Theorem fnlimabslt 45923

Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimabslt.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimabslt.f	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimabslt.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimabslt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimabslt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
fnlimabslt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
fnlimabslt	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimabslt.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
2		fnlimabslt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		fnlimabslt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5		fnlimabslt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑛)
8		fnlimabslt.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5900	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4979	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
13	6, 12	nfiun 4978	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
14		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
15		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
17	10, 16	nffv 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
18	6, 17	nfmpt 5196	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
19		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom ⇝
20	18, 19	nfel 2913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
22	21	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
23	22	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrabw 3434	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25		ssrab2 4032	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
26	24, 25	eqsstri 3980	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
27	5, 26	eqsstri 3980	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
28		fnlimabslt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
29	27, 28	sselid 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
30	1, 2, 3, 4, 29	allbutfifvre 45919	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
32		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))
33		fnlimabslt.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34		fnlimabslt.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
35	8, 5, 34, 28	fnlimcnv 45911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))
36		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑚)‘𝑋)
37		fnlimabslt.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
38		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑙
39	37, 38	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑙)
40		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑋
41	39, 40	nffv 6844	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑙)‘𝑋)
42		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑙))
43	42	fveq1d 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
44	36, 41, 43	cbvmpt 5200	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
45		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
46	45	fveq1d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑙)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
47		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
48		fvexd 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ V)
49	44, 46, 47, 48	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
50		fnlimabslt.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
51	31, 32, 2, 33, 35, 49, 50	climd 45916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
52		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
53		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑗
54	37, 53	nffv 6844	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑗)
55	54, 40	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋)
56		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚ℂ
57	55, 56	nfel 2913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
58		nfcv 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚abs
59		nfcv 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚 −
60		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))
61		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚dom ⇝
62	60, 61	nfel 2913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
63		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
64		nfii1 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
65	63, 64	nfiun 4978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
66	62, 65	nfrabw 3436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67	5, 66	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚𝐷
68		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 ⇝
69	68, 60	nffv 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
70	67, 69	nfmpt 5196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
71	34, 70	nfcxfr 2896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝐺
72	71, 40	nffv 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺‘𝑋)
73	55, 59, 72	nfov 7388	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))
74	58, 73	nffv 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋)))
75		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 <
76		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑌
77	74, 75, 76	nfbr 5145	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌
78	57, 77	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
79		fveq2 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑗))
80	79	fveq1d 6836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
81	80	eleq1d 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
82	80	fvoveq1d 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))))
83	82	breq1d 5108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
84	81, 83	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)))
85	52, 78, 84	cbvralw 3278	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
86	85	rexbii 3083	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
87	51, 86	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
88		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
89	1, 88	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
90		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
91	90	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
92	89, 91	ralimdaa 3237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
93	92	reximdva 3149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
94	87, 93	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
95	30, 94	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
96	2	rexanuz2 15273	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
97	95, 96	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440  ∪ ciun 4946  ∩ ciin 4947   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  dom cdm 5624  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025   < clt 11166   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ℝ⁺crp 12905  abscabs 15157   ⇝ cli 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411

This theorem is referenced by:  smflimlem4  47018