ofccat - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ofccat		Structured version Visualization version GIF version

Theorem ofccat 14163

Description: Letterwise operations on word concatenations. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Sep-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ofccat.1	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑆)
ofccat.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
ofccat.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑇)
ofccat.4	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑇)
ofccat.5	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
ofccat.6	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))

**Assertion**
Ref	Expression
ofccat	⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘_𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)))

Proof of Theorem ofccat Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofccat.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Word 𝑆)
2		wrdf 13712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Word 𝑆 → 𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆)
3		ffn 6382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸:(0..^(♯‘𝐸))⟶𝑆 → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
5		ofccat.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑇)
6		wrdf 13712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ Word 𝑇 → 𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇)
7		ffn 6382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺:(0..^(♯‘𝐺))⟶𝑇 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺)))
9		ofccat.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
10	9	oveq2d 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
11	10	fneq2d 6317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐺))))
12	8, 11	mpbird 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
13		ovexd 7050	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
14		inidm 4115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^(♯‘𝐸)) ∩ (0..^(♯‘𝐸))) = (0..^(♯‘𝐸))
15	4, 12, 13, 13, 14	offn 7278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)))
16		hashfn 13584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) Fn (0..^(♯‘𝐸)) → (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐸))))
18		wrdfin 13728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Word 𝑆 → 𝐸 ∈ Fin)
19		hashcl 13567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ∈ ℕ₀)
20	1, 18, 19	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐸) ∈ ℕ₀)
21		hashfzo0 13639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐸) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐸))) = (♯‘𝐸))
23	17, 22	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
24	23	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
25	24	oveq2d 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
26	25	eleq2d 2868	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))))
27	4	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
28	12	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸)))
29		ovexd 7050	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐸)) ∈ V)
30	26	biimpa 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
31		fnfvof 7281	. . . . 5 ⊢ (((𝐸 Fn (0..^(♯‘𝐸)) ∧ 𝐺 Fn (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((0..^(♯‘𝐸)) ∈ V ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))) → ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)))
32	27, 28, 29, 30, 31	syl22anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖) = ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)))
33	23	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) = (♯‘𝐸))
34	33	oveq2d 7032	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))) = (𝑖 − (♯‘𝐸)))
35	34	fveq2d 6542	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))
36		ofccat.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
37		wrdf 13712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
38		ffn 6382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
39	36, 37, 38	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
40	39	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
41		ofccat.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑇)
42		wrdf 13712	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑇 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇)
43		ffn 6382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑇 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
45		ofccat.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐻))
46	45	oveq2d 7032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝐻)))
47	46	fneq2d 6317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐻))))
48	44, 47	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
49	48	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
50		ovexd 7050	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
51		simplr 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
52		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))))
53	25	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))) = (0..^(♯‘𝐸)))
54	52, 53	neleqtrd 2904	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)))
55	20	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℕ₀)
56	55	nn0zd 11934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐸) ∈ ℤ)
57		wrdfin 13728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 ∈ Fin)
58		hashcl 13567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
59	36, 57, 58	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
60	59	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
61	60	nn0zd 11934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
62		fzocatel 12951	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸))) ∧ ((♯‘𝐸) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ)) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
63	51, 54, 56, 61, 62	syl22anc 835	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
64		fnfvof 7281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝐻 Fn (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ((0..^(♯‘𝐹)) ∈ V ∧ (𝑖 − (♯‘𝐸)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
65	40, 49, 50, 63, 64	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
66	35, 65	eqtrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) ∧ ¬ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) → ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))) = ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
67	26, 32, 66	ifbieq12d2 4414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
68	67	mpteq2dva 5055	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
69		ovex 7048	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ∈ V
70		ovex 7048	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻) ∈ V
71		ccatfval 13771	. . . 4 ⊢ (((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ∈ V ∧ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻) ∈ V) → ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))))))
72	69, 70, 71	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))))))
73		ovexd 7050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
74		inidm 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0..^(♯‘𝐹)) ∩ (0..^(♯‘𝐹))) = (0..^(♯‘𝐹))
75	39, 48, 73, 73, 74	offn 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
76		hashfn 13584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘(0..^(♯‘𝐹))))
78		hashfzo0 13639	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
79	59, 78	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐹))) = (♯‘𝐹))
80	77, 79	eqtrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)) = (♯‘𝐹))
81	23, 80	oveq12d 7034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻))) = ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))
82	81	oveq2d 7032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)))) = (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))))
83	82	mpteq1d 5049	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)) + (♯‘(𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))))))
84	72, 83	syl5eq 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺))), ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)‘𝑖), ((𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)‘(𝑖 − (♯‘(𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺)))))))
85		ovexd 7050	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ∈ V)
86		fvex 6551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘𝑖) ∈ V
87		fvex 6551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) ∈ V
88	86, 87	ifex 4429	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V
89	88	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) ∈ V)
90		fvex 6551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺‘𝑖) ∈ V
91		fvex 6551	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))) ∈ V
92	90, 91	ifex 4429	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))) ∈ V)
94		ccatfval 13771	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ Word 𝑆) → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
95	1, 36, 94	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ++ 𝐹) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
96		ccatfval 13771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Word 𝑇 ∧ 𝐻 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
97	5, 41, 96	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
98	9, 45	oveq12d 7034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻)))
99	98	oveq2d 7032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) = (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))))
100	99	mpteq1d 5049	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐺) + (♯‘𝐻))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
101	97, 100	eqtr4d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ++ 𝐻) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
102	85, 89, 93, 95, 101	offval2 7284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘_𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
103	9	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐸) = (♯‘𝐺))
104	103	oveq2d 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (0..^(♯‘𝐸)) = (0..^(♯‘𝐺)))
105	104	eleq2d 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺))))
106	103	oveq2d 7032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝑖 − (♯‘𝐸)) = (𝑖 − (♯‘𝐺)))
107	106	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))) = (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))
108	105, 107	ifbieq2d 4406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))
109	108	oveq2d 7032	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹)))) → (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺))))))
110	109	mpteq2dva 5055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐺)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐺)))))))
111	102, 110	eqtr4d 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘_𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
112		ovif12 7109	. . . 4 ⊢ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))) = if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))
113	112	mpteq2i 5052	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ (if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐸‘𝑖), (𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))𝑅if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), (𝐺‘𝑖), (𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸))))))
114	111, 113	syl6eq 2847	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘_𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = (𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐸) + (♯‘𝐹))) ↦ if(𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐸)), ((𝐸‘𝑖)𝑅(𝐺‘𝑖)), ((𝐹‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))𝑅(𝐻‘(𝑖 − (♯‘𝐸)))))))
115	68, 84, 114	3eqtr4rd 2842	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 ++ 𝐹) ∘_𝑓 𝑅(𝐺 ++ 𝐻)) = ((𝐸 ∘_𝑓 𝑅𝐺) ++ (𝐹 ∘_𝑓 𝑅𝐻)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 = wceq 1522 ∈ wcel 2081 Vcvv 3437 ifcif 4381 ↦ cmpt 5041 Fn wfn 6220 ⟶wf 6221 ‘cfv 6225 (class class class)co 7016 ∘_𝑓 cof 7265 Fincfn 8357 0cc0 10383 + caddc 10386 − cmin 10717 ℕ₀cn0 11745 ℤcz 11829 ..^cfzo 12883 ♯chash 13540 Word cword 13707 ++ cconcat 13768

