Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄))) |
2 | | simpl2l 1227 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
3 | | simpl2r 1228 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
4 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β π β€ (π β¨ π)) |
5 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
6 | | 3at.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | 3at.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | 3at.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 6, 7, 8 | 3atlem6 37980 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
10 | 1, 2, 3, 4, 5, 9 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
11 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β (πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄))) |
12 | | simpl2l 1227 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
13 | | simpl2r 1228 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π β π) |
14 | | simpr 486 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
15 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
16 | 6, 7, 8 | 3atlem5 37979 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
17 | 11, 12, 13, 14, 15, 16 | syl131anc 1384 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
18 | 10, 17 | pm2.61dan 812 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β π) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π) β¨ π)) |