Theorem fnlimabslt 42321

Description: A sequence of function values, approximates the corresponding limit function value, all but finitely many times. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnlimabslt.p	⊢ Ⅎ𝑚𝜑
fnlimabslt.f	⊢ Ⅎ𝑚𝐹
fnlimabslt.n	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fnlimabslt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fnlimabslt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fnlimabslt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
fnlimabslt.d	⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
fnlimabslt.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
fnlimabslt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
fnlimabslt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
fnlimabslt	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑛,𝑀   𝑚,𝑋,𝑛   𝑚,𝑌,𝑛   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚)   𝑀(𝑥,𝑚)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fnlimabslt

Dummy variables 𝑗 𝑙 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnlimabslt.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝜑
2		fnlimabslt.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		fnlimabslt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚):dom (𝐹‘𝑚)⟶ℝ)
4		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) = ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
5		fnlimabslt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
6		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑍
7		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(ℤ≥‘𝑛)
8		fnlimabslt.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
9		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑚
10	8, 9	nffv 6655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑚)
11	10	nfdm 5787	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝐹‘𝑚)
12	7, 11	nfiin 4912	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
13	6, 12	nfiun 4911	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
14		nfcv 2955	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
15		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
16		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
17	10, 16	nffv 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐹‘𝑚)‘𝑦)
18	6, 17	nfmpt 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
19		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥dom ⇝
20	18, 19	nfel 2969	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝
21		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑚)‘𝑦))
22	21	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)))
23	22	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ ))
24	13, 14, 15, 20, 23	cbvrabw 3437	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ }
25		ssrab2 4007	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑦)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
26	24, 25	eqsstri 3949	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
27	5, 26	eqsstri 3949	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ⊆ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
28		fnlimabslt.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
29	27, 28	sseldi 3913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚))
30	1, 2, 3, 4, 29	allbutfifvre 42317	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ)
31		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
32		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))
33		fnlimabslt.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
34		fnlimabslt.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
35	8, 5, 34, 28	fnlimcnv 42309	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) ⇝ (𝐺‘𝑋))
36		nfcv 2955	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑚)‘𝑋)
37		fnlimabslt.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝐹
38		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚𝑙
39	37, 38	nffv 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑙)
40		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑋
41	39, 40	nffv 6655	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑙)‘𝑋)
42		fveq2 6645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑙))
43	42	fveq1d 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑙 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
44	36, 41, 43	cbvmpt 5131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑙)‘𝑋))
45		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
46	45	fveq1d 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑙)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
47		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
48		fvexd 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ V)
49	44, 46, 47, 48	fvmptd3 6768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑋))‘𝑗) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
50		fnlimabslt.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
51	31, 32, 2, 33, 35, 49, 50	climd 42314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
52		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
53		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚𝑗
54	37, 53	nffv 6655	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐹‘𝑗)
55	54, 40	nffv 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋)
56		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚ℂ
57	55, 56	nfel 2969	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ
58		nfcv 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚abs
59		nfcv 2955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚 −
60		nfmpt1 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))
61		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚dom ⇝
62	60, 61	nfel 2969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
63		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚𝑍
64		nfii1 4916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑚∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
65	63, 64	nfiun 4911	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑚∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚)
66	62, 65	nfrabw 3338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚{𝑥 ∈ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 ∩ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)dom (𝐹‘𝑚) ∣ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
67	5, 66	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚𝐷
68		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑚 ⇝
69	68, 60	nffv 6655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑚( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥)))
70	67, 69	nfmpt 5127	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ( ⇝ ‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐹‘𝑚)‘𝑥))))
71	34, 70	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑚𝐺
72	71, 40	nffv 6655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐺‘𝑋)
73	55, 59, 72	nfov 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))
74	58, 73	nffv 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋)))
75		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚 <
76		nfcv 2955	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑚𝑌
77	74, 75, 76	nfbr 5077	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌
78	57, 77	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
79		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑗))
80	79	fveq1d 6647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑚)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑗)‘𝑋))
81	80	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ↔ ((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ))
82	80	fvoveq1d 7157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) = (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))))
83	82	breq1d 5040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
84	81, 83	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)))
85	52, 78, 84	cbvralw 3387	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
86	85	rexbii 3210	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑗)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
87	51, 86	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
88		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑚 𝑛 ∈ 𝑍
89	1, 88	nfan 1900	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑚(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍)
90		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
91	90	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)) → ((((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
92	89, 91	ralimdaa 3181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
93	92	reximdva 3233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℂ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
94	87, 93	mpd 15	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌)
95	30, 94	jca 515	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
96	2	rexanuz2 14701	. 2 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌) ↔ (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))
97	95, 96	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∀𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑛)(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) ∈ ℝ ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑚)‘𝑋) − (𝐺‘𝑋))) < 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  ∪ ciun 4881  ∩ ciin 4882   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525   < clt 10664   − cmin 10859  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ℝ⁺crp 12377  abscabs 14585   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837

This theorem is referenced by:  smflimlem4  43407