Theorem bdbl 15171

Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same balls as 𝐶 for radii less than 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
bdbl	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = (𝑃(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdbl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
3		simpl1 1024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		simpr1 1027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
8		xmetcl 15020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*)
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*)
10		simpll2 1061	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		xrminltinf 11778	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
13		xmetf 15018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14	13	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
17		stdbdmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
18	17	bdmetval 15168	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷𝑧) = inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ))
19	16, 10, 6, 7, 18	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) = inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ))
20	19	breq1d 4092	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆))
21		simpr3 1029	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑆 ≤ 𝑅)
22		simpl2 1025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23		xrlenlt 8207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < 𝑆))
24	1, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑆 ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < 𝑆))
25	21, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → ¬ 𝑅 < 𝑆)
26		biorf 749	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 < 𝑆 → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆)))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆)))
28		orcom 733	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆) ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆))
29	27, 28	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
30	29	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
31	12, 20, 30	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆))
32	31	rabbidva 2787	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
33	17	bdxmet 15169	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34	33	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
35		blval 15057	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
36	34, 5, 1, 35	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
37		blval 15057	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
38	3, 5, 1, 37	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
39	32, 36, 38	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = (𝑃(ball‘𝐶)𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  {cpr 3667   class class class wbr 4082   × cxp 4716  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   ∈ cmpo 6002  infcinf 7146  0cc0 7995  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177   ≤ cle 8178  ∞Metcxmet 14494  ballcbl 14496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-icc 10087  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-bl 14504

This theorem is referenced by:  bdmopn  15172