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Theorem mettrifi 33907
Description: Generalized triangle inequality for arbitrary finite sums. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mettrifi.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
mettrifi.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
mettrifi.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
mettrifi (𝜑 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Proof of Theorem mettrifi
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mettrifi.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 12556 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
5 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
65oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)))
7 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 − 1) = (𝑀 − 1))
87oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝑀...(𝑥 − 1)) = (𝑀...(𝑀 − 1)))
98sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
106, 9breq12d 4822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
114, 10imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
1211imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))) ↔ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))))
13 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
14 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1514oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)))
16 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 − 1) = (𝑛 − 1))
1716oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (𝑀...(𝑥 − 1)) = (𝑀...(𝑛 − 1)))
1817sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
1915, 18breq12d 4822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
2013, 19imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ↔ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
2120imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))))
22 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
23 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2423oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))))
25 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
2625oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑀...(𝑥 − 1)) = (𝑀...((𝑛 + 1) − 1)))
2726sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
2824, 27breq12d 4822 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
2922, 28imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
3029imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))))
31 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
32 fveq2 6375 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
3332oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)))
34 oveq1 6849 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
3534oveq2d 6858 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑀...(𝑥 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
3635sumeq1d 14718 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
3733, 36breq12d 4822 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
3831, 37imbi12d 335 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
3938imbi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑥)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑥 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))))
40 0le0 11380 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
4140a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 0)
42 mettrifi.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
43 eluzfz1 12555 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
441, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
45 mettrifi.4 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
4645ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
47 fveq2 6375 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
4847eleq1d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑋))
4948rspcv 3457 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ 𝑋 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑋))
5044, 46, 49sylc 65 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑋)
51 met0 22427 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) = 0)
5242, 50, 51syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) = 0)
53 eluzel2 11891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5554zred 11729 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 11210 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
57 peano2zm 11667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
5854, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
59 fzn 12564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
6054, 58, 59syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 − 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅))
6156, 60mpbid 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑀 − 1)) = ∅)
6261sumeq1d 14718 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
63 sum0 14739 . . . . . . . 8 Σ𝑘 ∈ ∅ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0
6462, 63syl6eq 2815 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = 0)
6541, 52, 643brtr4d 4841 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
6665a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6766a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑀)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑀 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
68 peano2fzr 12561 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
6968ex 401 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
7069adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
7170imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
72423ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
73503ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑀) ∈ 𝑋)
74 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
75463ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
76 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
7776eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋))
7877rspcv 3457 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ 𝑋 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋))
7974, 75, 78sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋)
80 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
8180eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋))
8281cbvralv 3319 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
8375, 82sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
84703impia 1145 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
85 rsp 3076 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ∈ 𝑋 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋))
8683, 84, 85sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
87 mettri 22436 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ((𝐹𝑀) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))))
8872, 73, 79, 86, 87syl13anc 1491 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))))
89 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9072, 73, 79, 89syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
91 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
9272, 73, 86, 91syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ∈ ℝ)
93 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9472, 86, 79, 93syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9592, 94readdcld 10323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
96 fzfid 12980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
9772adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
98 elfzuz3 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
9984, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
100 fzss2 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
10199, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
102101sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
103453ad2antl1 1236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
104102, 103syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
105 elfzuz 12545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
106105adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
107 peano2uz 11941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
109 elfzuz3 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
11074, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
112 elfzuz3 12546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑛) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑘))
113112adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑘))
114 eluzp1p1 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (ℤ𝑘) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
116 uztrn 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
117111, 115, 116syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1)))
118 elfzuzb 12543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑘 + 1))))
119108, 117, 118sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
120 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
121120eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑛) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋))
122121rspccva 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
12383, 122sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
124119, 123syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋)
125 metcl 22416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
12697, 104, 124, 125syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
12796, 126fsumrecl 14752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
128 letr 10385 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ∧ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
12990, 95, 127, 128syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ∧ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
13088, 129mpand 686 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
131 fzfid 12980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀...(𝑛 − 1)) ∈ Fin)
132 fzssp1 12591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀...(𝑛 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑛 − 1) + 1))
133 eluzelz 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1341333ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
135134zcnd 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
136 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℂ
137 npcan 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
138135, 136, 137sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
139138oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀...((𝑛 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑛))
140132, 139syl5sseq 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀...(𝑛 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑛))
141140sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛))
142141, 126syldan 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
143131, 142fsumrecl 14752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℝ)
14492, 143, 94leadd1d 10875 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))))))
145 simp2 1167 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
146126recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
147 fvoveq1 6865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
14880, 147oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))))
149145, 146, 148fsumm1 14767 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))))
150149breq2d 4821 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))))))
151144, 150bitr4d 273 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) + ((𝐹𝑛)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
152 pncan 10541 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
153135, 136, 152sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
154153oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀...((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑛))
155154sumeq1d 14718 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
156155breq2d 4821 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) ↔ ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
157130, 151, 1563imtr4d 285 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
1581573expia 1150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
159158a2d 29 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
16071, 159syld 47 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
161160expcom 402 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))))
162161a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑛)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑛 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹‘(𝑛 + 1))) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))))
16312, 21, 30, 39, 67, 162uzind4 11946 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))))
1641, 163mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1)))))
1653, 164mpd 15 1 (𝜑 → ((𝐹𝑀)𝐷(𝐹𝑁)) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))((𝐹𝑘)𝐷(𝐹‘(𝑘 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  Σcsu 14703  Metcmet 20005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704  df-xmet 20012  df-met 20013
This theorem is referenced by:  geomcau  33909
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