ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tx2cn GIF version
Theorem tx2cn 13855
Description: Continuity of the second projection map of a topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
tx2cn ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
Proof of Theorem tx2cn
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6163 . . 3 (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ
21a1i 9 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ)
3 ffn 5367 . . . . . . . 8 ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ))
4 elpreima 5637 . . . . . . . 8 ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) Fn (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) ∈ 𝑀)))
51, 3, 4mp2b 8 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) ∈ 𝑀))
6 fvres 5541 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) = (2nd β€˜π‘§))
76eleq1d 2246 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) ∈ 𝑀 ↔ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀))
8 1st2nd2 6178 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ 𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩)
9 xp1st 6168 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋)
10 elxp6 6172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀)))
11 anass 401 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀) ↔ (𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ ((1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋 ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀)))
1210, 11bitr4i 187 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀) ↔ ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋) ∧ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀))
1312baib 919 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = ⟨(1st β€˜π‘§), (2nd β€˜π‘§)⟩ ∧ (1st β€˜π‘§) ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀) ↔ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀))
148, 9, 13syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀) ↔ (2nd β€˜π‘§) ∈ 𝑀))
157, 14bitr4d 191 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) β†’ (((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀)))
1615pm5.32i 454 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ))β€˜π‘§) ∈ 𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀)))
175, 16bitri 184 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀)))
18 toponss 13611 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 βŠ† π‘Œ)
1918adantll 476 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 βŠ† π‘Œ)
20 xpss2 4739 . . . . . . . . 9 (𝑀 βŠ† π‘Œ β†’ (𝑋 Γ— 𝑀) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 Γ— 𝑀) βŠ† (𝑋 Γ— π‘Œ))
2221sseld 3156 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ)))
2322pm4.71rd 394 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀) ↔ (𝑧 ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀))))
2417, 23bitr4id 199 . . . . 5 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ↔ 𝑧 ∈ (𝑋 Γ— 𝑀)))
2524eqrdv 2175 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) = (𝑋 Γ— 𝑀))
26 toponmax 13610 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝑅)
27 txopn 13850 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑆)) β†’ (𝑋 Γ— 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
2827expr 375 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ (𝑋 Γ— 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
2926, 28mpidan 423 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ 𝑆 β†’ (𝑋 Γ— 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
3029imp 124 . . . 4 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (𝑋 Γ— 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3125, 30eqeltrd 2254 . . 3 (((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ 𝑆) β†’ (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3231ralrimiva 2550 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
33 txtopon 13847 . . 3 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
34 iscn 13782 . . 3 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆) ↔ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))))
3533, 34sylancom 420 . 2 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆) ↔ ((2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)):(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆπ‘Œ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝑆 (β—‘(2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) β€œ 𝑀) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))))
362, 32, 35mpbir2and 944 1 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜π‘Œ)) β†’ (2nd β†Ύ (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βŠ† wss 3131  βŸ¨cop 3597   Γ— cxp 4626  β—‘ccnv 4627   β†Ύ cres 4630   β€œ cima 4631   Fn wfn 5213  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  1st c1st 6141  2nd c2nd 6142  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770   Γ—t ctx 13837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cn 13773  df-tx 13838
This theorem is referenced by:  txcn  13860  cnmpt2nd  13874
  Copyright terms: Public domain W3C validator