Theorem ccatcl 14509

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14508	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2		wrdf 14453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
3	2	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7038	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		wrdf 14453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
6	5	ad3antlr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8	7	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9		lencl 14468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11		lencl 14468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
13	10, 12	anim12i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
15		fzocatel 13657	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
16	8, 14, 15	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
17	6, 16	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	ifclda 4517	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7069	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵)
20		iswrdi 14452	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
22	1, 21	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038   + caddc 11041   − cmin 11376  ℤcz 12500  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  Word cword 14448   ++ cconcat 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-hash 14266  df-word 14449  df-concat 14506

This theorem is referenced by:  ccatdmss  14517  ccatsymb  14518  ccatass  14524  ccatalpha  14529  ccatws1cl  14552  ccatws1clv  14553  ccatswrd  14604  swrdccat2  14605  ccatpfx  14636  pfxccat1  14637  swrdccatfn  14659  swrdccatin1  14660  swrdccatin2  14664  pfxccatin12lem2c  14665  pfxccatpfx1  14671  pfxccatpfx2  14672  splcl  14687  spllen  14689  splfv1  14690  splfv2a  14691  splval2  14692  revccat  14701  cshwcl  14733  cats1cld  14790  cats1cli  14792  cats2cat  14797  chnccats1  18560  chnccat  18561  gsumsgrpccat  18777  gsumspl  18781  gsumwspan  18783  frmdplusg  18791  frmdmnd  18796  frmdsssubm  18798  frmdup1  18801  psgnuni  19440  efginvrel2  19668  efgsp1  19678  efgredleme  19684  efgredlemc  19686  efgcpbllemb  19696  efgcpbl2  19698  frgpuplem  19713  frgpup1  19716  psgnghm  21547  wwlksnext  29978  clwwlkccat  30077  clwlkclwwlk2  30090  clwwlkel  30133  wwlksext2clwwlk  30144  numclwwlk1lem2fo  30445  ccatf1  33041  splfv3  33050  gsumwrd2dccatlem  33170  cycpmco2f1  33217  cycpmco2rn  33218  cycpmco2lem2  33220  cycpmco2lem3  33221  cycpmco2lem4  33222  cycpmco2lem5  33223  cycpmco2lem6  33224  cycpmco2  33226  cyc3genpm  33245  1arithufdlem2  33637  sseqf  34569  ofcccat  34720  signstfvc  34751  signsvfn  34759  signsvtn  34761  signshf  34765  mrsubccat  35731  mrsubco  35734  frlmfzoccat  42872