Theorem 3atlem7 40303

Description: Lemma for 3at 40304. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
3at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
3atlem7	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))

Proof of Theorem 3atlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)))
2		simpl2l 1245	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
3		simpl2r 1246	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
5		simpl3 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
6		3at.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		3at.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		3at.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	6, 7, 8	3atlem6 40302	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	syl131anc 1410	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
11		simpl1 1210	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)))
12		simpl2l 1245	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
13		simpl2r 1246	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
15		simpl3 1212	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
16	6, 7, 8	3atlem5 40301	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
17	11, 12, 13, 14, 15, 16	syl131anc 1410	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) ∧ ¬ 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))
18	10, 17	pm2.61dan 825	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≤ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  lecple 17342  joincjn 18392  Atomscatm 40077  HLchlt 40164

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-lat 18513  df-covers 40080  df-ats 40081  df-atl 40112  df-cvlat 40136  df-hlat 40165

This theorem is used by:  3at  40304