Theorem thinccic 46342

Description: In a thin category, two objects are isomorphic iff there are morphisms between them in both directions. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
thincsect.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
thincsect.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
thincsect.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
thincsect.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
thinciso.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
thinccic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Proof of Theorem thinccic

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		thincsect.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		thinciso.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
4		thincsect.c	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ThinCat)
5	4	thinccd 46306	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		thincsect.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		thincsect.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 3, 5, 6, 7	isohom 17488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ⊆ (𝑋𝐻𝑌))
9	8	sselda 3921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝐶 ∈ ThinCat)
11	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	7	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14	10, 1, 11, 12, 2, 3, 13	thinciso 46341	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
15	9, 14	biadanid 820	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ (𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
16	15	exbidv 1924	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
17	3, 1, 5, 6, 7	cic 17511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋(Iso‘𝐶)𝑌)))
18		n0 4280	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
19	18	anbi1i 624	. . . 4 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
20		19.41v 1953	. . . 4 ⊢ (∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
21	19, 20	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅))
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅) ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))
23	16, 17, 22	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ((𝑋𝐻𝑌) ≠ ∅ ∧ (𝑌𝐻𝑋) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Hom chom 16973  Isociso 17458   ≃_𝑐 ccic 17507  ThinCatcthinc 46300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-cat 17377  df-cid 17378  df-sect 17459  df-inv 17460  df-iso 17461  df-cic 17508  df-thinc 46301

This theorem is referenced by:  postc  46363