Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem10a 37872
Description: Lemma for 4at 37881. Substitute 𝑉 for 𝑅. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem10a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem10a
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → 𝑅𝐴)
3 simp22 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → 𝑉𝐴)
41hllatd 37631 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1135 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
6 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 4at.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
96, 7, 8hlatjcl 37634 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
105, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp23 1207 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → 𝑊𝐴)
126, 8atbase 37556 . . . . 5 (𝑊𝐴𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
146, 7latjcl 18254 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
154, 10, 13, 14syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp3 1137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
17 4at.l . . . 4 = (le‘𝐾)
186, 17, 7, 8hlexchb2 37653 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑅 (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ↔ (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊))))
191, 2, 3, 15, 16, 18syl131anc 1382 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑅 (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) ↔ (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊))))
2017, 7, 84atlem4c 37869 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑉𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
215, 3, 11, 20syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) = (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2221breq2d 5104 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ↔ 𝑅 (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊))))
2317, 7, 84atlem4c 37869 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
245, 2, 11, 23syl12anc 834 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)))
2524, 21eqeq12d 2752 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ↔ (𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) = (𝑉 ((𝑃 𝑄) 𝑊))))
2619, 22, 253bitr4d 310 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066  joincjn 18126  Latclat 18246  Atomscatm 37530  HLchlt 37617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-lat 18247  df-ats 37534  df-atl 37565  df-cvlat 37589  df-hlat 37618
This theorem is referenced by:  4atlem10b  37873
  Copyright terms: Public domain W3C validator