Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemedb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemedb 36072
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma. 𝐷 represents s2. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemeda.l = (le‘𝐾)
cdlemeda.j = (join‘𝐾)
cdlemeda.m = (meet‘𝐾)
cdlemeda.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemeda.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemeda.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
cdlemedb.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cdlemedb (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐷𝐵)

Proof of Theorem cdlemedb
StepHypRef Expression
1 cdlemeda.d . 2 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
2 hllat 35137 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32ad2antrr 708 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpll 774 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
5 simprl 778 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
6 simprr 780 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
7 cdlemedb.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 cdlemeda.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
9 cdlemeda.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9hlatjcl 35141 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
114, 5, 6, 10syl3anc 1483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵)
12 cdlemeda.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
137, 12lhpbase 35772 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊𝐵)
1413ad2antlr 709 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑊𝐵)
15 cdlemeda.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
167, 15latmcl 17251 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ 𝐵𝑊𝐵) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
173, 11, 14, 16syl3anc 1483 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑅 𝑆) 𝑊) ∈ 𝐵)
181, 17syl5eqel 2885 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐷𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2155  cfv 6095  (class class class)co 6868  Basecbs 16062  lecple 16154  joincjn 17143  meetcmee 17144  Latclat 17244  Atomscatm 35037  HLchlt 35124  LHypclh 35758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-op 4371  df-uni 4624  df-iun 4707  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-id 5213  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-lat 17245  df-ats 35041  df-atl 35072  df-cvlat 35096  df-hlat 35125  df-lhyp 35762
This theorem is referenced by:  cdleme20k  36094  cdleme20l2  36096  cdleme20l  36097  cdleme20m  36098
  Copyright terms: Public domain W3C validator