Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssp 36244
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
blssp (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 23703 . . 3 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 725 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simprl 770 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
4 simplr 768 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 sseqin2 4180 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
64, 5sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
73, 6eleqtrrd 2841 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆))
8 rpxr 12931 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
98ad2antll 728 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 blssp.2 . . 3 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
1110blres 23800 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
122, 7, 9, 11syl3anc 1372 1 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„*cxr 11195  β„+crp 12922  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807
This theorem is referenced by:  bndss  36274
  Copyright terms: Public domain W3C validator