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1777 ax-4 1791 ax-5 1888 ax-6 1947 ax-7 1992 ax-8 2083 ax-9 2091 ax-10 2112 ax-11 2126 ax-12 2141 ax-13 2344 ax-ext 2769 ax-rep 5081 ax-sep 5094 ax-nul 5101 ax-pow 5157 ax-pr 5221 ax-un 7319 ax-cnex 10439 ax-resscn 10440 ax-1cn 10441 ax-icn 10442 ax-addcl 10443 ax-addrcl 10444 ax-mulcl 10445 ax-mulrcl 10446 ax-mulcom 10447 ax-addass 10448 ax-mulass 10449 ax-distr 10450 ax-i2m1 10451 ax-1ne0 10452 ax-1rid 10453 ax-rnegex 10454 ax-rrecex 10455 ax-cnre 10456 ax-pre-lttri 10457 ax-pre-lttrn 10458 ax-pre-ltadd 10459 ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 843 df-3or 1081 df-3an 1082 df-tru 1525 df-ex 1762 df-nf 1766 df-sb 2043 df-mo 2576 df-eu 2612 df-clab 2776 df-cleq 2788 df-clel 2863 df-nfc 2935 df-ne 2985 df-nel 3091 df-ral 3110 df-rex 3111 df-reu 3112 df-rab 3114 df-v 3439 df-sbc 3707 df-csb 3812 df-dif 3862 df-un 3864 df-in 3866 df-ss 3874 df-pss 3876 df-nul 4212 df-if 4382 df-pw 4455 df-sn 4473 df-pr 4475 df-tp 4477 df-op 4479 df-uni 4746 df-int 4783 df-iun 4827 df-br 4963 df-opab 5025 df-mpt 5042 df-tr 5064 df-id 5348 df-eprel 5353 df-po 5362 df-so 5363 df-fr 5402 df-we 5404 df-xp 5449 df-rel 5450 df-cnv 5451 df-co 5452 df-dm 5453 df-rn 5454 df-res 5455 df-ima 5456 df-pred 6023 df-ord 6069 df-on 6070 df-lim 6071 df-suc 6072 df-iota 6189 df-fun 6227 df-fn 6228 df-f 6229 df-f1 6230 df-fo 6231 df-f1o 6232 df-fv 6233 df-riota 6977 df-ov 7019 df-oprab 7020 df-mpo 7021 df-of 7267 df-om 7437 df-1st 7545 df-2nd 7546 df-wrecs 7798 df-recs 7860 df-rdg 7898 df-1o 7953 df-oadd 7957 df-er 8139 df-en 8358 df-dom 8359 df-sdom 8360 df-fin 8361 df-card 9214 df-pnf 10523 df-mnf 10524 df-xr 10525 df-ltxr 10526 df-le 10527 df-sub 10719 df-neg 10720 df-nn 11487 df-n0 11746 df-z 11830 df-uz 12094 df-fz 12743 df-fzo 12884 df-hash 13541 df-word 13708 df-concat 13769

This theorem is referenced by: ofs2 14165 ofcccat 31430 frlmvscadiccat 38672

W3C validator