Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  thinccic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thinccic 48862
Description: In a thin category, two objects are isomorphic iff there are morphisms between them in both directions. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thincsect.c (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x (𝜑𝑋𝐵)
thincsect.y (𝜑𝑌𝐵)
thinciso.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
thinccic (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Proof of Theorem thinccic
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thincsect.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 thinciso.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3 eqid 2735 . . . . . 6 (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
4 thincsect.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
54thinccd 48825 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 thincsect.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
7 thincsect.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
81, 2, 3, 5, 6, 7isohom 17824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
98sselda 3995 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
104adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
116adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋𝐵)
127adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑌𝐵)
13 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
1410, 1, 11, 12, 2, 3, 13thinciso 48861 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
159, 14biadanid 823 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
1615exbidv 1919 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
173, 1, 5, 6, 7cic 17847 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
18 n0 4359 . . . . 5 ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
1918anbi1i 624 . . . 4 (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
20 19.41v 1947 . . . 4 (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
2119, 20bitr4i 278 . . 3 (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
2221a1i 11 . 2 (𝜑 → (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
2316, 17, 223bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Hom chom 17309  Isociso 17794  𝑐 ccic 17843  ThinCatcthinc 48819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-cat 17713  df-cid 17714  df-sect 17795  df-inv 17796  df-iso 17797  df-cic 17844  df-thinc 48820
This theorem is referenced by:  postc  48885
  Copyright terms: Public domain W3C validator