Theorem ccatlen 14528

Description: The length of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by JJ, 1-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ccatlen	⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))

Proof of Theorem ccatlen

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatfval 14526	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
2	1	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))))
3		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝑥) ∈ V
4		fvex 6847	. . . . 5 ⊢ (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ V
5	3, 4	ifex 4518	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ V
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
7	5, 6	fnmpti 6635	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
8		hashfn 14328	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))) = (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
9	7, 8	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆‘𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))) = (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
10		lencl 14486	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
11		lencl 14486	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12		nn0addcl 12463	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
13	10, 11, 12	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
14		hashfzo0 14383	. . 3 ⊢ (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
15	13, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
16	2, 9, 15	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   ↦ cmpt 5167   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466   ++ cconcat 14523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524

This theorem is referenced by:  ccat0  14529  elfzelfzccat  14533  ccatdmss  14535  ccatsymb  14536  ccatass  14542  lswccatn0lsw  14545  ccatws1len  14574  ccat2s1len  14577  ccatswrd  14622  swrdccat2  14623  ccatpfx  14654  pfxccat1  14655  lenrevpfxcctswrd  14665  ccatopth  14669  ccatopth2  14670  swrdccatfn  14677  swrdccatin2  14682  pfxccatin12lem2c  14683  spllen  14707  splfv1  14708  splfv2a  14709  splval2  14710  revccat  14719  cshwlen  14752  cats1len  14813  chnccat  18583  gsumsgrpccat  18799  psgnuni  19465  efginvrel2  19693  efgsval2  19699  efgsp1  19703  efgredleme  19709  efgredlemc  19711  efgcpbllemb  19721  pgpfaclem1  20049  psgnghm  21570  wwlksnext  29976  wwlksnextbi  29977  clwwlkccatlem  30074  clwlkclwwlk2  30088  clwwlkel  30131  clwwlkwwlksb  30139  clwwlknccat  30148  ccatf1  33024  splfv3  33033  gsumwrd2dccatlem  33153  cycpmco2lem3  33204  cycpmco2lem4  33205  cycpmco2lem5  33206  cycpmco2lem6  33207  cycpmco2  33209  ofcccat  34703  signstfvn  34729  signstfvp  34731  signstfvc  34734  signsvfn  34742  signshf  34748  lpadlen2  34841  elmrsubrn  35718  ccatcan2d  42704  frlmfzoccat  42964