Theorem fnlimabslt 43174

Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimabslt.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimabslt.f	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimabslt.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimabslt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimabslt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
fnlimabslt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
fnlimabslt	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimabslt.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
2		fnlimabslt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		fnlimabslt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
4		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5		fnlimabslt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑛)
8		fnlimabslt.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5857	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4960	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
13	6, 12	nfiun 4959	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
14		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
15		nfv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
17	10, 16	nffv 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
18	6, 17	nfmpt 5185	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
19		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom ⇝
20	18, 19	nfel 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21		fveq2 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
22	21	mpteq2dv 5180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
23	22	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrabw 3422	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25		ssrab2 4017	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
26	24, 25	eqsstri 3959	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
27	5, 26	eqsstri 3959	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
28		fnlimabslt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
29	27, 28	sselid 3923	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
30	1, 2, 3, 4, 29	allbutfifvre 43170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31		nfv 1920	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
32		nfcv 2908	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))
33		fnlimabslt.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34		fnlimabslt.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
35	8, 5, 34, 28	fnlimcnv 43162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))
36		nfcv 2908	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑚)‘𝑋)
37		fnlimabslt.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
38		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑙
39	37, 38	nffv 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑙)
40		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑋
41	39, 40	nffv 6778	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑙)‘𝑋)
42		fveq2 6768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑙))
43	42	fveq1d 6770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
44	36, 41, 43	cbvmpt 5189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
45		fveq2 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
46	45	fveq1d 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑙)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
47		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
48		fvexd 6783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ V)
49	44, 46, 47, 48	fvmptd3 6892	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
50		fnlimabslt.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
51	31, 32, 2, 33, 35, 49, 50	climd 43167	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
52		nfv 1920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
53		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑗
54	37, 53	nffv 6778	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑗)
55	54, 40	nffv 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋)
56		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚ℂ
57	55, 56	nfel 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
58		nfcv 2908	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚abs
59		nfcv 2908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚 −
60		nfmpt1 5186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))
61		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚dom ⇝
62	60, 61	nfel 2922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
63		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
64		nfii1 4964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
65	63, 64	nfiun 4959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
66	62, 65	nfrabw 3316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67	5, 66	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚𝐷
68		nfcv 2908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 ⇝
69	68, 60	nffv 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
70	67, 69	nfmpt 5185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
71	34, 70	nfcxfr 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝐺
72	71, 40	nffv 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺‘𝑋)
73	55, 59, 72	nfov 7298	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))
74	58, 73	nffv 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋)))
75		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 <
76		nfcv 2908	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑌
77	74, 75, 76	nfbr 5125	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌
78	57, 77	nfan 1905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
79		fveq2 6768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑗))
80	79	fveq1d 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
81	80	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
82	80	fvoveq1d 7290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))))
83	82	breq1d 5088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
84	81, 83	anbi12d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)))
85	52, 78, 84	cbvralw 3371	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
86	85	rexbii 3179	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
87	51, 86	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
88		nfv 1920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
89	1, 88	nfan 1905	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
90		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
91	90	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
92	89, 91	ralimdaa 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
93	92	reximdva 3204	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
94	87, 93	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
95	30, 94	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
96	2	rexanuz2 15042	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
97	95, 96	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1789   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2888  ∀wral 3065  ∃wrex 3066  {crab 3069  Vcvv 3430  ∪ ciun 4929  ∩ ciin 4930   class class class wbr 5078   ↦ cmpt 5161  dom cdm 5588  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  ℝcr 10854   < clt 10993   − cmin 11188  ℤcz 12302  ℤ_≥cuz 12564  ℝ⁺crp 12712  abscabs 14926   ⇝ cli 15174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-iin 4932  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178

This theorem is referenced by:  smflimlem4  44260