Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme19.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
2 | | cdleme19.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
3 | | cdleme19.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
4 | | cdleme19.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
5 | | cdleme19.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
6 | | cdleme19.u |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
7 | | cdleme19.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
8 | | cdleme19.g |
. . . 4
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
9 | | cdleme19.d |
. . . 4
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
10 | | cdleme19.y |
. . . 4
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
11 | | cdleme20.v |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
12 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdleme20i 39183 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) β€ (π β¨ π)) |
13 | | simp11l 1284 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
14 | | simp11 1203 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
15 | | simp12 1204 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
16 | | simp13 1205 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
17 | | simp21l 1290 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π
β π΄) |
18 | | simp22l 1292 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
19 | | simp22r 1293 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ π) |
20 | | simp31l 1296 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π) |
21 | | simp321 1323 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
22 | | simp323 1325 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π
β€ (π β¨ π)) |
23 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdleme20l1 39186 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ π·) β (LLinesβπΎ)) |
24 | 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23 | syl333anc 1402 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β¨ π·) β (LLinesβπΎ)) |
25 | | simp23l 1294 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
26 | | simp23r 1295 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ π) |
27 | | simp322 1324 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
28 | | eqid 2732 |
. . . . . 6
β’ ((π β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π) |
29 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 7, 10, 9,
28 | cdleme20l1 39186 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΊ β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
30 | 14, 15, 16, 17, 25, 26, 20, 27, 22, 29 | syl333anc 1402 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΊ β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
31 | | simp12l 1286 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
32 | | simp13l 1288 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π΄) |
33 | | eqid 2732 |
. . . . . 6
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
34 | 2, 4, 33 | llni2 38378 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
35 | 13, 31, 32, 20, 34 | syl31anc 1373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
36 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdleme20l2 39187 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) β π΄) |
37 | | simp22 1207 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
38 | | simp21 1206 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
39 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11 | cdleme20k 39185 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ π·) β (π β¨ π)) |
40 | 14, 31, 32, 37, 38, 21, 22, 39 | syl322anc 1398 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β¨ π·) β (π β¨ π)) |
41 | 1, 2, 3, 4, 33 | llnexchb2 38735 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ ((πΉ β¨ π·) β (LLinesβπΎ) β§ (πΊ β¨ π) β (LLinesβπΎ) β§ (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) β§ (((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) β π΄ β§ (πΉ β¨ π·) β (π β¨ π))) β (((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) β€ (π β¨ π) β ((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) = ((πΉ β¨ π·) β§ (π β¨ π)))) |
42 | 13, 24, 30, 35, 36, 40, 41 | syl132anc 1388 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) β€ (π β¨ π) β ((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) = ((πΉ β¨ π·) β§ (π β¨ π)))) |
43 | 12, 42 | mpbid 231 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) = ((πΉ β¨ π·) β§ (π β¨ π))) |
44 | 13 | hllatd 38229 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β πΎ β Lat) |
45 | | eqid 2732 |
. . . . 5
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
46 | 45, 2, 4 | hlatjcl 38232 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
47 | 13, 31, 32, 46 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
48 | | simp11r 1285 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π β π») |
49 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 45 | cdleme1b 39092 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
50 | 13, 48, 31, 32, 18, 49 | syl23anc 1377 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
51 | 1, 2, 3, 4, 5, 9, 45 | cdlemedb 39163 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ π β π΄)) β π· β (BaseβπΎ)) |
52 | 13, 48, 17, 18, 51 | syl22anc 837 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β π· β (BaseβπΎ)) |
53 | 45, 2 | latjcl 18391 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ π· β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ π·) β (BaseβπΎ)) |
54 | 44, 50, 52, 53 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β (πΉ β¨ π·) β (BaseβπΎ)) |
55 | 45, 3 | latmcom 18415 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (πΉ β¨ π·) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) = ((πΉ β¨ π·) β§ (π β¨ π))) |
56 | 44, 47, 54, 55 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·)) = ((πΉ β¨ π·) β§ (π β¨ π))) |
57 | 43, 56 | eqtr4d 2775 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π)) β§ (Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)))) β ((πΉ β¨ π·) β§ (πΊ β¨ π)) = ((π β¨ π) β§ (πΉ β¨ π·))) |