ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdbl GIF version

Theorem bdbl 13939
Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐢 generates the same balls as 𝐢 for radii less than 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
bdbl (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐢   π‘₯,𝑃,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘₯,𝑦)   𝑆(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem bdbl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr2 1004 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
21adantr 276 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ ℝ*)
3 simpl1 1000 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
43adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
5 simpr1 1003 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
65adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
7 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
8 xmetcl 13788 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ*)
94, 6, 7, 8syl3anc 1238 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ*)
10 simpll2 1037 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
11 xrminltinf 11279 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐢𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (inf({(𝑃𝐢𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
122, 9, 10, 11syl3anc 1238 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (inf({(𝑃𝐢𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
13 xmetf 13786 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
14133ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
1514adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
1615adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ 𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
17 stdbdmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(π‘₯𝐢𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
1817bdmetval 13936 . . . . . 6 (((𝐢:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑃𝐷𝑧) = inf({(𝑃𝐢𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ))
1916, 10, 6, 7, 18syl22anc 1239 . . . . 5 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ (𝑃𝐷𝑧) = inf({(𝑃𝐢𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ))
2019breq1d 4013 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ inf({(𝑃𝐢𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆))
21 simpr3 1005 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝑆 ≀ 𝑅)
22 simpl2 1001 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
23 xrlenlt 8021 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (𝑆 ≀ 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 < 𝑆))
241, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑆 ≀ 𝑅 ↔ Β¬ 𝑅 < 𝑆))
2521, 24mpbid 147 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑅 < 𝑆)
26 biorf 744 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑅 < 𝑆 β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆)))
2725, 26syl 14 . . . . . 6 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆)))
28 orcom 728 . . . . . 6 ((𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆) ↔ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆))
2927, 28bitrdi 196 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
3029adantr 276 . . . 4 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐢𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
3112, 20, 303bitr4d 220 . . 3 ((((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) β†’ ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆))
3231rabbidva 2725 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆})
3317bdxmet 13937 . . . 4 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3433adantr 276 . . 3 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
35 blval 13825 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
3634, 5, 1, 35syl3anc 1238 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
37 blval 13825 . . 3 ((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆})
383, 5, 1, 37syl3anc 1238 . 2 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐢𝑧) < 𝑆})
3932, 36, 383eqtr4d 2220 1 (((𝐢 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≀ 𝑅)) β†’ (𝑃(ballβ€˜π·)𝑆) = (𝑃(ballβ€˜πΆ)𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {crab 2459  {cpr 3593   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  infcinf 6981  0cc0 7810  β„*cxr 7990   < clt 7991   ≀ cle 7992  βˆžMetcxmet 13376  ballcbl 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-icc 9894  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-bl 13386
This theorem is referenced by:  bdmopn  13940
  Copyright terms: Public domain W3C validator