Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemedb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemedb 37319
 Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. 𝐷 represents s2. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemeda.l = (le‘𝐾)
cdlemeda.j = (join‘𝐾)
cdlemeda.m = (meet‘𝐾)
cdlemeda.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemeda.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemeda.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
cdlemedb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemedb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐷𝐵)

Proof of Theorem cdlemedb
StepHypRef Expression
1 cdlemeda.d . 2 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
2 hllat 36385 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 722 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpll 763 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
5 simprl 767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
6 simprr 769 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
7 cdlemedb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemeda.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdlemeda.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 36389 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
114, 5, 6, 10syl3anc 1365 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
12 cdlemeda.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
137, 12lhpbase 37020 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1413ad2antlr 723 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑊𝐵)
15 cdlemeda.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
167, 15latmcl 17657 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
173, 11, 14, 16syl3anc 1365 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
181, 17eqeltrid 2922 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐷𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150  Basecbs 16478  lecple 16567  joincjn 17549  meetcmee 17550  Latclat 17650  Atomscatm 36285  HLchlt 36372  LHypclh 37006 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-lat 17651  df-ats 36289  df-atl 36320  df-cvlat 36344  df-hlat 36373  df-lhyp 37010 This theorem is referenced by:  cdleme20k  37341  cdleme20l2  37343  cdleme20l  37344  cdleme20m  37345
 Copyright terms: Public domain W3C validator