Theorem min1 13088

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11158	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin1 13076	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ifcif 4475   class class class wbr 5091  ℝcr 11005  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-po 5524  df-so 5525  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13469  reccn2  15504  setsstruct2  17085  ssblex  24344  nlmvscnlem1  24602  nrginvrcnlem  24607  icccmplem2  24740  xlebnum  24892  ipcnlem1  25173  ivthlem2  25381  ioombl1lem4  25490  mbfi1fseqlem5  25648  aalioulem5  26272  aalioulem6  26273  logcnlem3  26581  cxpcn3lem  26685  ftalem5  27015  chtdif  27096  ppidif  27101  chebbnd1lem1  27408  itg2addnc  37720  min1d  45516  mullimc  45662  mullimcf  45669  limcleqr  45688  addlimc  45692  0ellimcdiv  45693  limclner  45695  stoweidlem5  46049  fourierdlem103  46253  fourierdlem104  46254  ioorrnopnlem  46348  hsphoidmvle  46630  hoidmv1lelem1  46635  hoidmv1lelem2  46636  hoidmv1lelem3  46637  smfmullem1  46835