Theorem min1 13185

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11221	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin1 13173	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2an 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ℝcr 11065  ℝ^*cxr 11208   ≤ cle 11210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13567  reccn2  15614  setsstruct2  17200  ssblex  24475  nlmvscnlem1  24733  nrginvrcnlem  24738  icccmplem2  24871  xlebnum  25014  ipcnlem1  25294  ivthlem2  25501  ioombl1lem4  25610  mbfi1fseqlem5  25768  aalioulem5  26387  aalioulem6  26388  logcnlem3  26696  cxpcn3lem  26799  ftalem5  27128  chtdif  27209  ppidif  27214  chebbnd1lem1  27520  itg2addnc  38133  min1d  46006  mullimc  46152  mullimcf  46159  limcleqr  46178  addlimc  46182  0ellimcdiv  46183  limclner  46185  stoweidlem5  46539  fourierdlem103  46743  fourierdlem104  46744  ioorrnopnlem  46838  hsphoidmvle  47120  hoidmv1lelem1  47125  hoidmv1lelem2  47126  hoidmv1lelem3  47127  smfmullem1  47325