Theorem bdbl 15226

Description: The standard bounded metric corresponding to 𝐶 generates the same balls as 𝐶 for radii less than 𝑅. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 19-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
stdbdmet.1	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
bdbl	⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = (𝑃(ball‘𝐶)𝑆))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝑥,𝑃,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem bdbl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr2 1030	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑆 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ ℝ*)
3		simpl1 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
4	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		simpr1 1029	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
6	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑃 ∈ 𝑋)
7		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
8		xmetcl 15075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*)
9	4, 6, 7, 8	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ*)
10		simpll2 1063	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
11		xrminltinf 11832	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐶𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
13		xmetf 15073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
14	13	3ad2ant1 1044	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
17		stdbdmet.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑋 ↦ inf({(𝑥𝐶𝑦), 𝑅}, ℝ*, < ))
18	17	bdmetval 15223	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑃𝐷𝑧) = inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ))
19	16, 10, 6, 7, 18	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) = inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ))
20	19	breq1d 4098	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ inf({(𝑃𝐶𝑧), 𝑅}, ℝ*, < ) < 𝑆))
21		simpr3 1031	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑆 ≤ 𝑅)
22		simpl2 1027	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
23		xrlenlt 8243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑆 ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < 𝑆))
24	1, 22, 23	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑆 ≤ 𝑅 ↔ ¬ 𝑅 < 𝑆))
25	21, 24	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → ¬ 𝑅 < 𝑆)
26		biorf 751	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 < 𝑆 → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆)))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆)))
28		orcom 735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 < 𝑆 ∨ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆) ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆))
29	27, 28	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
30	29	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ↔ ((𝑃𝐶𝑧) < 𝑆 ∨ 𝑅 < 𝑆)))
31	12, 20, 30	3bitr4d 220	. . 3 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) < 𝑆 ↔ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆))
32	31	rabbidva 2790	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆} = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
33	17	bdxmet 15224	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
34	33	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
35		blval 15112	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
36	34, 5, 1, 35	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑆})
37		blval 15112	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ*) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
38	3, 5, 1, 37	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐶)𝑆) = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐶𝑧) < 𝑆})
39	32, 36, 38	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝑅) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ ℝ* ∧ 𝑆 ≤ 𝑅)) → (𝑃(ball‘𝐷)𝑆) = (𝑃(ball‘𝐶)𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514  {cpr 3670   class class class wbr 4088   × cxp 4723  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ∈ cmpo 6019  infcinf 7181  0cc0 8031  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213   ≤ cle 8214  ∞Metcxmet 14549  ballcbl 14551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-map 6818  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-icc 10129  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-bl 14559

This theorem is referenced by:  bdmopn  15227