Theorem zlmsca 14596

Description: Scalar ring of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 13186	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
3		zringring 14557	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		setsex 13064	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp3an23 1363	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
6		mulgex 13660	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
7		vscandxnscandx 13195	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8	7	necomi 2485	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9		vscaslid 13196	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	simpri 113	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
11	1, 8, 10	setsslnid 13084	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ (.g‘𝐺) ∈ V) → (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
12	5, 6, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
13	1	setsslid 13083	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
14	3, 13	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
15		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
16		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
17	15, 16	zlmval 14591	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	17	fveq2d 5631	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ⟨cop 3669  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℕcn 9110  ndxcnx 13029   sSet csts 13030  Slot cslot 13031  Scalarcsca 13113   ·_𝑠 cvsca 13114  ._gcmg 13656  Ringcrg 13959  ℤ_ringczring 14554  ℤModczlm 14576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-addf 8121  ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-uz 9723  df-rp 9850  df-fz 10205  df-seqfrec 10670  df-cj 11353  df-abs 11510  df-struct 13034  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-starv 13125  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-tset 13129  df-ple 13130  df-ds 13132  df-unif 13133  df-0g 13291  df-topgen 13293  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-mulg 13657  df-subg 13707  df-cmn 13823  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-cring 13962  df-subrg 14183  df-bl 14510  df-mopn 14511  df-fg 14513  df-metu 14514  df-cnfld 14521  df-zring 14555  df-zlm 14579

This theorem is referenced by: (None)