Theorem ccatval1 14619

Description: Value of a symbol in the left half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

Proof of Theorem ccatval1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14615	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
3		eleq1 2851	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
4		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐼))
5		fvoveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
6	3, 4, 5	ifbieq12d 4516	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
7		iftrue 4493	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
8	7	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
9	6, 8	sylan9eqr 2820	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
10		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		lencl 14575	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		elfzoext 13756	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13	10, 11, 12	syl2anr 608	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
14	13	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
15		fvexd 6896	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝐼) ∈ V)
16	2, 9, 14, 15	fvmptd 6997	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ifcif 4487   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104   + caddc 11107   − cmin 11445  ℕ₀cn0 12508  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555   ++ cconcat 14612

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613

This theorem is used by:  ccatsymb  14625  ccatfv0  14626  ccatval1lsw  14627  ccatrid  14630  ccatass  14631  ccatrn  14632  ccats1val1  14669  ccat2s1p1  14672  lswccats1fst  14678  ccat2s1fvw  14681  ccatswrd  14711  ccatpfx  14743  pfxccat1  14744  swrdccatin1  14767  pfxccatin12lem3  14774  pfxccatin12  14775  splfv1  14797  splfv2a  14798  revccat  14808  cshwidxmod  14845  cats1fv  14901  ccat2s1fvwALT  14997  chnind  18681  chnub  18682  chnccat  18686  gsumsgrpccat  18903  efgsp1  19811  efgredlemd  19818  efgrelexlemb  19824  tgcgr4  28809  clwwlkccatlem  30349  clwwlkel  30406  wwlksext2clwwlk  30417  ccatf1  33278  cycpmco2lem2  33456  cycpmco2lem4  33458  cycpmco2lem5  33459  cycpmco2  33462  signstfvn  34965  signstfvp  34967  signstfvneq0  34968  lpadleft  35082