Theorem ccatval1 14722

Description: Value of a symbol in the left half of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 30-Apr-2020.) (Revised by JJ, 18-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatval1	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

Proof of Theorem ccatval1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14718	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2	1	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
3		eleq1 2848	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
4		fveq2 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐼))
5		fvoveq1 7443	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆))))
6	3, 4, 5	ifbieq12d 4510	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))))
7		iftrue 4487	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
8	7	3ad2ant3 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → if(𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝐼), (𝑇‘(𝐼 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
9	6, 8	sylan9eqr 2817	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 = 𝐼) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) = (𝑆‘𝐼))
10		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)))
11		lencl 14678	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		elfzoext 13857	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
13	10, 11, 12	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
14	13	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝐼 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
15		fvexd 6900	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝐼) ∈ V)
16	2, 9, 14, 15	fvmptd 7001	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘𝐼) = (𝑆‘𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200   + caddc 11203   − cmin 11541  ℕ₀cn0 12606  ..^cfzo 13788  ♯chash 14474  Word cword 14658   ++ cconcat 14715

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-hash 14475  df-word 14659  df-concat 14716

This theorem is used by:  ccatsymb  14728  ccatfv0  14729  ccatval1lsw  14730  ccatrid  14733  ccatass  14734  ccatrn  14735  ccatf1  14736  ccats1val1  14774  ccat2s1p1  14777  lswccats1fst  14783  ccat2s1fvw  14786  ccatswrd  14818  ccatpfx  14850  pfxccat1  14851  swrdccatin1  14874  pfxccatin12lem3  14881  pfxccatin12  14882  splfv1  14904  splfv2a  14905  revccat  14915  cshwidxmod  14954  cats1fv  15010  ccat2s1fvwALT  15108  chnind  18795  chnub  18796  chnccat  18800  gsumsgrpccat  19036  efgsp1  19951  efgredlemd  19958  efgrelexlemb  19964  tgcgr4  28994  clwwlkccatlem  30580  clwwlkel  30637  wwlksext2clwwlk  30648  cycpmco2lem2  33688  cycpmco2lem4  33690  cycpmco2lem5  33691  cycpmco2  33694  signstfvn  35198  signstfvp  35200  signstfvneq0  35201  lpadleft  35315