Theorem ccatcl 14597

Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ccatcl	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem ccatcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14596	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2		wrdf 14541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐵)
4	3	ffvelcdmda 7079	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑆‘𝑥) ∈ 𝐵)
5		wrdf 14541	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
6	5	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(♯‘𝑇))⟶𝐵)
7		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))))
8	7	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))))
9		lencl 14556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
10	9	nn0zd 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑆) ∈ ℤ)
11		lencl 14556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℤ)
13	10, 12	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ))
15		fzocatel 13750	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) ∧ ((♯‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
16	8, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑥 − (♯‘𝑆)) ∈ (0..^(♯‘𝑇)))
17	6, 16	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ 𝐵)
18	4, 17	ifclda 4541	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ 𝐵)
19	18	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵)
20		iswrdi 14540	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))):(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))⟶𝐵 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
21	19, 20	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
22	1, 21	eqeltrd 2835	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ifcif 4505   ↦ cmpt 5206  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134   + caddc 11137   − cmin 11471  ℤcz 12593  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536   ++ cconcat 14593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594

This theorem is referenced by:  ccatsymb  14605  ccatass  14611  ccatalpha  14616  ccatws1cl  14639  ccatws1clv  14640  ccatswrd  14691  swrdccat2  14692  ccatpfx  14724  pfxccat1  14725  swrdccatfn  14747  swrdccatin1  14748  swrdccatin2  14752  pfxccatin12lem2c  14753  pfxccatpfx1  14759  pfxccatpfx2  14760  splcl  14775  spllen  14777  splfv1  14778  splfv2a  14779  splval2  14780  revccat  14789  cshwcl  14821  cats1cld  14879  cats1cli  14881  cats2cat  14886  gsumsgrpccat  18823  gsumspl  18827  gsumwspan  18829  frmdplusg  18837  frmdmnd  18842  frmdsssubm  18844  frmdup1  18847  psgnuni  19485  efginvrel2  19713  efgsp1  19723  efgredleme  19729  efgredlemc  19731  efgcpbllemb  19741  efgcpbl2  19743  frgpuplem  19758  frgpup1  19761  psgnghm  21545  wwlksnext  29880  clwwlkccat  29976  clwlkclwwlk2  29989  clwwlkel  30032  wwlksext2clwwlk  30043  numclwwlk1lem2fo  30344  ccatf1  32929  ccatdmss  32930  splfv3  32939  chnccats1  33000  gsumwrd2dccatlem  33065  cycpmco2f1  33140  cycpmco2rn  33141  cycpmco2lem2  33143  cycpmco2lem3  33144  cycpmco2lem4  33145  cycpmco2lem5  33146  cycpmco2lem6  33147  cycpmco2  33149  cyc3genpm  33168  1arithufdlem2  33565  sseqf  34429  ofcccat  34580  signstfvc  34611  signsvfn  34619  signsvtn  34621  signshf  34625  mrsubccat  35545  mrsubco  35548  frlmfzoccat  42503