Theorem zlmmulrg 14910

Description: Ring operation of a ℤ-module (if present). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmmulr.2	⊢ · = (.r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmmulrg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑊))

Proof of Theorem zlmmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		mulridx 13434	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		mulrslid 13435	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
6		scandxnmulrndx 13459	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	6	necomi 2499	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		vscandxnmulrndx 13464	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
9	8	necomi 2499	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
10	2, 3, 5, 7, 9	zlmlemg 14907	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
11	1, 10	eqtrid 2279	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5359  ℕcn 9259  ndxcnx 13299  Slot cslot 13301  ._rcmulr 13381  Scalarcsca 13383   ·_𝑠 cvsca 13384  ℤModczlm 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-mulrcl 8244  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-precex 8255  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261  ax-pre-mulgt0 8262  ax-addf 8267  ax-mulf 8268

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-tp 3703  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-reap 8869  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-uz 9877  df-rp 10010  df-fz 10367  df-seqfrec 10839  df-cj 11557  df-abs 11715  df-struct 13304  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-iress 13310  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-starv 13395  df-sca 13396  df-vsca 13397  df-tset 13399  df-ple 13400  df-ds 13402  df-unif 13403  df-0g 13561  df-topgen 13563  df-mgm 13625  df-sgrp 13666  df-mnd 13679  df-grp 13757  df-minusg 13758  df-mulg 13872  df-subg 13922  df-cmn 14038  df-mgp 14167  df-ur 14210  df-ring 14248  df-cring 14249  df-subrg 14472  df-bl 14827  df-mopn 14828  df-fg 14830  df-metu 14831  df-cnfld 14838  df-zring 14870  df-zlm 14894

This theorem is referenced by: (None)