ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climserle GIF version

Theorem climserle 11308
Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by NM, 27-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2iser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climserle.2 (𝜑𝑁𝑍)
climserle.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
climserle.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climserle.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climserle (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserle
Dummy variables 𝑗 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2iser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climserle.2 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
3 climserle.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
42, 1eleqtrdi 2263 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 9492 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climserle.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
81, 6, 7serfre 10431 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
98ffvelrnda 5631 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℝ)
101peano2uzs 9543 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
11 fveq2 5496 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1211breq2d 4001 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
1312imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
14 climserle.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
1514expcom 115 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)))
1613, 15vtoclga 2796 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
1716impcom 124 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1810, 17sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
1911eleq1d 2239 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2019imbi2d 229 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
217expcom 115 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
2220, 21vtoclga 2796 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
2322impcom 124 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
2410, 23sylan2 284 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
259, 24addge01d 8452 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
2618, 25mpbid 146 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
271eleq2i 2237 . . . . . 6 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
2827biimpi 119 . . . . 5 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
2928adantl 275 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
30 simpll 524 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝜑)
311eleq2i 2237 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3231biimpri 132 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘𝑍)
3332adantl 275 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘𝑍)
3430, 33, 7syl2anc 409 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
35 readdcl 7900 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℝ)
3635adantl 275 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑣) ∈ ℝ)
3729, 34, 36seq3p1 10418 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
3826, 37breqtrrd 4017 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑗 + 1)))
391, 2, 3, 9, 38climub 11307 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777  cle 7955  cz 9212  cuz 9487  seqcseq 10401  cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-fz 9966  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242
This theorem is referenced by:  isumrpcl  11457  ege2le3  11634
  Copyright terms: Public domain W3C validator