Theorem min1 13216

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin1 13204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13599  reccn2  15650  setsstruct2  17235  ssblex  24566  nlmvscnlem1  24824  nrginvrcnlem  24829  icccmplem2  24962  xlebnum  25105  ipcnlem1  25385  ivthlem2  25592  ioombl1lem4  25701  mbfi1fseqlem5  25859  aalioulem5  26480  aalioulem6  26481  logcnlem3  26790  cxpcn3lem  26893  ftalem5  27222  chtdif  27303  ppidif  27308  chebbnd1lem1  27614  itg2addnc  38306  min1d  46169  mullimc  46315  mullimcf  46322  limcleqr  46341  addlimc  46345  0ellimcdiv  46346  limclner  46348  stoweidlem5  46702  fourierdlem103  46906  fourierdlem104  46907  ioorrnopnlem  47001  hsphoidmvle  47283  hoidmv1lelem1  47288  hoidmv1lelem2  47289  hoidmv1lelem3  47290  smfmullem1  47488