Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem blssp 37743
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2 𝑁 = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
Assertion
Ref Expression
blssp (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑌(ball‘𝑁)𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ 𝑆))

Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 24360 . . 3 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
21ad2antrr 726 . 2 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simprl 771 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑌𝑆)
4 simplr 769 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑆𝑋)
5 sseqin2 4231 . . . 4 (𝑆𝑋 ↔ (𝑋𝑆) = 𝑆)
64, 5sylib 218 . . 3 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋𝑆) = 𝑆)
73, 6eleqtrrd 2842 . 2 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑌 ∈ (𝑋𝑆))
8 rpxr 13042 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
98ad2antll 729 . 2 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
10 blssp.2 . . 3 𝑁 = (𝑀 ↾ (𝑆 × 𝑆))
1110blres 24457 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑁)𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ 𝑆))
122, 7, 9, 11syl3anc 1370 1 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑆𝑋) ∧ (𝑌𝑆𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑌(ball‘𝑁)𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  wss 3963   × cxp 5687  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292  +crp 13032  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-mulcl 11215  ax-i2m1 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377
This theorem is referenced by:  bndss  37773
  Copyright terms: Public domain W3C validator