Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climserle GIF version

Theorem climserle 11121
 Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climserle.2 (𝜑𝑁𝑍)
climserle.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
climserle.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climserle.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climserle (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserle
Dummy variables 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climserle.2 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
3 climserle.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
42, 1eleqtrdi 2232 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 9338 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climserle.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
81, 6, 7serfre 10255 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
98ffvelrnda 5555 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
101peano2uzs 9386 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11 fveq2 5421 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1211breq2d 3941 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
1312imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
14 climserle.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1514expcom 115 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)))
1613, 15vtoclga 2752 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
1716impcom 124 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1810, 17sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1911eleq1d 2208 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2019imbi2d 229 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
217expcom 115 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
2220, 21vtoclga 2752 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2322impcom 124 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
2410, 23sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
259, 24addge01d 8302 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
2618, 25mpbid 146 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
271eleq2i 2206 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
2827biimpi 119 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
2928adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 simpll 518 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
311eleq2i 2206 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpri 132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
3332adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
3430, 33, 7syl2anc 408 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
35 readdcl 7753 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℝ)
3635adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℝ)
3729, 34, 36seq3p1 10242 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
3826, 37breqtrrd 3956 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
391, 2, 3, 9, 38climub 11120 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   + caddc 7630   ≤ cle 7808  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  seqcseq 10225   ⇝ cli 11054 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-rp 9449  df-fz 9798  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055 This theorem is referenced by:  isumrpcl  11270  ege2le3  11384
 Copyright terms: Public domain W3C validator