Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blssp 36612
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
blssp (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 23831 . . 3 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 724 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simprl 769 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
4 simplr 767 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 sseqin2 4214 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
64, 5sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
73, 6eleqtrrd 2836 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆))
8 rpxr 12979 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
98ad2antll 727 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 blssp.2 . . 3 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
1110blres 23928 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
122, 7, 9, 11syl3anc 1371 1 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„*cxr 11243  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  ballcbl 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931
This theorem is referenced by:  bndss  36642
  Copyright terms: Public domain W3C validator