Theorem ofccat 14935

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
ofccat.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
ofccat	⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofccat.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 14483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Word 𝑆 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆)
3		ffn 6688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆 → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
5		ofccat.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑇)
6		wrdf 14483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑇 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
7		ffn 6688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
9		ofccat.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
10	9	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
11	10	fneq2d 6612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺))))
12	8, 11	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
13		ovexd 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
14		inidm 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^(♯‘𝐸)) ∩ (0..^(♯‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸))
15	4, 12, 13, 13, 14	offn 7666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘f 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)))
16		hashfn 14340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)) → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
18		wrdfin 14497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word 𝑆 → 𝐸 ∈ Fin)
19		hashcl 14321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
20	1, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
21		hashfzo0 14395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
23	17, 22	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
25	24	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
26	25	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))))
27	4	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
28	12	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
29		ovexd 7422	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
30	26	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31		fnfvof 7670	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((0..^(♯‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))) → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)))
32	27, 28, 29, 30, 31	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)))
33	23	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
34	33	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (♯‘𝐸)))
35	34	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) = ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))
36		ofccat.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
37		wrdf 14483	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
38		ffn 6688	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
40	39	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
41		ofccat.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑇)
42		wrdf 14483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑇 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇)
43		ffn 6688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
45		ofccat.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
46	45	oveq2d 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝐻)))
47	46	fneq2d 6612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻))))
48	44, 47	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
50		ovexd 7422	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
51		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
52		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))))
53	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
54	52, 53	neleqtrd 2850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
55	20	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ0)
56	55	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℤ)
57		wrdfin 14497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 ∈ Fin)
58		hashcl 14321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
59	36, 57, 58	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
60	59	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
61	60	nn0zd 12555	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
62		fzocatel 13690	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((♯‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
63	51, 54, 56, 61, 62	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
64		fnfvof 7670	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
65	40, 49, 50, 63, 64	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
66	35, 65	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
67	26, 32, 66	ifbieq12d2 4523	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
68	67	mpteq2dva 5200	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
69		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V
70		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻) ∈ V
71		ccatfval 14538	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))))
72	69, 70, 71	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))))))
73		ovexd 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
74		inidm 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
75	39, 48, 73, 73, 74	offn 7666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
76		hashfn 14340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
78		hashfzo0 14395	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
79	59, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
80	77, 79	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (♯‘𝐹))
81	23, 80	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻))) = ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))
82	81	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) = (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
83	82	mpteq1d 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))))
84	72, 83	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘f 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘f 𝑅𝐺)))))))
85		ovexd 7422	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∈ V)
86		fvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘𝑖) ∈ V
87		fvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) ∈ V
88	86, 87	ifex 4539	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V)
90		fvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑖) ∈ V
91		fvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))) ∈ V
92	90, 91	ifex 4539	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V)
94		ccatfval 14538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
95	1, 36, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
96		ccatfval 14538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
97	5, 41, 96	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
98	9, 45	oveq12d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻)))
99	98	oveq2d 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) = (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))))
100	99	mpteq1d 5197	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
101	97, 100	eqtr4d 2767	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
102	85, 89, 93, 95, 101	offval2 7673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
103	9	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
104	103	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
105	104	eleq2d 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺))))
106	103	oveq2d 7403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) = (𝑖 − (♯‘𝐺)))
107	106	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))
108	105, 107	ifbieq2d 4515	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))
109	108	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
110	109	mpteq2dva 5200	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
111	102, 110	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
112		ovif12 7489	. . . 4 ⊢ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
113	112	mpteq2i 5203	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
114	111, 113	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
115	68, 84, 114	3eqtr4rd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘f 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸 ∘f 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘f 𝑅𝐻)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3447  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  Fincfn 8918  0cc0 11068   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  ℤcz 12529  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536

This theorem is referenced by:  ofs2  14937  1arithidomlem2  33507  ofcccat  34534  frlmvscadiccat  42494