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Theorem fnlimabslt 44395
Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimabslt.p β„²π‘šπœ‘
fnlimabslt.f β„²π‘šπΉ
fnlimabslt.n β„²π‘₯𝐹
fnlimabslt.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
fnlimabslt.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
fnlimabslt.b ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
fnlimabslt.d 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
fnlimabslt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
fnlimabslt.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
fnlimabslt (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   π‘š,𝑋,𝑛   π‘š,π‘Œ,𝑛   π‘š,𝑍,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,π‘š)   𝐷(π‘₯,π‘š,𝑛)   𝐹(π‘₯,π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š)   𝑀(π‘₯,π‘š)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem fnlimabslt
Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimabslt.p . . . 4 β„²π‘šπœ‘
2 fnlimabslt.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 fnlimabslt.b . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘š):dom (πΉβ€˜π‘š)βŸΆβ„)
4 eqid 2733 . . . 4 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) = βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
5 fnlimabslt.d . . . . . 6 𝐷 = {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯𝑍
7 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(β„€β‰₯β€˜π‘›)
8 fnlimabslt.n . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯𝐹
9 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯π‘š
108, 9nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯(πΉβ€˜π‘š)
1110nfdm 5951 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯dom (πΉβ€˜π‘š)
127, 11nfiin 5029 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
136, 12nfiun 5028 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
14 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
15 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯𝑦
1710, 16nffv 6902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)
186, 17nfmpt 5256 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
19 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯dom ⇝
2018, 19nfel 2918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
2221mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
2322eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ ↔ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrabw 3468 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ }
25 ssrab2 4078 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ } βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
2624, 25eqsstri 4017 . . . . . 6 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ } βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
275, 26eqsstri 4017 . . . . 5 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
28 fnlimabslt.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
2927, 28sselid 3981 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š))
301, 2, 3, 4, 29allbutfifvre 44391 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ ℝ)
31 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘—πœ‘
32 nfcv 2904 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))
33 fnlimabslt.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
34 fnlimabslt.g . . . . . . 7 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
358, 5, 34, 28fnlimcnv 44383 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) ⇝ (πΊβ€˜π‘‹))
36 nfcv 2904 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑙((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)
37 fnlimabslt.f . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπΉ
38 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šπ‘™
3937, 38nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘™)
40 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘šπ‘‹
4139, 40nffv 6902 . . . . . . . 8 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘‹)
42 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑙 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘™))
4342fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑙 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘‹))
4436, 41, 43cbvmpt 5260 . . . . . . 7 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘‹))
45 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
4645fveq1d 6894 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘™)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
47 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
48 fvexd 6907 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ V)
4944, 46, 47, 48fvmptd3 7022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ ((π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
50 fnlimabslt.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
5131, 32, 2, 33, 35, 49, 50climd 44388 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
52 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ)
53 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘šπ‘—
5437, 53nffv 6902 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘—)
5554, 40nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹)
56 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘šβ„‚
5755, 56nfel 2918 . . . . . . . 8 β„²π‘š((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚
58 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 β„²π‘šabs
59 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š βˆ’
60 nfmpt1 5257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
61 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘šdom ⇝
6260, 61nfel 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝
63 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘šπ‘
64 nfii1 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘šβˆ© π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
6563, 64nfiun 5028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘šβˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š)
6662, 65nfrabw 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘š{π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)dom (πΉβ€˜π‘š) ∣ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)) ∈ dom ⇝ }
675, 66nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘šπ·
68 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘š ⇝
6968, 60nffv 6902 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘š( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯)))
7067, 69nfmpt 5256 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘š(π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))))
7134, 70nfcxfr 2902 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘šπΊ
7271, 40nffv 6902 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘š(πΊβ€˜π‘‹)
7355, 59, 72nfov 7439 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))
7458, 73nffv 6902 . . . . . . . . 9 β„²π‘š(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹)))
75 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘š <
76 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 β„²π‘šπ‘Œ
7774, 75, 76nfbr 5196 . . . . . . . 8 β„²π‘š(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ
7857, 77nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘š(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ)
79 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘—))
8079fveq1d 6894 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹))
8180eleq1d 2819 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑗 β†’ (((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ↔ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚))
8280fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑗 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))))
8382breq1d 5159 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑗 β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
8481, 83anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑗 β†’ ((((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) ↔ (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ)))
8552, 78, 84cbvralw 3304 . . . . . 6 (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
8685rexbii 3095 . . . . 5 (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
8751, 86sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
88 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘š 𝑛 ∈ 𝑍
891, 88nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘š(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
90 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ)
9190a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
9289, 91ralimdaa 3258 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) β†’ βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
9392reximdva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
9487, 93mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ)
9530, 94jca 513 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
962rexanuz2 15296 . 2 (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ) ↔ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
9795, 96sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆ€π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›)(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘‹) βˆ’ (πΊβ€˜π‘‹))) < π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  βˆͺ ciun 4998  βˆ© ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  abscabs 15181   ⇝ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  smflimlem4  45490
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