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Theorem cdleme20l2 36902
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, penultimate line. 𝐷, 𝐹, 𝑌, 𝐺 represent s2, f(s), t2, f(t) respectively. (Contributed by NM, 20-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l = (le‘𝐾)
cdleme19.j = (join‘𝐾)
cdleme19.m = (meet‘𝐾)
cdleme19.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme19.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme19.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme19.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme19.g 𝐺 = ((𝑇 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑇) 𝑊)))
cdleme19.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
cdleme19.y 𝑌 = ((𝑅 𝑇) 𝑊)
cdleme20.v 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme20l2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem cdleme20l2
StepHypRef Expression
1 simp11l 1264 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 35945 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp11r 1265 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑊𝐻)
4 simp12l 1266 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑃𝐴)
5 simp13l 1268 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑄𝐴)
6 simp22l 1272 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑆𝐴)
7 cdleme19.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
8 cdleme19.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
9 cdleme19.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
10 cdleme19.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11 cdleme19.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12 cdleme19.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
13 cdleme19.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
14 eqid 2772 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdleme1b 36807 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
161, 3, 4, 5, 6, 15syl23anc 1357 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
17 simp21l 1270 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑅𝐴)
18 cdleme19.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
197, 8, 9, 10, 11, 18, 14cdlemedb 36878 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐷 ∈ (Base‘𝐾))
201, 3, 17, 6, 19syl22anc 826 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐷 ∈ (Base‘𝐾))
21 simp23l 1274 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑇𝐴)
22 cdleme19.g . . . . . 6 𝐺 = ((𝑇 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑇) 𝑊)))
237, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 14cdleme1b 36807 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴)) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
241, 3, 4, 5, 21, 23syl23anc 1357 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
25 cdleme19.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑅 𝑇) 𝑊)
267, 8, 9, 10, 11, 25, 14cdlemedb 36878 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑅𝐴𝑇𝐴)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
271, 3, 17, 21, 26syl22anc 826 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
2814, 8latj4 17563 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐷 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐺 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) = ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)))
292, 16, 20, 24, 27, 28syl122anc 1359 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) = ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)))
30 simp1 1116 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
31 simp22 1187 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
32 simp23 1188 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊))
33 simp21 1186 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
34 simp31 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑃𝑄𝑆𝑇))
35 simp321 1303 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
36 simp322 1304 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
3735, 36jca 504 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)))
38 simp323 1305 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
39 cdleme20.v . . . . . . 7 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊)
407, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 18, 25, 39cdleme20d 36893 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) = 𝑉)
4130, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 40syl133anc 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) = 𝑉)
42 simp22r 1273 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ¬ 𝑆 𝑊)
43 simp31r 1277 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑆𝑇)
447, 8, 9, 10, 11, 39lhpat2 36626 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴𝑆𝑇)) → 𝑉𝐴)
451, 3, 6, 42, 21, 43, 44syl222anc 1366 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑉𝐴)
4641, 45eqeltrd 2860 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) ∈ 𝐴)
47 simp11 1183 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
48 simp12 1184 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
49 simp13 1185 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
50 simp31l 1276 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑃𝑄)
517, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3fa 36817 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐹𝐴)
5247, 48, 49, 31, 50, 35, 51syl132anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐹𝐴)
537, 8, 9, 10, 11, 12, 22cdleme3fa 36817 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))) → 𝐺𝐴)
5447, 48, 49, 32, 50, 36, 53syl132anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐺𝐴)
55 simp33r 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))
567, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22cdleme16b 36860 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑆𝑇)) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) → 𝐹𝐺)
5730, 31, 32, 34, 35, 36, 55, 56syl133anc 1373 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐹𝐺)
58 eqid 2772 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
598, 10, 58llni2 36093 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐹𝐴𝐺𝐴) ∧ 𝐹𝐺) → (𝐹 𝐺) ∈ (LLines‘𝐾))
601, 52, 54, 57, 59syl31anc 1353 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐹 𝐺) ∈ (LLines‘𝐾))
617, 8, 9, 10, 11, 18cdlemeda 36879 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑅𝐴𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))) → 𝐷𝐴)
621, 3, 6, 42, 17, 38, 35, 61syl223anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐷𝐴)
63 simp23r 1275 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ¬ 𝑇 𝑊)
647, 8, 9, 10, 11, 25cdlemeda 36879 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))) → 𝑌𝐴)
651, 3, 21, 63, 17, 38, 36, 64syl223anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝑌𝐴)
66 simp32 1190 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
67 simp33l 1280 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))
687, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 18, 25, 39cdleme20j 36899 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ ¬ 𝑅 (𝑆 𝑇))) → 𝐷𝑌)
6947, 48, 49, 33, 31, 32, 34, 66, 67, 68syl333anc 1382 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → 𝐷𝑌)
708, 10, 58llni2 36093 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐷𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝐷𝑌) → (𝐷 𝑌) ∈ (LLines‘𝐾))
711, 62, 65, 69, 70syl31anc 1353 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐷 𝑌) ∈ (LLines‘𝐾))
72 eqid 2772 . . . . . 6 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
738, 9, 10, 58, 722llnmj 36141 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹 𝐺) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝐷 𝑌) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
741, 60, 71, 73syl3anc 1351 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
7546, 74mpbid 224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
7629, 75eqeltrd 2860 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
777, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 18, 25, 39cdleme20l1 36901 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝐹 𝐷) ∈ (LLines‘𝐾))
7847, 48, 49, 17, 6, 42, 50, 35, 38, 77syl333anc 1382 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐹 𝐷) ∈ (LLines‘𝐾))
79 eqid 2772 . . . . 5 ((𝑇 𝑆) 𝑊) = ((𝑇 𝑆) 𝑊)
807, 8, 9, 10, 11, 12, 22, 13, 25, 18, 79cdleme20l1 36901 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ (𝑅𝐴𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝐺 𝑌) ∈ (LLines‘𝐾))
8147, 48, 49, 17, 21, 63, 50, 36, 38, 80syl333anc 1382 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (𝐺 𝑌) ∈ (LLines‘𝐾))
828, 9, 10, 58, 722llnmj 36141 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹 𝐷) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝐺 𝑌) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
831, 78, 81, 82syl3anc 1351 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → (((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
8476, 83mpbird 249 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄)) ∧ (¬ 𝑅 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇)))) → ((𝐹 𝐷) (𝐺 𝑌)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2961   class class class wbr 4923  cfv 6182  (class class class)co 6970  Basecbs 16333  lecple 16422  joincjn 17406  meetcmee 17407  Latclat 17507  Atomscatm 35844  HLchlt 35931  LLinesclln 36072  LPlanesclpl 36073  LHypclh 36565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-1st 7495  df-2nd 7496  df-proset 17390  df-poset 17408  df-plt 17420  df-lub 17436  df-glb 17437  df-join 17438  df-meet 17439  df-p0 17501  df-p1 17502  df-lat 17508  df-clat 17570  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569
This theorem is referenced by:  cdleme20l  36903
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