Theorem 4atlem4d 39585

Description: Lemma for 4at 39596. Frequently used associative law. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem4d	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))

Proof of Theorem 4atlem4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39346	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		4at.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		4at.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	hlatjcl 39349	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
8	3, 5	atbase 39271	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
9	8	ad2antrl 728	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 5	atbase 39271	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11	10	ad2antll 729	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
12	3, 4	latjass 18541	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
13	2, 7, 9, 11, 12	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
14	3, 4	latjcl 18497	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
15	2, 7, 9, 14	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
16	3, 4	latjcom 18505	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
17	2, 15, 11, 16	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
18	13, 17	eqtr3d 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = (𝑆 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333

This theorem is referenced by:  4atlem9  39586