Theorem min1 13216

Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
min1	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11301	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11301	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmin1 13204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2an 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  ifcif 4523   class class class wbr 5145  ℝcr 11148  ℝ^*cxr 11288   ≤ cle 11290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295

This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  13594  reccn2  15594  setsstruct2  17171  ssblex  24422  nlmvscnlem1  24691  nrginvrcnlem  24696  icccmplem2  24827  xlebnum  24979  ipcnlem1  25261  ivthlem2  25469  ioombl1lem4  25578  mbfi1fseqlem5  25737  aalioulem5  26361  aalioulem6  26362  logcnlem3  26668  cxpcn3lem  26772  ftalem5  27102  chtdif  27183  ppidif  27188  chebbnd1lem1  27495  itg2addnc  37388  min1d  45123  mullimc  45273  mullimcf  45280  limcleqr  45301  addlimc  45305  0ellimcdiv  45306  limclner  45308  stoweidlem5  45662  fourierdlem103  45866  fourierdlem104  45867  ioorrnopnlem  45961  hsphoidmvle  46243  hoidmv1lelem1  46248  hoidmv1lelem2  46249  hoidmv1lelem3  46250  smfmullem1  46448