Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | hllat 37871 |
. . 3
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
2 | 1 | 3ad2ant1 1134 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp2l 1200 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
4 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
5 | | hlatjcom.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . 3
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
8 | | simp2r 1201 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
9 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . 3
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp3l 1202 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π
β π΄) |
12 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . 3
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π
β (BaseβπΎ)) |
14 | | simp3r 1203 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
15 | 4, 5 | atbase 37797 |
. . 3
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
17 | | hlatjcom.j |
. . 3
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | 4, 17 | latj4 18383 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π
) β¨ (π β¨ π))) |
19 | 2, 7, 10, 13, 16, 18 | syl122anc 1380 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π
) β¨ (π β¨ π))) |