Theorem 4atlem10b 39315

Description: Lemma for 4at 39323. Substitute 𝑉 for 𝑅 (cont.). (Contributed by NM, 10-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem10b	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))

Proof of Theorem 4atlem10b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
2		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
3		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
4		simpl21 1248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
5		simpl23 1250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
6		simpl31 1251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
7		simpl32 1252	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊))
8		4at.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		4at.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
10		4at.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11	8, 9, 10	4atlem10a 39314	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊)) → (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
12	3, 4, 5, 6, 7, 11	syl131anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
13	2, 12	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
14	1, 13	breqtrrd 5172	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)))
15		simpl22 1249	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
16		simpl33 1253	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
17	8, 9, 10	4atlem9 39313	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊))))
18	3, 4, 15, 6, 16, 17	syl131anc 1380	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊))))
19	14, 18	mpbid 231	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑊)))
20	19, 13	eqtrd 2766	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5144  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  lecple 17266  joincjn 18329  Atomscatm 38972  HLchlt 39059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-iun 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18313  df-poset 18331  df-lub 18364  df-glb 18365  df-join 18366  df-meet 18367  df-lat 18450  df-ats 38976  df-atl 39007  df-cvlat 39031  df-hlat 39060

This theorem is referenced by:  4atlem10  39316