Theorem thinccic 50127

Description: In a thin category, two objects are isomorphic iff there are morphisms between them in both directions. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thinciso.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thinccic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Proof of Theorem thinccic

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thinciso.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
4		thincsect.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	4	thinccd 50079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		thincsect.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		thincsect.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	isohom 17829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
9	8	sselda 3945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	4	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
11	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14	10, 1, 11, 12, 2, 3, 13	thinciso 50126	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
15	9, 14	biadanid 834	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
16	15	exbidv 1948	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
17	3, 1, 5, 6, 7	cic 17852	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
18		n0 4314	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19	18	anbi1i 635	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
20		19.41v 1976	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
21	19, 20	bitr4i 281	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
23	16, 17, 22	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∅c0 4294   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  Hom chom 17317  Isociso 17799   ≃_𝑐 ccic 17848  ThinCatcthinc 50073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-cat 17720  df-cid 17721  df-sect 17800  df-inv 17801  df-iso 17802  df-cic 17849  df-thinc 50074

This theorem is referenced by:  postc  50225