MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatalpha Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatalpha 14601
Description: A concatenation of two arbitrary words is a word over an alphabet iff the symbols of both words belong to the alphabet. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
ccatalpha ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))

Proof of Theorem ccatalpha
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 14581 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (𝐴 ++ 𝐵) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))))
21eleq1d 2811 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ∈ Word 𝑆))
3 wrdf 14527 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ∈ Word 𝑆 → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))))⟶𝑆)
4 funmpt 6597 . . . . . . . . 9 Fun (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))
5 fzofi 13994 . . . . . . . . . . 11 (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∈ Fin
6 mptfi 9395 . . . . . . . . . . 11 ((0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ∈ Fin → (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ∈ Fin)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ∈ Fin
8 hashfun 14454 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ∈ Fin → (Fun (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ↔ (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))))))
97, 8mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (Fun (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ↔ (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))))))
104, 9mpbii 232 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))))
11 dmmptg 6253 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) = (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
12 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑥) ∈ V
13 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))) ∈ V
1412, 13ifex 4583 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ V)
1611, 15mprg 3057 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) = (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
1716fveq2i 6904 . . . . . . . . 9 (♯‘dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
18 lencl 14541 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Word V → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
19 lencl 14541 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Word V → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
20 nn0addcl 12559 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
2118, 19, 20syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
22 hashfzo0 14447 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘(0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2417, 23eqtrid 2778 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘dom (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2510, 24eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
2625oveq2d 7440 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))))) = (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
2726feq2d 6714 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))))⟶𝑆 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))):(0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))⟶𝑆))
28 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) = (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))
2928fmpt 7124 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))):(0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))⟶𝑆)
30 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → 𝐴 ∈ Word V)
31 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
32 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
33 addcom 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)))
3431, 32, 33syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)))
35 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
3635anim1ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ))
37 nn0pzuz 12941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐴)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐴)))
3934, 38eqeltrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐴)))
4018, 19, 39syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐴)))
41 fzoss2 13714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(♯‘𝐴)) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (0..^(♯‘𝐴)) ⊆ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
4342sselda 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → 𝑦 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
44 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
45 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑦))
46 fvoveq1 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴))))
4744, 45, 46ifbieq12d 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) = if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))))
4847eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
4948rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
5043, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
51 iftrue 4539 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))) = (𝐴𝑦))
5251adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))) = (𝐴𝑦))
5352eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (if(𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑦), (𝐵‘(𝑦 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴𝑦) ∈ 𝑆))
5450, 53sylibd 238 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐴𝑦) ∈ 𝑆))
5554impancom 450 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) → (𝐴𝑦) ∈ 𝑆))
5655ralrimiv 3135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑦) ∈ 𝑆)
57 iswrdsymb 14539 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐴))(𝐴𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
5830, 56, 57syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ Word 𝑆)
59 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → 𝐵 ∈ Word V)
60 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)))
6118adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
63 elincfzoext 13744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0) → (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴))))
6460, 62, 63syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴))))
6518nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Word V → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
6619nn0cnd 12586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Word V → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
6765, 66, 33syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)))
6867oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) = (0..^((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴))))
6968eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)))))
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↔ (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) + (♯‘𝐴)))))
7164, 70mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
72 eleq1 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (♯‘𝐴)) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
73 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (♯‘𝐴)) → (𝐴𝑥) = (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))))
74 fvoveq1 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦 + (♯‘𝐴)) → (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴))))
7572, 73, 74ifbieq12d 4561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑦 + (♯‘𝐴)) → if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) = if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))))
7675eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦 + (♯‘𝐴)) → (if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
7776rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
7871, 77syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆))
7918nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Word V → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
8079adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
8180adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
82 elfzoelz 13686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℤ)
8382zred 12718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8483adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V)) → 𝑦 ∈ ℝ)
8580adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V)) → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
8684, 85readdcld 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V)) → (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
8786ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ ℝ)
88 elfzole1 13694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 0 ≤ 𝑦)
8988adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → 0 ≤ 𝑦)
90 addge02 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (♯‘𝐴) ≤ (𝑦 + (♯‘𝐴))))
9180, 83, 90syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (0 ≤ 𝑦 ↔ (♯‘𝐴) ≤ (𝑦 + (♯‘𝐴))))
9289, 91mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (♯‘𝐴) ≤ (𝑦 + (♯‘𝐴)))
9381, 87, 92lensymd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ¬ (𝑦 + (♯‘𝐴)) < (♯‘𝐴))
9493intn3an3d 1478 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ¬ ((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + (♯‘𝐴)) < (♯‘𝐴)))
95 elfzo0 13727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑦 + (♯‘𝐴)) < (♯‘𝐴)))
9694, 95sylnibr 328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ¬ (𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
9796iffalsed 4544 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))) = (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴))))
9897eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴))) ∈ 𝑆))
9982zcnd 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ)
10065adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
101 pncan 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℂ) → ((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)) = 𝑦)
10299, 100, 101syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)) = 𝑦)
103102fveq2d 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴))) = (𝐵𝑦))
104103eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ((𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴))) ∈ 𝑆 ↔ (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
105104biimpd 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → ((𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴))) ∈ 𝑆 → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
10698, 105sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (if((𝑦 + (♯‘𝐴)) ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴‘(𝑦 + (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑦 + (♯‘𝐴)) − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
10778, 106syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
108107impancom 450 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵)) → (𝐵𝑦) ∈ 𝑆))
109108ralrimiv 3135 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑦) ∈ 𝑆)
110 iswrdsymb 14539 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word V ∧ ∀𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐵))(𝐵𝑦) ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
11159, 109, 110syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ Word 𝑆)
11258, 111jca 510 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) ∧ ∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆) → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆))
113112ex 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → (∀𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))) ∈ 𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
11429, 113biimtrrid 242 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))):(0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))⟶𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
11527, 114sylbid 239 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))):(0..^(♯‘(𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴)))))))⟶𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
1163, 115syl5 34 . . 3 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝑥 ∈ (0..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝐴)), (𝐴𝑥), (𝐵‘(𝑥 − (♯‘𝐴))))) ∈ Word 𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
1172, 116sylbid 239 . 2 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 → (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
118 ccatcl 14582 . 2 ((𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆)
119117, 118impbid1 224 1 ((𝐴 ∈ Word V ∧ 𝐵 ∈ Word V) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ Word 𝑆𝐵 ∈ Word 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462  wss 3947  ifcif 4533   class class class wbr 5153  cmpt 5236  dom cdm 5682  Fun wfun 6548  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158   + caddc 11161   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  cn 12264  0cn0 12524  cz 12610  cuz 12874  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522   ++ cconcat 14578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579
This theorem is referenced by:  ccatrcl1  14602  ccats1alpha  14627  clwwlkwwlksb  29987
  Copyright terms: Public domain W3C validator