Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfifvre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfifvre 45630
Description: Given a sequence of real-valued functions, and 𝑋 that belongs to all but finitely many domains, then its function value is ultimately a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfifvre.1 𝑚𝜑
allbutfifvre.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfifvre.3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
allbutfifvre.4 𝐷 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
allbutfifvre.5 (𝜑𝑋𝐷)
Assertion
Ref Expression
allbutfifvre (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑍   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐷(𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem allbutfifvre
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 allbutfifvre.5 . . . 4 (𝜑𝑋𝐷)
2 allbutfifvre.4 . . . 4 𝐷 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
31, 2eleqtrdi 2848 . . 3 (𝜑𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4 allbutfifvre.2 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 eqid 2734 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
64, 5allbutfi 45342 . . 3 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
73, 6sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚))
8 allbutfifvre.1 . . . . 5 𝑚𝜑
9 nfv 1911 . . . . 5 𝑚 𝑛𝑍
108, 9nfan 1896 . . . 4 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
11 simpll 767 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
124uztrn2 12894 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
1312ssd 45019 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
1413sselda 3994 . . . . . 6 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
1514adantll 714 . . . . 5 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
16 allbutfifvre.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚)) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
1817ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ))
1911, 15, 18syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚) → ((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ))
2010, 19ralimdaa 3257 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ))
2120reximdva 3165 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋 ∈ dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ))
227, 21mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wnf 1779  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067   ciun 4995   ciin 4996  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  cr 11151  cuz 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876
This theorem is referenced by:  fnlimabslt  45634
  Copyright terms: Public domain W3C validator