Theorem ccatval1 14518

Description: Value of a symbol in the left half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

Proof of Theorem ccatval1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14514	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2	1	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
3		eleq1 2816	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
4		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐼))
5		fvoveq1 7392	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
6	3, 4, 5	ifbieq12d 4513	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
7		iftrue 4490	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
8	7	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
9	6, 8	sylan9eqr 2786	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		lencl 14474	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		elfzoext 13659	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13	10, 11, 12	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
14	13	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
15		fvexd 6855	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝐼) ∈ V)
16	2, 9, 14, 15	fvmptd 6957	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ifcif 4484   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   + caddc 11047   − cmin 11381  ℕ₀cn0 12418  ..^cfzo 13591  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512

This theorem is referenced by:  ccatsymb  14523  ccatfv0  14524  ccatval1lsw  14525  ccatrid  14528  ccatass  14529  ccatrn  14530  ccats1val1  14567  ccat2s1p1  14570  lswccats1fst  14576  ccat2s1fvw  14579  ccatswrd  14609  ccatpfx  14642  pfxccat1  14643  swrdccatin1  14666  pfxccatin12lem3  14673  pfxccatin12  14674  splfv1  14696  splfv2a  14697  revccat  14707  cshwidxmod  14744  cats1fv  14801  ccat2s1fvwALT  14897  gsumsgrpccat  18749  efgsp1  19651  efgredlemd  19658  efgrelexlemb  19664  tgcgr4  28511  clwwlkccatlem  29968  clwwlkel  30025  wwlksext2clwwlk  30036  ccatf1  32920  chnind  32983  chnub  32984  cycpmco2lem2  33099  cycpmco2lem4  33101  cycpmco2lem5  33102  cycpmco2  33105  signstfvn  34553  signstfvp  34555  signstfvneq0  34556  lpadleft  34667