Theorem ofccat 14871

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
ofccat.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
ofccat	⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofccat.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 14420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Word 𝑆 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆)
3		ffn 6646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆 → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
5		ofccat.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑇)
6		wrdf 14420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑇 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
7		ffn 6646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
9		ofccat.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
10	9	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
11	10	fneq2d 6570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺))))
12	8, 11	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
13		ovexd 7376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
14		inidm 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^(♯‘𝐸)) ∩ (0..^(♯‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸))
15	4, 12, 13, 13, 14	offn 7618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘f 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)))
16		hashfn 14277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)) → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
18		wrdfin 14434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word 𝑆 → 𝐸 ∈ Fin)
19		hashcl 14258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
20	1, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
21		hashfzo0 14332	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
23	17, 22	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
25	24	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
26	25	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))))
27	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
28	12	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
29		ovexd 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
30	26	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31		fnfvof 7622	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((0..^(♯‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))) → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)))
32	27, 28, 29, 30, 31	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)))
33	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
34	33	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (♯‘𝐸)))
35	34	fveq2d 6821	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) = ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))
36		ofccat.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
37		wrdf 14420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
38		ffn 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
40	39	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
41		ofccat.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑇)
42		wrdf 14420	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑇 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇)
43		ffn 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
45		ofccat.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
46	45	oveq2d 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝐻)))
47	46	fneq2d 6570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻))))
48	44, 47	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
50		ovexd 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
51		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
52		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))))
53	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
54	52, 53	neleqtrd 2853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
55	20	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℤ)
57		wrdfin 14434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 ∈ Fin)
58		hashcl 14258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
59	36, 57, 58	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	59	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
61	60	nn0zd 12489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
62		fzocatel 13624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((♯‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
63	51, 54, 56, 61, 62	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
64		fnfvof 7622	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
65	40, 49, 50, 63, 64	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
66	35, 65	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
67	26, 32, 66	ifbieq12d2 4505	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
68	67	mpteq2dva 5179	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
69		ovex 7374	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V
70		ovex 7374	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻) ∈ V
71		ccatfval 14475	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))))
72	69, 70, 71	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))))))
73		ovexd 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
74		inidm 4172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
75	39, 48, 73, 73, 74	offn 7618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
76		hashfn 14277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
78		hashfzo0 14332	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
79	59, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
80	77, 79	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (♯‘𝐹))
81	23, 80	oveq12d 7359	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻))) = ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))
82	81	oveq2d 7357	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) = (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
83	82	mpteq1d 5176	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))))
84	72, 83	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))))
85		ovexd 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∈ V)
86		fvex 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘𝑖) ∈ V
87		fvex 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) ∈ V
88	86, 87	ifex 4521	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V)
90		fvex 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑖) ∈ V
91		fvex 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))) ∈ V
92	90, 91	ifex 4521	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V)
94		ccatfval 14475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
95	1, 36, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
96		ccatfval 14475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
97	5, 41, 96	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
98	9, 45	oveq12d 7359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻)))
99	98	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) = (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))))
100	99	mpteq1d 5176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
101	97, 100	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
102	85, 89, 93, 95, 101	offval2 7625	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
103	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
104	103	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
105	104	eleq2d 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺))))
106	103	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) = (𝑖 − (♯‘𝐺)))
107	106	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))
108	105, 107	ifbieq2d 4497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))
109	108	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
110	109	mpteq2dva 5179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
111	102, 110	eqtr4d 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
112		ovif12 7441	. . . 4 ⊢ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
113	112	mpteq2i 5182	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
114	111, 113	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
115	68, 84, 114	3eqtr4rd 2777	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ifcif 4470   ↦ cmpt 5167   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603  Fincfn 8864  0cc0 11001   + caddc 11004   − cmin 11339  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ..^cfzo 13549  ♯chash 14232  Word cword 14415   ++ cconcat 14472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473

This theorem is referenced by:  ofs2  14873  1arithidomlem2  33493  ofcccat  34548  frlmvscadiccat  42539