Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnlimabslt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnlimabslt 40429
Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fnlimabslt.p 𝑚𝜑
fnlimabslt.f 𝑚𝐹
fnlimabslt.n 𝑥𝐹
fnlimabslt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fnlimabslt.b ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x (𝜑𝑋𝐷)
fnlimabslt.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
fnlimabslt (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt
Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnlimabslt.p . . . 4 𝑚𝜑
2 fnlimabslt.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 fnlimabslt.b . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚):dom (𝐹𝑚)⟶ℝ)
4 eqid 2771 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
5 fnlimabslt.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑥𝑍
7 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑥(ℤ𝑛)
8 fnlimabslt.n . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐹
9 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑚
108, 9nffv 6339 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5505 . . . . . . . . . 10 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4683 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 4682 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
15 nfv 1995 . . . . . . . 8 𝑦(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑦
1710, 16nffv 6339 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑚)‘𝑦)
186, 17nfmpt 4880 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦))
19 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑥dom ⇝
2018, 19nfel 2926 . . . . . . . 8 𝑥(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
2221mpteq2dv 4879 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
2322eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
2413, 14, 15, 20, 23cbvrab 3348 . . . . . . 7 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25 ssrab2 3836 . . . . . . 7 {𝑦 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2624, 25eqsstri 3784 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
275, 26eqsstri 3784 . . . . 5 𝐷 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
28 fnlimabslt.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
2927, 28sseldi 3750 . . . 4 (𝜑𝑋 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
301, 2, 3, 4, 29allbutfifvre 40425 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31 nfv 1995 . . . . . 6 𝑗𝜑
32 nfcv 2913 . . . . . 6 𝑗(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))
33 fnlimabslt.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
34 fnlimabslt.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
358, 5, 34, 28fnlimcnv 40417 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺𝑋))
36 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑙((𝐹𝑚)‘𝑋)
37 fnlimabslt.f . . . . . . . . . . 11 𝑚𝐹
38 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑙
3937, 38nffv 6339 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹𝑙)
40 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑋
4139, 40nffv 6339 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑙)‘𝑋)
42 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑙 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑙))
4342fveq1d 6334 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑙)‘𝑋))
4436, 41, 43cbvmpt 4883 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑙𝑍 ↦ ((𝐹𝑙)‘𝑋))
4544a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋)) = (𝑙𝑍 ↦ ((𝐹𝑙)‘𝑋)))
46 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
4746fveq1d 6334 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹𝑙)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
4847adantl 467 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑙 = 𝑗) → ((𝐹𝑙)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
49 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
50 fvexd 6344 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ V)
5145, 48, 49, 50fvmptd 6430 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
52 fnlimabslt.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
5331, 32, 2, 33, 35, 51, 52climd 40422 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
54 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑗(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
55 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑚𝑗
5637, 55nffv 6339 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹𝑗)
5756, 40nffv 6339 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋)
58 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑚
5957, 58nfel 2926 . . . . . . . 8 𝑚((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
60 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑚abs
61 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑚
62 nfmpt1 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
63 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚dom ⇝
6462, 63nfel 2926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
65 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚𝑍
66 nfii1 4685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6765, 66nfiun 4682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6864, 67nfrab 3272 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
695, 68nfcxfr 2911 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚𝐷
70 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚
7170, 62nffv 6339 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑚( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
7269, 71nfmpt 4880 . . . . . . . . . . . . 13 𝑚(𝑥𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
7334, 72nfcxfr 2911 . . . . . . . . . . . 12 𝑚𝐺
7473, 40nffv 6339 . . . . . . . . . . 11 𝑚(𝐺𝑋)
7557, 61, 74nfov 6821 . . . . . . . . . 10 𝑚(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))
7660, 75nffv 6339 . . . . . . . . 9 𝑚(abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋)))
77 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑚 <
78 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑚𝑌
7976, 77, 78nfbr 4833 . . . . . . . 8 𝑚(abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌
8059, 79nfan 1980 . . . . . . 7 𝑚(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
81 fveq2 6332 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑗 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑗))
8281fveq1d 6334 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹𝑚)‘𝑋) = ((𝐹𝑗)‘𝑋))
8382eleq1d 2835 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
8482fvoveq1d 6815 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) = (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))))
8584breq1d 4796 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
8683, 85anbi12d 616 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)))
8754, 80, 86cbvral 3316 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
8887rexbii 3189 . . . . 5 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑗)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
8953, 88sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
90 nfv 1995 . . . . . . 7 𝑚 𝑛𝑍
911, 90nfan 1980 . . . . . 6 𝑚(𝜑𝑛𝑍)
92 simpr 471 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
9392a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → ((((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9491, 93ralimdaa 3107 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9594reximdva 3165 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9689, 95mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌)
9730, 96jca 501 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
982rexanuz2 14297 . 2 (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
9997, 98sylibr 224 1 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(((𝐹𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹𝑚)‘𝑋) − (𝐺𝑋))) < 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351   ciun 4654   ciin 4655   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137   < clt 10276  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035  abscabs 14182  cli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427
This theorem is referenced by:  smflimlem4  41502
  Copyright terms: Public domain W3C validator