Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem10a 39133
Description: Lemma for 4at 39142. Substitute 𝑉 for 𝑅. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem10a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))

Proof of Theorem 4atlem10a
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
3 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐴)
41hllatd 38892 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
6 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 4at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 38895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
105, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
126, 8atbase 38817 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐴 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
146, 7latjcl 18430 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
154, 10, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))
17 4at.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
186, 17, 7, 8hlexchb2 38914 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) ↔ (𝑅 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) = (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))))
191, 2, 3, 15, 16, 18syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) ↔ (𝑅 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) = (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))))
2017, 7, 84atlem4c 39130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)))
215, 3, 11, 20syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) = (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)))
2221breq2d 5155 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ 𝑅 ≀ (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))))
2317, 7, 84atlem4c 39130 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = (𝑅 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)))
245, 2, 11, 23syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = (𝑅 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)))
2524, 21eqeq12d 2741 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ (𝑅 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) = (𝑉 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š))))
2619, 22, 253bitr4d 310 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Š)) β†’ (𝑅 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879
This theorem is referenced by:  4atlem10b  39134
  Copyright terms: Public domain W3C validator