MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatco 14810
Description: Mapping of words commutes with concatenation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ccatco ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))

Proof of Theorem ccatco
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lenco 14807 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑆)) = (♯‘𝑆))
213adant2 1129 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑆)) = (♯‘𝑆))
3 lenco 14807 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑇)) = (♯‘𝑇))
433adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑇)) = (♯‘𝑇))
52, 4oveq12d 7432 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((♯‘(𝐹𝑆)) + (♯‘(𝐹𝑇))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
65oveq2d 7430 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^((♯‘(𝐹𝑆)) + (♯‘(𝐹𝑇)))) = (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
76mpteq1d 5237 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝐹𝑆)) + (♯‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))))))
82oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹𝑆))) = (0..^(♯‘𝑆)))
98adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (0..^(♯‘(𝐹𝑆))) = (0..^(♯‘𝑆)))
109eleq2d 2814 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
1110ifbid 4547 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆))))))
12 wrdf 14493 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
13123ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
1413adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
1514ffnd 6717 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)))
16 fvco2 6989 . . . . . . . 8 ((𝑆 Fn (0..^(♯‘𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
1715, 16sylan 579 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
18 iftrue 4530 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑆𝑥)))
2017, 19eqtr4d 2770 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝐹𝑆)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
21 wrdf 14493 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐴)
22213ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐴)
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐴)
2423ffnd 6717 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)))
25 lencl 14507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
2625nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
27263ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
28 fzospliti 13688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
2928ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
3027, 29sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) ∨ 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
3130orcanai 1001 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
32 lencl 14507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
3332nn0zd 12606 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
34333ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
36 fzosubel3 13717 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((♯‘𝑆)..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
3731, 35, 36syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
38 fvco2 6989 . . . . . . . 8 ((𝑇 Fn (0..^(♯‘𝑇)) ∧ (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
3924, 37, 38syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
402oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆))) = (𝑥 − (♯‘𝑆)))
4140fveq2d 6895 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
4241ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))) = ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))
43 iffalse 4533 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
4443adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
4539, 42, 443eqtr4d 2777 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
4620, 45ifeqda 4560 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
4711, 46eqtrd 2767 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
4847mpteq2dva 5242 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))))
497, 48eqtr2d 2768 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝐹𝑆)) + (♯‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))))))
5014ffvelcdmda 7088 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ 𝐴)
5123, 37ffvelcdmd 7089 . . . 4 ((((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ 𝐴)
5250, 51ifclda 4559 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ 𝐴)
53 ccatfval 14547 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
54533adant3 1130 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
55 simp3 1136 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
5655feqmptd 6961 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹 = (𝑦𝐴 ↦ (𝐹𝑦)))
57 fveq2 6891 . . . 4 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
58 fvif 6907 . . . 4 (𝐹‘if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
5957, 58eqtrdi 2783 . . 3 (𝑦 = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) → (𝐹𝑦) = if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
6052, 54, 56, 59fmptco 7132 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝐹‘(𝑆𝑥)), (𝐹‘(𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))))
61 ffun 6719 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
62613ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → Fun 𝐹)
63 simp1 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
64 cofunexg 7946 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑆 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑆) ∈ V)
6562, 63, 64syl2anc 583 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑆) ∈ V)
66 simp2 1135 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
67 cofunexg 7946 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑇) ∈ V)
6862, 66, 67syl2anc 583 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑇) ∈ V)
69 ccatfval 14547 . . 3 (((𝐹𝑆) ∈ V ∧ (𝐹𝑇) ∈ V) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝐹𝑆)) + (♯‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))))))
7065, 68, 69syl2anc 583 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘(𝐹𝑆)) + (♯‘(𝐹𝑇)))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑆))), ((𝐹𝑆)‘𝑥), ((𝐹𝑇)‘(𝑥 − (♯‘(𝐹𝑆)))))))
7149, 60, 703eqtr4d 2777 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (𝑆 ++ 𝑇)) = ((𝐹𝑆) ++ (𝐹𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  ifcif 4524  cmpt 5225  ccom 5676  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130   + caddc 11133  cmin 11466  cz 12580  ..^cfzo 13651  chash 14313  Word cword 14488   ++ cconcat 14544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545
This theorem is referenced by:  cats1co  14831  frmdgsum  18805  frmdup1  18807  efginvrel2  19673  frgpuplem  19718  frgpup1  19721  mrsubccat  35064
  Copyright terms: Public domain W3C validator