Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
2 | | simpl2 1193 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
3 | | simpl3 1194 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
4 | | simprl 770 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
5 | | simprr 772 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
6 | | 4at.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | 4at.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 6, 7 | hlatj4 37865 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π
) β¨ (π β¨ π))) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 8 | syl122anc 1380 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π
) β¨ (π β¨ π))) |
10 | 1 | hllatd 37855 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
11 | | eqid 2737 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
12 | 11, 6, 7 | hlatjcl 37858 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
13 | 1, 2, 4, 12 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
14 | 11, 7 | atbase 37780 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 3, 14 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
16 | 11, 7 | atbase 37780 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
17 | 16 | ad2antll 728 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 11, 6 | latj12 18380 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π
) β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
19 | 10, 13, 15, 17, 18 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π
) β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
20 | 9, 19 | eqtrd 2777 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = (π β¨ ((π β¨ π
) β¨ π))) |