MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatlen 13920
Description: The length of a concatenated word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by JJ, 1-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
ccatlen ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))

Proof of Theorem ccatlen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 13918 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))))
21fveq2d 6670 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))))
3 fvex 6679 . . . . 5 (𝑆𝑥) ∈ V
4 fvex 6679 . . . . 5 (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))) ∈ V
53, 4ifex 4517 . . . 4 if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))) ∈ V
6 eqid 2824 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))
75, 6fnmpti 6487 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
8 hashfn 13729 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆))))) Fn (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))) = (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
97, 8mp1i 13 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (♯‘𝑆)))))) = (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))))
10 lencl 13876 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
11 lencl 13876 . . . 4 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (♯‘𝑇) ∈ ℕ0)
12 nn0addcl 11924 . . . 4 (((♯‘𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑇) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
1310, 11, 12syl2an 595 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0)
14 hashfzo0 13784 . . 3 (((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
1513, 14syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(0..^((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
162, 9, 153eqtrd 2864 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐵) → (♯‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((♯‘𝑆) + (♯‘𝑇)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2106  ifcif 4469  cmpt 5142   Fn wfn 6346  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529   + caddc 10532  cmin 10862  0cn0 11889  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854   ++ cconcat 13915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855  df-concat 13916
This theorem is referenced by:  ccat0  13922  elfzelfzccat  13927  ccatsymb  13929  ccatass  13935  lswccatn0lsw  13938  ccatws1len  13967  ccat2s1len  13970  ccatswrd  14023  swrdccat2  14024  ccatpfx  14056  pfxccat1  14057  lenrevpfxcctswrd  14067  ccatopth  14071  ccatopth2  14072  swrdccatfn  14079  swrdccatin2  14084  pfxccatin12lem2c  14085  spllen  14109  splfv1  14110  splfv2a  14111  splval2  14112  revccat  14121  cshwlen  14154  cats1len  14215  gsumsgrpccat  17989  gsumccatOLD  17990  psgnuni  18549  efginvrel2  18775  efgsval2  18781  efgsp1  18785  efgredleme  18791  efgredlemc  18793  efgcpbllemb  18803  pgpfaclem1  19125  psgnghm  20640  wwlksnext  27586  wwlksnextbi  27587  clwwlkccatlem  27682  clwlkclwwlk2  27696  clwwlkel  27740  clwwlkwwlksb  27748  clwwlknccat  27757  ccatf1  30540  splfv3  30547  cycpmco2lem3  30685  cycpmco2lem4  30686  cycpmco2lem5  30687  cycpmco2lem6  30688  cycpmco2  30690  ofcccat  31700  signstfvn  31726  signstfvp  31728  signstfvc  31731  signsvfn  31739  signshf  31745  lpadlen2  31839  elmrsubrn  32652  ccatcan2d  38993  frlmfzoccat  39008
  Copyright terms: Public domain W3C validator