Theorem fnlimabslt 46426

Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimabslt.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimabslt.f	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimabslt.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimabslt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimabslt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
fnlimabslt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
fnlimabslt	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑚)   𝐷(𝑥, 𝑚, 𝑛)   𝐹(𝑥, 𝑚)   𝐺(𝑥, 𝑚)   𝑀(𝑥, 𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimabslt.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
2		fnlimabslt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		fnlimabslt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5		fnlimabslt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑛)
8		fnlimabslt.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5943	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4991	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
13	6, 12	nfiun 4990	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
14		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
15		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
17	10, 16	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
18	6, 17	nfmpt 5211	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
19		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom ⇝
20	18, 19	nfel 2941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
22	21	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
23	22	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrabw 3453	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25		ssrab2 4035	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
26	24, 25	eqsstri 3984	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
27	5, 26	eqsstri 3984	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
28		fnlimabslt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
29	27, 28	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
30	1, 2, 3, 4, 29	allbutfifvre 46422	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
32		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))
33		fnlimabslt.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34		fnlimabslt.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
35	8, 5, 34, 28	fnlimcnv 46414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))
36		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑚)‘𝑋)
37		fnlimabslt.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
38		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑙
39	37, 38	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑙)
40		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑋
41	39, 40	nffv 6895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑙)‘𝑋)
42		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑙))
43	42	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
44	36, 41, 43	cbvmpt 5215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
45		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
46	45	fveq1d 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑙)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
47		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
48		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ V)
49	44, 46, 47, 48	fvmptd3 7017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
50		fnlimabslt.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
51	31, 32, 2, 33, 35, 49, 50	climd 46419	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
52		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
53		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑗
54	37, 53	nffv 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑗)
55	54, 40	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋)
56		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚ℂ
57	55, 56	nfel 2941	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
58		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚abs
59		nfcv 2927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚 −
60		nfmpt1 5212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))
61		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚dom ⇝
62	60, 61	nfel 2941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
63		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
64		nfii1 4995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
65	63, 64	nfiun 4990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
66	62, 65	nfrabw 3454	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67	5, 66	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚𝐷
68		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 ⇝
69	68, 60	nffv 6895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
70	67, 69	nfmpt 5211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
71	34, 70	nfcxfr 2925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝐺
72	71, 40	nffv 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺‘𝑋)
73	55, 59, 72	nfov 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))
74	58, 73	nffv 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋)))
75		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 <
76		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑌
77	74, 75, 76	nfbr 5160	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌
78	57, 77	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
79		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑗))
80	79	fveq1d 6887	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
81	80	eleq1d 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
82	80	fvoveq1d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))))
83	82	breq1d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
84	81, 83	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)))
85	52, 78, 84	cbvralw 3309	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
86	85	rexbii 3114	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
87	51, 86	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
88		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
89	1, 88	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
90		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
91	90	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
92	89, 91	ralimdaa 3268	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
93	92	reximdva 3180	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
94	87, 93	mpd 16	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
95	30, 94	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
96	2	rexanuz2 15421	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
97	95, 96	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2912  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457  ∪ ciun 4958  ∩ ciin 4959   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110   < clt 11254   − cmin 11452  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  ℝ⁺crp 13028  abscabs 15305   ⇝ cli 15555

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9405  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-clim 15559

This theorem is used by:  smflimlem4  47521