Theorem ccatval1 14539

Description: Value of a symbol in the left half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

Proof of Theorem ccatval1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14535	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2	1	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
3		eleq1 2824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
4		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐼))
5		fvoveq1 7390	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
6	3, 4, 5	ifbieq12d 4495	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
7		iftrue 4472	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
8	7	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
9	6, 8	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		lencl 14495	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		elfzoext 13677	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13	10, 11, 12	syl2anr 598	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
14	13	3adant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
15		fvexd 6855	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝐼) ∈ V)
16	2, 9, 14, 15	fvmptd 6955	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ifcif 4466   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533

This theorem is referenced by:  ccatsymb  14545  ccatfv0  14546  ccatval1lsw  14547  ccatrid  14550  ccatass  14551  ccatrn  14552  ccats1val1  14589  ccat2s1p1  14592  lswccats1fst  14598  ccat2s1fvw  14601  ccatswrd  14631  ccatpfx  14663  pfxccat1  14664  swrdccatin1  14687  pfxccatin12lem3  14694  pfxccatin12  14695  splfv1  14717  splfv2a  14718  revccat  14728  cshwidxmod  14765  cats1fv  14821  ccat2s1fvwALT  14917  chnind  18587  chnub  18588  chnccat  18592  gsumsgrpccat  18808  efgsp1  19712  efgredlemd  19719  efgrelexlemb  19725  tgcgr4  28599  clwwlkccatlem  30059  clwwlkel  30116  wwlksext2clwwlk  30127  ccatf1  33009  cycpmco2lem2  33188  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2  33194  signstfvn  34713  signstfvp  34715  signstfvneq0  34716  lpadleft  34827