Theorem ccatcl 14476

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14475	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2		wrdf 14420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7012	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		wrdf 14420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
6	5	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8	7	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9		lencl 14435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11		lencl 14435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
13	10, 12	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
15		fzocatel 13624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
16	8, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
17	6, 16	ffvelcdmd 7013	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	ifclda 4506	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7043	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵)
20		iswrdi 14419	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
22	1, 21	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ifcif 4470   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001   + caddc 11004   − cmin 11339  ℤcz 12463  ..^cfzo 13549  ♯chash 14232  Word cword 14415   ++ cconcat 14472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473

This theorem is referenced by:  ccatdmss  14484  ccatsymb  14485  ccatass  14491  ccatalpha  14496  ccatws1cl  14519  ccatws1clv  14520  ccatswrd  14571  swrdccat2  14572  ccatpfx  14603  pfxccat1  14604  swrdccatfn  14626  swrdccatin1  14627  swrdccatin2  14631  pfxccatin12lem2c  14632  pfxccatpfx1  14638  pfxccatpfx2  14639  splcl  14654  spllen  14656  splfv1  14657  splfv2a  14658  splval2  14659  revccat  14668  cshwcl  14700  cats1cld  14757  cats1cli  14759  cats2cat  14764  chnccats1  18526  chnccat  18527  gsumsgrpccat  18743  gsumspl  18747  gsumwspan  18749  frmdplusg  18757  frmdmnd  18762  frmdsssubm  18764  frmdup1  18767  psgnuni  19406  efginvrel2  19634  efgsp1  19644  efgredleme  19650  efgredlemc  19652  efgcpbllemb  19662  efgcpbl2  19664  frgpuplem  19679  frgpup1  19682  psgnghm  21512  wwlksnext  29866  clwwlkccat  29962  clwlkclwwlk2  29975  clwwlkel  30018  wwlksext2clwwlk  30029  numclwwlk1lem2fo  30330  ccatf1  32922  splfv3  32931  gsumwrd2dccatlem  33038  cycpmco2f1  33085  cycpmco2rn  33086  cycpmco2lem2  33088  cycpmco2lem3  33089  cycpmco2lem4  33090  cycpmco2lem5  33091  cycpmco2lem6  33092  cycpmco2  33094  cyc3genpm  33113  1arithufdlem2  33502  sseqf  34397  ofcccat  34548  signstfvc  34579  signsvfn  34587  signsvtn  34589  signshf  34593  mrsubccat  35554  mrsubco  35557  frlmfzoccat  42538