Theorem thinccic 49502

Description: In a thin category, two objects are isomorphic iff there are morphisms between them in both directions. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thinciso.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thinccic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Proof of Theorem thinccic

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thinciso.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
4		thincsect.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	4	thinccd 49454	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		thincsect.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		thincsect.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	isohom 17680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
9	8	sselda 3934	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
11	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14	10, 1, 11, 12, 2, 3, 13	thinciso 49501	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
15	9, 14	biadanid 822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
16	15	exbidv 1922	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
17	3, 1, 5, 6, 7	cic 17703	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
18		n0 4303	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19	18	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
20		19.41v 1950	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
21	19, 20	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
23	16, 17, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4283   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  Hom chom 17169  Isociso 17650   ≃_𝑐 ccic 17699  ThinCatcthinc 49448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-cat 17571  df-cid 17572  df-sect 17651  df-inv 17652  df-iso 17653  df-cic 17700  df-thinc 49449

This theorem is referenced by:  postc  49600