Theorem min1 13203

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11243	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin1 13191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  ifcif 4483   class class class wbr 5104  ℝcr 11087  ℝ^*cxr 11230   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13585  reccn2  15636  setsstruct2  17222  ssblex  24542  nlmvscnlem1  24800  nrginvrcnlem  24805  icccmplem2  24938  xlebnum  25081  ipcnlem1  25361  ivthlem2  25568  ioombl1lem4  25677  mbfi1fseqlem5  25835  aalioulem5  26454  aalioulem6  26455  logcnlem3  26763  cxpcn3lem  26866  ftalem5  27195  chtdif  27276  ppidif  27281  chebbnd1lem1  27587  itg2addnc  38180  min1d  46045  mullimc  46191  mullimcf  46198  limcleqr  46217  addlimc  46221  0ellimcdiv  46222  limclner  46224  stoweidlem5  46578  fourierdlem103  46782  fourierdlem104  46783  ioorrnopnlem  46877  hsphoidmvle  47159  hoidmv1lelem1  47164  hoidmv1lelem2  47165  hoidmv1lelem3  47166  smfmullem1  47364