MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofccat 13918
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5 (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
ofccat.6 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
ofccat (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13506 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆)
3 ffn 6184 . . . . . . . . . . 11 (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
6 wrdf 13506 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Word 𝑇𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
7 ffn 6184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
109oveq2d 6812 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
1110fneq2d 6121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺))))
128, 11mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
13 ovexd 6829 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
14 inidm 3971 . . . . . . . . . 10 ((0..^(♯‘𝐸)) ∩ (0..^(♯‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸))
154, 12, 13, 13, 14offn 7059 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)))
16 hashfn 13366 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)) → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
18 wrdfin 13519 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸 ∈ Fin)
19 hashcl 13349 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
201, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
21 hashfzo0 13419 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
2317, 22eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
2423adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
2524oveq2d 6812 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
2625eleq2d 2836 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))))
274ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
2812ad2antrr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
29 ovexd 6829 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
3026biimpa 462 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31 fnfvof 7062 . . . . 5 (((𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((0..^(♯‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3227, 28, 29, 30, 31syl22anc 1477 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3323ad2antrr 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
3433oveq2d 6812 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (♯‘𝐸)))
3534fveq2d 6337 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))
36 ofccat.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
37 wrdf 13506 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
38 ffn 6184 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4039ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
41 ofccat.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
42 wrdf 13506 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word 𝑇𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇)
43 ffn 6184 . . . . . . . . 9 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
45 ofccat.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
4645oveq2d 6812 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝐻)))
4746fneq2d 6121 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻))))
4844, 47mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4948ad2antrr 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
50 ovexd 6829 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
51 simplr 752 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
52 simpr 471 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))
5325adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
5452, 53neleqtrd 2871 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
5520ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 11687 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℤ)
57 wrdfin 13519 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
58 hashcl 13349 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5936, 57, 583syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6059ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6160nn0zd 11687 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
62 fzocatel 12740 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((♯‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6351, 54, 56, 61, 62syl22anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
64 fnfvof 7062 . . . . . 6 (((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6540, 49, 50, 63, 64syl22anc 1477 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6635, 65eqtrd 2805 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6726, 32, 66ifbieq12d2 4259 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
6867mpteq2dva 4879 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
69 ovex 6827 . . . 4 (𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V
70 ovex 6827 . . . 4 (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V
71 ccatfval 13555 . . . 4 (((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹𝑓 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
7269, 70, 71mp2an 672 . . 3 ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))))))
73 ovexd 6829 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
74 inidm 3971 . . . . . . . . 9 ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
7539, 48, 73, 73, 74offn 7059 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
76 hashfn 13366 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
78 hashfzo0 13419 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
7959, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
8077, 79eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘𝐹))
8123, 80oveq12d 6814 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻))) = ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))
8281oveq2d 6812 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) = (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
8382mpteq1d 4873 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
8472, 83syl5eq 2817 . 2 (𝜑 → ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸𝑓 𝑅𝐺)))))))
85 ovexd 6829 . . . . 5 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∈ V)
86 fvex 6344 . . . . . . 7 (𝐸𝑖) ∈ V
87 fvex 6344 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) ∈ V
8886, 87ifex 4296 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V)
90 fvex 6344 . . . . . . 7 (𝐺𝑖) ∈ V
91 fvex 6344 . . . . . . 7 (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))) ∈ V
9290, 91ifex 4296 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V)
94 ccatfval 13555 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
951, 36, 94syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
96 ccatfval 13555 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Word 𝑇𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
975, 41, 96syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
989, 45oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻)))
9998oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) = (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))))
10099mpteq1d 4873 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
10197, 100eqtr4d 2808 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
10285, 89, 93, 95, 101offval2 7065 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
1039adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
104103oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
105104eleq2d 2836 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺))))
106103oveq2d 6812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) = (𝑖 − (♯‘𝐺)))
107106fveq2d 6337 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))
108105, 107ifbieq2d 4251 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))
109108oveq2d 6812 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
110109mpteq2dva 4879 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
111102, 110eqtr4d 2808 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
112 ovif12 6890 . . . 4 (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
113112mpteq2i 4876 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
114111, 113syl6eq 2821 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
11568, 84, 1143eqtr4rd 2816 1 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹𝑓 𝑅𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  ifcif 4226  cmpt 4864   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑓 cof 7046  Fincfn 8113  0cc0 10142   + caddc 10145  cmin 10472  0cn0 11499  cz 11584  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497
This theorem is referenced by:  ofs2  13920  ofcccat  30960
  Copyright terms: Public domain W3C validator