Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  thinccic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thinccic 49118
Description: In a thin category, two objects are isomorphic iff there are morphisms between them in both directions. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
thincsect.c (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x (𝜑𝑋𝐵)
thincsect.y (𝜑𝑌𝐵)
thinciso.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
thinccic (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Proof of Theorem thinccic
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thincsect.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 thinciso.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
4 thincsect.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ThinCat)
54thinccd 49073 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 thincsect.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
7 thincsect.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝐵)
81, 2, 3, 5, 6, 7isohom 17820 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
98sselda 3983 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
104adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
116adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋𝐵)
127adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑌𝐵)
13 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
1410, 1, 11, 12, 2, 3, 13thinciso 49117 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
159, 14biadanid 823 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
1615exbidv 1921 . 2 (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
173, 1, 5, 6, 7cic 17843 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
18 n0 4353 . . . . 5 ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
1918anbi1i 624 . . . 4 (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
20 19.41v 1949 . . . 4 (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
2119, 20bitr4i 278 . . 3 (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
2221a1i 11 . 2 (𝜑 → (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
2316, 17, 223bitr4d 311 1 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Hom chom 17308  Isociso 17790  𝑐 ccic 17839  ThinCatcthinc 49067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-cat 17711  df-cid 17712  df-sect 17791  df-inv 17792  df-iso 17793  df-cic 17840  df-thinc 49068
This theorem is referenced by:  postc  49173
  Copyright terms: Public domain W3C validator