Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blssp 37127
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
Assertion
Ref Expression
blssp (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 24184 . . 3 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
21ad2antrr 723 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 simprl 768 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
4 simplr 766 . . . 4 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
5 sseqin2 4208 . . . 4 (𝑆 βŠ† 𝑋 ↔ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
64, 5sylib 217 . . 3 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (𝑋 ∩ 𝑆) = 𝑆)
73, 6eleqtrrd 2828 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆))
8 rpxr 12984 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
98ad2antll 726 . 2 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
10 blssp.2 . . 3 𝑁 = (𝑀 β†Ύ (𝑆 Γ— 𝑆))
1110blres 24281 . 2 ((𝑀 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘Œ ∈ (𝑋 ∩ 𝑆) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
122, 7, 9, 11syl3anc 1368 1 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑆 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Œ(ballβ€˜π‘)𝑅) = ((π‘Œ(ballβ€˜π‘€)𝑅) ∩ 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„*cxr 11246  β„+crp 12975  βˆžMetcxmet 21219  Metcmet 21220  ballcbl 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-mulcl 11169  ax-i2m1 11175
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-rp 12976  df-xadd 13094  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229
This theorem is referenced by:  bndss  37157
  Copyright terms: Public domain W3C validator