Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem10b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem10b 35673
Description: Lemma for 4at 35681. Substitute 𝑉 for 𝑅 (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem10b ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))

Proof of Theorem 4atlem10b
StepHypRef Expression
1 simprr 789 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
2 simprl 787 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
3 simpl1 1246 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
4 simpl21 1339 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑅𝐴)
5 simpl23 1343 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑉𝐴)
6 simpl31 1345 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑊𝐴)
7 simpl32 1347 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊))
8 4at.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
9 4at.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
10 4at.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 104atlem10a 35672 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑉𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊)) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
123, 4, 5, 6, 7, 11syl131anc 1506 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊))))
132, 12mpbid 224 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
141, 13breqtrrd 4901 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)))
15 simpl22 1341 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → 𝑆𝐴)
16 simpl33 1349 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
178, 9, 104atlem9 35671 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑊𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊))))
183, 4, 15, 6, 16, 17syl131anc 1506 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)) ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊))))
1914, 18mpbid 224 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑊)))
2019, 13eqtrd 2861 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑉𝐴) ∧ (𝑊𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ((𝑃 𝑄) 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) ∧ (𝑅 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) (𝑉 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  lecple 16312  joincjn 17297  Atomscatm 35331  HLchlt 35418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-proset 17281  df-poset 17299  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-lat 17399  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419
This theorem is referenced by:  4atlem10  35674
  Copyright terms: Public domain W3C validator