Theorem 3atlem7 38962

Description: Lemma for 3at 38963. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3atlem7	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))

Proof of Theorem 3atlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)))
2		simpl2l 1224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
3		simpl2r 1225	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
5		simpl3 1191	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
6		3at.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		3at.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		3at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	6, 7, 8	3atlem6 38961	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl131anc 1381	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
11		simpl1 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)))
12		simpl2l 1224	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
13		simpl2r 1225	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
14		simpr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
15		simpl3 1191	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
16	6, 7, 8	3atlem5 38960	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
17	11, 12, 13, 14, 15, 16	syl131anc 1381	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
18	10, 17	pm2.61dan 812	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  lecple 17239  joincjn 18302  Atomscatm 38735  HLchlt 38822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823

This theorem is referenced by:  3at  38963