Theorem climserle 11968

Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2iser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climserle.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
climserle.3	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
climserle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
climserle.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climserle	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserle

Dummy variables 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim2iser.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climserle.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		climserle.3	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
4	2, 1	eleqtrdi 2324	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		eluzel2 9804	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climserle.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
8	1, 6, 7	serfre 10792	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 5790	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
10	1	peano2uzs 9862	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
12	11	breq2d 4105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
13	12	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
14		climserle.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘𝑘))
15	14	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘𝑘)))
16	13, 15	vtoclga 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
17	16	impcom 125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
18	10, 17	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
19	11	eleq1d 2300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
20	19	imbi2d 230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
21	7	expcom 116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ))
22	20, 21	vtoclga 2871	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
23	22	impcom 125	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
24	10, 23	sylan2 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
25	9, 24	addge01d 8755	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
26	18, 25	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
27	1	eleq2i 2298	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28	27	biimpi 120	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29	28	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝜑)
31	1	eleq2i 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
32	31	biimpri 133	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
33	32	adantl 277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
34	30, 33, 7	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
35		readdcl 8201	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℝ)
36	35	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℝ)
37	29, 34, 36	seq3p1 10773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
38	26, 37	breqtrrd 4121	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
39	1, 2, 3, 9, 38	climub 11967	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  0cc0 8075  1c1 8076   + caddc 8078   ≤ cle 8257  ℤcz 9523  ℤ_≥cuz 9799  seqcseq 10755   ⇝ cli 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-rp 9933  df-fz 10289  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902

This theorem is referenced by:  isumrpcl  12118  ege2le3  12295