Theorem zlmsca 14198

Description: Scalar ring of a ℤ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 2-Nov-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmbas.w	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmsca	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem zlmsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaslid 12840	. . . . 5 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ
3		zringring 14159	. . . 4 ⊢ ℤring ∈ Ring
4		setsex 12720	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ ∧ ℤring ∈ Ring) → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp3an23 1340	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V)
6		mulgex 13263	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (.g‘𝐺) ∈ V)
7		vscandxnscandx 12849	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
8	7	necomi 2452	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9		vscaslid 12850	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ)
10	9	simpri 113	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ∈ ℕ
11	1, 8, 10	setsslnid 12740	. . 3 ⊢ (((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) ∈ V ∧ (.g‘𝐺) ∈ V) → (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
12	5, 6, 11	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
13	1	setsslid 12739	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑉 ∧ ℤring ∈ Ring) → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
14	3, 13	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘(𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩)))
15		zlmbas.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
16		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
17	15, 16	zlmval 14193	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑊 = ((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩))
18	17	fveq2d 5563	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘((𝐺 sSet ⟨(Scalar‘ndx), ℤring⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.g‘𝐺)⟩)))
19	12, 14, 18	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → ℤring = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ⟨cop 3626  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℕcn 8992  ndxcnx 12685   sSet csts 12686  Slot cslot 12687  Scalarcsca 12768   ·_𝑠 cvsca 12769  ._gcmg 13259  Ringcrg 13562  ℤ_ringczring 14156  ℤModczlm 14178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-addf 8003  ax-mulf 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-dec 9460  df-uz 9604  df-rp 9731  df-fz 10086  df-seqfrec 10542  df-cj 11009  df-abs 11166  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-starv 12780  df-sca 12781  df-vsca 12782  df-tset 12784  df-ple 12785  df-ds 12787  df-unif 12788  df-0g 12939  df-topgen 12941  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-mulg 13260  df-subg 13310  df-cmn 13426  df-mgp 13487  df-ur 13526  df-ring 13564  df-cring 13565  df-subrg 13785  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-fg 14115  df-metu 14116  df-cnfld 14123  df-zring 14157  df-zlm 14181

This theorem is referenced by: (None)