Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfi 45342
Description: For all but finitely many. Some authors say "cofinitely many". Some authors say "ultimately". Compare with eliuniin 45038 and eliuniin2 45059 (here, the precondition can be dropped; see eliuniincex 45048). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfi.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfi.a 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
Assertion
Ref Expression
allbutfi (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
Distinct variable group:   𝑚,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfi
StepHypRef Expression
1 allbutfi.a . . . . . 6 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
21eleq2i 2830 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
32biimpi 216 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
4 eliun 4999 . . . 4 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
53, 4sylib 218 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
6 nfcv 2902 . . . . 5 𝑛𝑋
7 nfiu1 5031 . . . . . 6 𝑛 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
81, 7nfcxfr 2900 . . . . 5 𝑛𝐴
96, 8nfel 2917 . . . 4 𝑛 𝑋𝐴
10 eliin 5000 . . . . . 6 (𝑋𝐴 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1110biimpd 229 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1211a1d 25 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)))
139, 12reximdai 3258 . . 3 (𝑋𝐴 → (∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
145, 13mpd 15 . 2 (𝑋𝐴 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
15 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
16 allbutfi.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
1716eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
19 eluzelz 12885 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
20 uzid 12890 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
2221ne0d 4347 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
23 eliin2 45055 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑛) ≠ ∅ → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2524adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2615, 25mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
2726ex 412 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵))
2827reximia 3078 . . . 4 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
2928, 4sylibr 234 . . 3 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
3029, 1eleqtrrdi 2849 . 2 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋𝐴)
3114, 30impbii 209 1 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  c0 4338   ciun 4995   ciin 4996  cfv 6562  cz 12610  cuz 12875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876
This theorem is referenced by:  allbutfiinf  45369  allbutfifvre  45630  smflimlem3  46728  smfliminflem  46785
  Copyright terms: Public domain W3C validator