Theorem zlmmulrg 14603

Description: Ring operation of a ℤ-module (if present). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 3-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmmulr.2	⊢ · = (.r‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmmulrg	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑊))

Proof of Theorem zlmmulrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝐺)
2		zlmbas.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		mulridx 13172	. . 3 ⊢ .r = Slot (.r‘ndx)
4		mulrslid 13173	. . . 4 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
5	4	simpri 113	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ∈ ℕ
6		scandxnmulrndx 13197	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	6	necomi 2485	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8		vscandxnmulrndx 13202	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
9	8	necomi 2485	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
10	2, 3, 5, 7, 9	zlmlemg 14600	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
11	1, 10	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  ℕcn 9118  ndxcnx 13037  Slot cslot 13039  ._rcmulr 13119  Scalarcsca 13121   ·_𝑠 cvsca 13122  ℤModczlm 14584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-rp 9858  df-fz 10213  df-seqfrec 10678  df-cj 11361  df-abs 11518  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-starv 13133  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-unif 13141  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-minusg 13545  df-mulg 13665  df-subg 13715  df-cmn 13831  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969  df-cring 13970  df-subrg 14191  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-fg 14521  df-metu 14522  df-cnfld 14529  df-zring 14563  df-zlm 14587

This theorem is referenced by: (None)