Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mettrifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mettrifi 37138
Description: Generalized triangle inequality for arbitrary finite sums. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mettrifi.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
mettrifi.3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
mettrifi.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
mettrifi (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋

Proof of Theorem mettrifi
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mettrifi.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 eluzfz2 13515 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 eleq1 2815 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))
5 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘€))
65oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)))
7 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑀 βˆ’ 1))
87oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)))
98sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
106, 9breq12d 5154 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
114, 10imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
1211imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))))
13 eleq1 2815 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
14 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘›))
1514oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)))
16 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑛 βˆ’ 1))
1716oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1)))
1817sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑛 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
1915, 18breq12d 5154 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
2013, 19imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) ↔ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
2120imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))))
22 eleq1 2815 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
23 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
2423oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
25 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = ((𝑛 + 1) βˆ’ 1))
2625oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1)))
2726sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
2824, 27breq12d 5154 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
2922, 28imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
3029imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = (𝑛 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))) ↔ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))))
31 eleq1 2815 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))
32 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘))
3332oveq2d 7421 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)))
34 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
3534oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1)) = (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)))
3635sumeq1d 15653 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑁 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
3733, 36breq12d 5154 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
3831, 37imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
3938imbi2d 340 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘₯)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(π‘₯ βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))) ↔ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))))
40 0le0 12317 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
4140a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 0)
42 mettrifi.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
43 eluzfz1 13514 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
441, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
45 mettrifi.4 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
4645ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
47 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
4847eleq1d 2812 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋))
4948rspcv 3602 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋))
5044, 46, 49sylc 65 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
51 met0 24204 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) = 0)
5242, 50, 51syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) = 0)
53 eluzel2 12831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
541, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
5554zred 12670 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
5655ltm1d 12150 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀)
57 peano2zm 12609 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€)
58 fzn 13523 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑀 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
5954, 57, 58syl2anc2 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑀 βˆ’ 1) < 𝑀 ↔ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1)) = βˆ…)
6160sumeq1d 15653 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
62 sum0 15673 . . . . . . . 8 Ξ£π‘˜ ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = 0
6361, 62eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = 0)
6441, 52, 633brtr4d 5173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
6564a1d 25 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
6665a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘€)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑀 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
67 peano2fzr 13520 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
6867ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
6968adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
7069imim1d 82 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
71423ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
72503ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
73 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
74463ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
75 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
7675eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋))
7776rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋))
7873, 74, 77sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋)
79 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
8079eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋))
8180cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
8274, 81sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
83693impia 1114 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
84 rsp 3238 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋 β†’ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋))
8582, 83, 84sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)
86 mettri 24213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))))
8771, 72, 78, 85, 86syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))))
88 metcl 24193 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
8971, 72, 78, 88syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
90 metcl 24193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
9171, 72, 85, 90syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
92 metcl 24193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9371, 85, 78, 92syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
9491, 93readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
95 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑀...𝑛) ∈ Fin)
9671adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
97 elfzuz3 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
9883, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›))
99 fzss2 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘›) β†’ (𝑀...𝑛) βŠ† (𝑀...𝑁))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑀...𝑛) βŠ† (𝑀...𝑁))
101100sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁))
102453ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
103101, 102syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
104 elfzuz 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
106 peano2uz 12889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
108 elfzuz3 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
10973, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)))
111 elfzuz3 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
112111adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜))
113 eluzp1p1 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
115 uztrn 12844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑛 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
116110, 114, 115syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1)))
117 elfzuzb 13501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((π‘˜ + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ + 1))))
118107, 116, 117sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
119 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
120119eleq1d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋 ↔ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋))
121120rspccva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘› ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘›) ∈ 𝑋 ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
12282, 121sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (π‘˜ + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
123118, 122syldan 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋)
124 metcl 24193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
12596, 103, 123, 124syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
12695, 125fsumrecl 15686 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
127 letr 11312 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ∈ ℝ ∧ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ∈ ℝ ∧ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
12889, 94, 126, 127syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
12987, 128mpand 692 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
130 fzfid 13944 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ Fin)
131 fzssp1 13550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...((𝑛 βˆ’ 1) + 1))
132 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
1331323ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
134133zcnd 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
135 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ β„‚
136 npcan 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) + 1) = 𝑛)
137134, 135, 136sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) + 1) = 𝑛)
138137oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑀...((𝑛 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑛))
139131, 138sseqtrid 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...𝑛))
140139sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛))
141140, 125syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
142130, 141fsumrecl 15686 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ ℝ)
14391, 142, 93leadd1d 11812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))))
144 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
145125recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ β„‚)
146 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
14779, 146oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
148144, 145, 147fsumm1 15703 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))))
149148breq2d 5153 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))))
150143, 149bitr4d 282 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) + ((πΉβ€˜π‘›)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
151 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
152134, 135, 151sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((𝑛 + 1) βˆ’ 1) = 𝑛)
153152oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1)) = (𝑀...𝑛))
154153sumeq1d 15653 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) = Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
155154breq2d 5153 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...𝑛)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
156129, 150, 1553imtr4d 294 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
1571563expia 1118 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
158157a2d 29 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
15970, 158syld 47 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
160159expcom 413 . . . . 5 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))) β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))))
161160a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ ((πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘›)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑛 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))) β†’ (πœ‘ β†’ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...((𝑛 + 1) βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))))
16212, 21, 30, 39, 66, 161uzind4 12894 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))))
1631, 162mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
1643, 163mpd 15 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝐷(πΉβ€˜π‘)) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  Ξ£csu 15638  Metcmet 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234
This theorem is referenced by:  geomcau  37140
  Copyright terms: Public domain W3C validator