MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofccat 14163
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5 (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
ofccat.6 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
ofccat (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13712 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆)
3 ffn 6382 . . . . . . . . . . 11 (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
6 wrdf 13712 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Word 𝑇𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
7 ffn 6382 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
109oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
1110fneq2d 6317 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺))))
128, 11mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
13 ovexd 7050 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
14 inidm 4115 . . . . . . . . . 10 ((0..^(♯‘𝐸)) ∩ (0..^(♯‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸))
154, 12, 13, 13, 14offn 7278 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)))
16 hashfn 13584 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)) → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
18 wrdfin 13728 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸 ∈ Fin)
19 hashcl 13567 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
201, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
21 hashfzo0 13639 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
2317, 22eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
2524oveq2d 7032 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
2625eleq2d 2868 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))))
274ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
2812ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
29 ovexd 7050 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
3026biimpa 477 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31 fnfvof 7281 . . . . 5 (((𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((0..^(♯‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3227, 28, 29, 30, 31syl22anc 835 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3323ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
3433oveq2d 7032 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (♯‘𝐸)))
3534fveq2d 6542 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))
36 ofccat.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
37 wrdf 13712 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
38 ffn 6382 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4039ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
41 ofccat.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
42 wrdf 13712 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word 𝑇𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇)
43 ffn 6382 . . . . . . . . 9 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
45 ofccat.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
4645oveq2d 7032 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝐻)))
4746fneq2d 6317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻))))
4844, 47mpbird 258 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4948ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
50 ovexd 7050 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
51 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
52 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))
5325adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
5452, 53neleqtrd 2904 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
5520ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℤ)
57 wrdfin 13728 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
58 hashcl 13567 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5936, 57, 583syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6059ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6160nn0zd 11934 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
62 fzocatel 12951 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((♯‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6351, 54, 56, 61, 62syl22anc 835 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
64 fnfvof 7281 . . . . . 6 (((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6540, 49, 50, 63, 64syl22anc 835 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6635, 65eqtrd 2831 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6726, 32, 66ifbieq12d2 4414 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
6867mpteq2dva 5055 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
69 ovex 7048 . . . 4 (𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V
70 ovex 7048 . . . 4 (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V
71 ccatfval 13771 . . . 4 (((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
7269, 70, 71mp2an 688 . . 3 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))))
73 ovexd 7050 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
74 inidm 4115 . . . . . . . . 9 ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
7539, 48, 73, 73, 74offn 7278 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
76 hashfn 13584 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
78 hashfzo0 13639 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
7959, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
8077, 79eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘𝐹))
8123, 80oveq12d 7034 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻))) = ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))
8281oveq2d 7032 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) = (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
8382mpteq1d 5049 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
8472, 83syl5eq 2843 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
85 ovexd 7050 . . . . 5 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∈ V)
86 fvex 6551 . . . . . . 7 (𝐸𝑖) ∈ V
87 fvex 6551 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) ∈ V
8886, 87ifex 4429 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V)
90 fvex 6551 . . . . . . 7 (𝐺𝑖) ∈ V
91 fvex 6551 . . . . . . 7 (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))) ∈ V
9290, 91ifex 4429 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V)
94 ccatfval 13771 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
951, 36, 94syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
96 ccatfval 13771 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Word 𝑇𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
975, 41, 96syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
989, 45oveq12d 7034 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻)))
9998oveq2d 7032 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) = (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))))
10099mpteq1d 5049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
10197, 100eqtr4d 2834 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
10285, 89, 93, 95, 101offval2 7284 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
1039adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
104103oveq2d 7032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
105104eleq2d 2868 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺))))
106103oveq2d 7032 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) = (𝑖 − (♯‘𝐺)))
107106fveq2d 6542 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))
108105, 107ifbieq2d 4406 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))
109108oveq2d 7032 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
110109mpteq2dva 5055 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
111102, 110eqtr4d 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
112 ovif12 7109 . . . 4 (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
113112mpteq2i 5052 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
114111, 113syl6eq 2847 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
11568, 84, 1143eqtr4rd 2842 1 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  Vcvv 3437  ifcif 4381  cmpt 5041   Fn wfn 6220  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑓 cof 7265  Fincfn 8357  0cc0 10383   + caddc 10386  cmin 10717  0cn0 11745  cz 11829  ..^cfzo 12883  chash 13540  Word cword 13707   ++ cconcat 13768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769
This theorem is referenced by:  ofs2  14165  ofcccat  31430  frlmvscadiccat  38672
  Copyright terms: Public domain W3C validator