MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem min1 12560
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1
StepHypRef Expression
1 rexr 10664 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10664 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmin1 12548 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
41, 2, 3syl2an 598 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  ifcif 4440   class class class wbr 5039  cr 10513  *cxr 10651  cle 10653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658
This theorem is referenced by:  ssfzunsnext  12935  reccn2  14932  setsstruct2  16499  ssblex  23013  nlmvscnlem1  23270  nrginvrcnlem  23275  icccmplem2  23406  xlebnum  23548  ipcnlem1  23827  ivthlem2  24034  ioombl1lem4  24143  mbfi1fseqlem5  24301  aalioulem5  24910  aalioulem6  24911  logcnlem3  25213  cxpcn3lem  25314  ftalem5  25640  chtdif  25721  ppidif  25726  chebbnd1lem1  26031  itg2addnc  34991  min1d  41904  mullimc  42051  mullimcf  42058  limcleqr  42079  addlimc  42083  0ellimcdiv  42084  limclner  42086  stoweidlem5  42440  fourierdlem103  42644  fourierdlem104  42645  ioorrnopnlem  42739  hsphoidmvle  43018  hoidmv1lelem1  43023  hoidmv1lelem2  43024  hoidmv1lelem3  43025  smfmullem1  43216
  Copyright terms: Public domain W3C validator