢ (!‘2) = 2
28	26, 27	eqtri 2191	. . . . . 6 ⊢ (!‘(4 − 2)) = 2
29	28, 27	oveq12i 5865	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = (2 · 2)
30		2t2e4 9032	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
31	29, 30	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ ((!‘(4 − 2)) · (!‘2)) = 4
32	21, 31	oveq12i 5865	. . 3 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = (((!‘3) · 4) / 4)
33		faccl 10669	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → (!‘3) ∈ ℕ)
34	15, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (!‘3) ∈ ℕ
35	34	nncni 8888	. . . . 5 ⊢ (!‘3) ∈ ℂ
36		4ap0 8977	. . . . 5 ⊢ 4 # 0
37	35, 22, 36	divcanap4i 8676	. . . 4 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = (!‘3)
38		fac3 10666	. . . 4 ⊢ (!‘3) = 6
39	37, 38	eqtri 2191	. . 3 ⊢ (((!‘3) · 4) / 4) = 6
40	32, 39	eqtri 2191	. 2 ⊢ ((!‘4) / ((!‘(4 − 2)) · (!‘2))) = 6
41	14, 40	eqtri 2191	1 ⊢ (4C2) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 103   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   ≤ cle 7955   − cmin 8090   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  3c3 8930  4c4 8931  6c6 8933  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ...cfz 9965  !cfa 10659  Ccbc 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-fz 9966  df-seqfrec 10402  df-fac 10660  df-bc 10682

This theorem is referenced by:  ex-bc  13764