Theorem thinccic 49464

Description: In a thin category, two objects are isomorphic iff there are morphisms between them in both directions. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thinciso.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thinccic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Proof of Theorem thinccic

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thinciso.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
4		thincsect.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	4	thinccd 49416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		thincsect.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		thincsect.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	isohom 17745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
9	8	sselda 3949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
11	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14	10, 1, 11, 12, 2, 3, 13	thinciso 49463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
15	9, 14	biadanid 822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
16	15	exbidv 1921	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
17	3, 1, 5, 6, 7	cic 17768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
18		n0 4319	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19	18	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
20		19.41v 1949	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
21	19, 20	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
23	16, 17, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∅c0 4299   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  Hom chom 17238  Isociso 17715   ≃_𝑐 ccic 17764  ThinCatcthinc 49410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-cat 17636  df-cid 17637  df-sect 17716  df-inv 17717  df-iso 17718  df-cic 17765  df-thinc 49411

This theorem is referenced by:  postc  49562