Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem9 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 4atlem9 39108
Description: Lemma for 4at 39118. Substitute π‘Š for 𝑆. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
4at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
4atlem9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š))))
Proof of Theorem 4atlem9
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp22 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3 simp23 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ π‘Š ∈ 𝐴)
41hllatd 38868 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
6 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 4at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 4at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 38871 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
105, 9syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp21 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
126, 8atbase 38793 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1311, 12syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
146, 7latjcl 18438 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
154, 10, 13, 14syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp3 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
17 4at.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
186, 17, 7, 8hlexchb2 38890 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ≀ (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
191, 2, 3, 15, 16, 18syl131anc 1380 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ≀ (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
2017, 7, 84atlem4d 39107 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
215, 11, 3, 20syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) = (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2221breq2d 5164 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) ↔ 𝑆 ≀ (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
2317, 7, 84atlem4d 39107 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
245, 11, 2, 23syl12anc 835 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
2524, 21eqeq12d 2744 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) ↔ (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = (π‘Š ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
2619, 22, 253bitr4d 310 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ π‘Š ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ π‘Š))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-lat 18431  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  4atlem10b  39110
  Copyright terms: Public domain W3C validator