Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  4atlem4b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4atlem4b 35621
Description: Lemma for 4at 35634. Frequently used associative law. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
4at.l = (le‘𝐾)
4at.j = (join‘𝐾)
4at.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
4atlem4b (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))

Proof of Theorem 4atlem4b
StepHypRef Expression
1 simpl1 1243 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
3 simpl3 1247 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
4 simprl 788 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
5 simprr 790 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
6 4at.j . . . 4 = (join‘𝐾)
7 4at.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
86, 7hlatj4 35395 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)))
91, 2, 3, 4, 5, 8syl122anc 1499 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)))
101hllatd 35385 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
11 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1211, 6, 7hlatjcl 35388 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
131, 2, 4, 12syl3anc 1491 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
1411, 7atbase 35310 . . . 4 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
153, 14syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
1611, 7atbase 35310 . . . 4 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1716ad2antll 721 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1811, 6latj12 17411 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)) = (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
1910, 13, 15, 17, 18syl13anc 1492 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑅) (𝑄 𝑆)) = (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
209, 19eqtrd 2833 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = (𝑄 ((𝑃 𝑅) 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  lecple 16274  joincjn 17259  Latclat 17360  Atomscatm 35284  HLchlt 35371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-proset 17243  df-poset 17261  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-lat 17361  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372
This theorem is referenced by:  4atlem11a  35628
  Copyright terms: Public domain W3C validator