Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemedb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemedb 38806
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. 𝐷 represents s2. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemeda.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemeda.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemeda.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemeda.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemeda.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemeda.d 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
cdlemedb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlemedb (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)

Proof of Theorem cdlemedb
StepHypRef Expression
1 cdlemeda.d . 2 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
2 hllat 37871 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 725 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpll 766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
5 simprl 770 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
6 simprr 772 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
7 cdlemedb.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdlemeda.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
9 cdlemeda.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
107, 8, 9hlatjcl 37875 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡)
114, 5, 6, 10syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡)
12 cdlemeda.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
137, 12lhpbase 38507 . . . 4 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
1413ad2antlr 726 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
15 cdlemeda.m . . . 4 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
167, 15latmcl 18334 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
173, 11, 14, 16syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
181, 17eqeltrid 2838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐷 ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858  LHypclh 38493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-lat 18326  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-lhyp 38497
This theorem is referenced by:  cdleme20k  38828  cdleme20l2  38830  cdleme20l  38831  cdleme20m  38832
  Copyright terms: Public domain W3C validator