Theorem cdlemedb 40960

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. 𝐷 represents s₂. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemeda.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemeda.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemeda.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemeda.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemeda.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemeda.d	⊢ 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
cdlemedb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemedb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdlemedb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemeda.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
2		hllat 40026	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
5		simprl 782	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
6		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
7		cdlemedb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemeda.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		cdlemeda.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9	hlatjcl 40030	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
12		cdlemeda.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13	7, 12	lhpbase 40661	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antlr 739	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15		cdlemeda.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	7, 15	latmcl 18495	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	3, 11, 14, 16	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	1, 17	eqeltrid 2873	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  lecple 17316  joincjn 18366  meetcmee 18367  Latclat 18486  Atomscatm 39926  HLchlt 40013  LHypclh 40647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-lat 18487  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-lhyp 40651

This theorem is referenced by:  cdleme20k  40982  cdleme20l2  40984  cdleme20l  40985  cdleme20m  40986