MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ofccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ofccat 14780
Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ofccat.1 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5 (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
ofccat.6 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
Assertion
Ref Expression
ofccat (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸f 𝑅𝐺) ++ (𝐹f 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofccat.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 14323 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆)
3 ffn 6652 . . . . . . . . . . 11 (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
41, 2, 33syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
5 ofccat.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑇)
6 wrdf 14323 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ Word 𝑇𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
7 ffn 6652 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
9 ofccat.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
109oveq2d 7354 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
1110fneq2d 6580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺))))
128, 11mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
13 ovexd 7373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
14 inidm 4166 . . . . . . . . . 10 ((0..^(♯‘𝐸)) ∩ (0..^(♯‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸))
154, 12, 13, 13, 14offn 7609 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸f 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)))
16 hashfn 14191 . . . . . . . . 9 ((𝐸f 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)) → (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
18 wrdfin 14336 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Word 𝑆𝐸 ∈ Fin)
19 hashcl 14172 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
201, 18, 193syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
21 hashfzo0 14246 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐸) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
2220, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
2317, 22eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
2524oveq2d 7354 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
2625eleq2d 2822 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))))
274ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
2812ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
29 ovexd 7373 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
3026biimpa 477 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31 fnfvof 7613 . . . . 5 (((𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((0..^(♯‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))) → ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3227, 28, 29, 30, 31syl22anc 836 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)))
3323ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
3433oveq2d 7354 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (♯‘𝐸)))
3534fveq2d 6830 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) = ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))
36 ofccat.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑆)
37 wrdf 14323 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
38 ffn 6652 . . . . . . . 8 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4039ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
41 ofccat.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑇)
42 wrdf 14323 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word 𝑇𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇)
43 ffn 6652 . . . . . . . . 9 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
45 ofccat.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
4645oveq2d 7354 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝐻)))
4746fneq2d 6580 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻))))
4844, 47mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4948ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
50 ovexd 7373 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
51 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
52 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))))
5325adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
5452, 53neleqtrd 2858 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
5520ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
5655nn0zd 12526 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℤ)
57 wrdfin 14336 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Fin)
58 hashcl 14172 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5936, 57, 583syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6059ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
6160nn0zd 12526 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
62 fzocatel 13553 . . . . . . 7 (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((♯‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
6351, 54, 56, 61, 62syl22anc 836 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
64 fnfvof 7613 . . . . . 6 (((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6540, 49, 50, 63, 64syl22anc 836 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6635, 65eqtrd 2776 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
6726, 32, 66ifbieq12d2 4508 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
6867mpteq2dva 5193 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
69 ovex 7371 . . . 4 (𝐸f 𝑅𝐺) ∈ V
70 ovex 7371 . . . 4 (𝐹f 𝑅𝐻) ∈ V
71 ccatfval 14377 . . . 4 (((𝐸f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹f 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸f 𝑅𝐺) ++ (𝐹f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))))))
7269, 70, 71mp2an 689 . . 3 ((𝐸f 𝑅𝐺) ++ (𝐹f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))))))
73 ovexd 7373 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
74 inidm 4166 . . . . . . . . 9 ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
7539, 48, 73, 73, 74offn 7609 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
76 hashfn 14191 . . . . . . . 8 ((𝐹f 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
78 hashfzo0 14246 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
7959, 78syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
8077, 79eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)) = (♯‘𝐹))
8123, 80oveq12d 7356 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻))) = ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))
8281oveq2d 7354 . . . 4 (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)))) = (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
8382mpteq1d 5188 . . 3 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))))))
8472, 83eqtrid 2788 . 2 (𝜑 → ((𝐸f 𝑅𝐺) ++ (𝐹f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸f 𝑅𝐺))), ((𝐸f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸f 𝑅𝐺)))))))
85 ovexd 7373 . . . . 5 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∈ V)
86 fvex 6839 . . . . . . 7 (𝐸𝑖) ∈ V
87 fvex 6839 . . . . . . 7 (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) ∈ V
8886, 87ifex 4524 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V
8988a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V)
90 fvex 6839 . . . . . . 7 (𝐺𝑖) ∈ V
91 fvex 6839 . . . . . . 7 (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))) ∈ V
9290, 91ifex 4524 . . . . . 6 if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V)
94 ccatfval 14377 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Word 𝑆𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
951, 36, 94syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
96 ccatfval 14377 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Word 𝑇𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
975, 41, 96syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
989, 45oveq12d 7356 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻)))
9998oveq2d 7354 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) = (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))))
10099mpteq1d 5188 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
10197, 100eqtr4d 2779 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
10285, 89, 93, 95, 101offval2 7616 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
1039adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
104103oveq2d 7354 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
105104eleq2d 2822 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺))))
106103oveq2d 7354 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) = (𝑖 − (♯‘𝐺)))
107106fveq2d 6830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))
108105, 107ifbieq2d 4500 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))
109108oveq2d 7354 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
110109mpteq2dva 5193 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
111102, 110eqtr4d 2779 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
112 ovif12 7437 . . . 4 (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
113112mpteq2i 5198 . . 3 (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
114111, 113eqtrdi 2792 . 2 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸𝑖)𝑅(𝐺𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
11568, 84, 1143eqtr4rd 2787 1 (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸f 𝑅𝐺) ++ (𝐹f 𝑅𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  ifcif 4474  cmpt 5176   Fn wfn 6475  wf 6476  cfv 6480  (class class class)co 7338  f cof 7594  Fincfn 8805  0cc0 10973   + caddc 10976  cmin 11307  0cn0 12335  cz 12421  ..^cfzo 13484  chash 14146  Word cword 14318   ++ cconcat 14374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-of 7596  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-fin 8809  df-card 9797  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-n0 12336  df-z 12422  df-uz 12685  df-fz 13342  df-fzo 13485  df-hash 14147  df-word 14319  df-concat 14375
This theorem is referenced by:  ofs2  14782  ofcccat  32822  frlmvscadiccat  40542
  Copyright terms: Public domain W3C validator