Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  allbutfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem allbutfi 43714
Description: For all but finitely many. Some authors say "cofinitely many". Some authors say "ultimately". Compare with eliuniin 43397 and eliuniin2 43418 (here, the precondition can be dropped; see eliuniincex 43407). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
allbutfi.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
allbutfi.a 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
Assertion
Ref Expression
allbutfi (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
Distinct variable group:   𝑚,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑚,𝑛)   𝐵(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑚,𝑛)   𝑍(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem allbutfi
StepHypRef Expression
1 allbutfi.a . . . . . 6 𝐴 = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
21eleq2i 2826 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
32biimpi 215 . . . 4 (𝑋𝐴𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
4 eliun 4959 . . . 4 (𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
53, 4sylib 217 . . 3 (𝑋𝐴 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
6 nfcv 2904 . . . . 5 𝑛𝑋
7 nfiu1 4989 . . . . . 6 𝑛 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵
81, 7nfcxfr 2902 . . . . 5 𝑛𝐴
96, 8nfel 2918 . . . 4 𝑛 𝑋𝐴
10 eliin 4960 . . . . . 6 (𝑋𝐴 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1110biimpd 228 . . . . 5 (𝑋𝐴 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
1211a1d 25 . . . 4 (𝑋𝐴 → (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)))
139, 12reximdai 3243 . . 3 (𝑋𝐴 → (∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
145, 13mpd 15 . 2 (𝑋𝐴 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
15 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
16 allbutfi.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
1716eleq2i 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
1817biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
19 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
20 uzid 12783 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
2118, 19, 203syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
2221ne0d 4296 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
23 eliin2 43414 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑛) ≠ ∅ → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2524adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → (𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵 ↔ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵))
2615, 25mpbird 257 . . . . . 6 ((𝑛𝑍 ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵) → 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
2726ex 414 . . . . 5 (𝑛𝑍 → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵))
2827reximia 3081 . . . 4 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵 → ∃𝑛𝑍 𝑋 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
2928, 4sylibr 233 . . 3 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝐵)
3029, 1eleqtrrdi 2845 . 2 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵𝑋𝐴)
3114, 30impbii 208 1 (𝑋𝐴 ↔ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  c0 4283   ciun 4955   ciin 4956  cfv 6497  cz 12504  cuz 12768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-neg 11393  df-z 12505  df-uz 12769
This theorem is referenced by:  allbutfiinf  43741  allbutfifvre  44002  smflimlem3  45100  smfliminflem  45157
  Copyright terms: Public domain W3C validator