Theorem cdlemedb 40921

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. 𝐷 represents s₂. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemeda.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemeda.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemeda.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemeda.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemeda.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemeda.d	⊢ 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
cdlemedb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlemedb	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem cdlemedb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemeda.d	. 2 ⊢ 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊)
2		hllat 39987	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
5		simprl 780	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
6		simprr 782	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
7		cdlemedb.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		cdlemeda.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
9		cdlemeda.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10	7, 8, 9	hlatjcl 39991	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵)
12		cdlemeda.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13	7, 12	lhpbase 40622	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antlr 737	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
15		cdlemeda.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
16	7, 15	latmcl 18472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
17	3, 11, 14, 16	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	1, 17	eqeltrid 2866	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐷 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  lecple 17293  joincjn 18343  meetcmee 18344  Latclat 18463  Atomscatm 39887  HLchlt 39974  LHypclh 40608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-lub 18376  df-glb 18377  df-join 18378  df-meet 18379  df-lat 18464  df-ats 39891  df-atl 39922  df-cvlat 39946  df-hlat 39975  df-lhyp 40612

This theorem is referenced by:  cdleme20k  40943  cdleme20l2  40945  cdleme20l  40946  cdleme20m  40947