Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdlemeda.d |
. 2
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
2 | | simp1l 1198 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | | simp31 1210 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
4 | | simp2l 1200 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | cdlemeda.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
6 | | cdlemeda.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 5, 6 | hlatjcom 37859 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
8 | 2, 3, 4, 7 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
9 | 8 | oveq1d 7377 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π
) β§ π)) |
10 | | simp1r 1199 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π») |
11 | | simp2r 1201 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ π) |
12 | | simp32 1211 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
13 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
14 | | cdlemeda.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
15 | | cdlemeda.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
16 | 14, 5, 6, 15 | cdlemesner 38788 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π
) |
17 | 2, 3, 4, 12, 13, 16 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π β π
) |
18 | | cdlemeda.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
19 | 14, 5, 18, 6, 15 | lhpat 38535 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π β π
)) β ((π β¨ π
) β§ π) β π΄) |
20 | 2, 10, 4, 11, 3, 17, 19 | syl222anc 1387 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) β π΄) |
21 | 9, 20 | eqeltrd 2838 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) β π΄) |
22 | 1, 21 | eqeltrid 2842 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β π· β π΄) |