Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blssp 37229
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
blssp (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 24239 . . 3 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 725 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simprl 770 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
4 simplr 768 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 sseqin2 4215 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
64, 5sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
73, 6eleqtrrd 2832 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆))
8 rpxr 13015 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
98ad2antll 728 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 blssp.2 . . 3 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
1110blres 24336 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
122, 7, 9, 11syl3anc 1369 1 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„*cxr 11277  β„+crp 13006  βˆžMetcxmet 21263  Metcmet 21264  ballcbl 21265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-mulcl 11200  ax-i2m1 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273
This theorem is referenced by:  bndss  37259
  Copyright terms: Public domain W3C validator