MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatcl 14286
Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatcl ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem ccatcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 14285 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2 wrdf 14231 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
32ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
43ffvelrnda 6970 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ 𝐵)
5 wrdf 14231 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐵𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
65ad3antlr 728 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
7 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
87anim1i 615 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9 lencl 14245 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
109nn0zd 12433 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11 lencl 14245 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 12433 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
1310, 12anim12i 613 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
1413ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
15 fzocatel 13460 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
168, 14, 15syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
176, 16ffvelrnd 6971 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ 𝐵)
184, 17ifclda 4495 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ 𝐵)
1918fmpttd 6998 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵)
20 iswrdi 14230 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
2119, 20syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
221, 21eqeltrd 2840 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2107  ifcif 4460  cmpt 5158  wf 6433  cfv 6437  (class class class)co 7284  0cc0 10880   + caddc 10883  cmin 11214  cz 12328  ..^cfzo 13391  chash 14053  Word cword 14226   ++ cconcat 14282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-hash 14054  df-word 14227  df-concat 14283
This theorem is referenced by:  ccatsymb  14296  ccatass  14302  ccatalpha  14307  ccatws1cl  14330  ccatws1clv  14331  ccatswrd  14390  swrdccat2  14391  ccatpfx  14423  pfxccat1  14424  swrdccatfn  14446  swrdccatin1  14447  swrdccatin2  14451  pfxccatin12lem2c  14452  pfxccatpfx1  14458  pfxccatpfx2  14459  splcl  14474  spllen  14476  splfv1  14477  splfv2a  14478  splval2  14479  revccat  14488  cshwcl  14520  cats1cld  14577  cats1cli  14579  cats2cat  14584  gsumsgrpccat  18487  gsumccatOLD  18488  gsumspl  18492  gsumwspan  18494  frmdplusg  18502  frmdmnd  18507  frmdsssubm  18509  frmdup1  18512  psgnuni  19116  efginvrel2  19342  efgsp1  19352  efgredleme  19358  efgredlemc  19360  efgcpbllemb  19370  efgcpbl2  19372  frgpuplem  19387  frgpup1  19390  psgnghm  20794  wwlksnext  28267  clwwlkccat  28363  clwlkclwwlk2  28376  clwwlkel  28419  wwlksext2clwwlk  28430  numclwwlk1lem2fo  28731  ccatf1  31232  splfv3  31239  cycpmco2f1  31400  cycpmco2rn  31401  cycpmco2lem2  31403  cycpmco2lem3  31404  cycpmco2lem4  31405  cycpmco2lem5  31406  cycpmco2lem6  31407  cycpmco2  31409  cyc3genpm  31428  sseqf  32368  ofcccat  32531  signstfvc  32562  signsvfn  32570  signsvtn  32572  signshf  32576  mrsubccat  33489  mrsubco  33492  frlmfzoccat  40243
  Copyright terms: Public domain W3C validator