Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqmpt 45592
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqmpt.k 𝑘𝜑
climfveqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqmpt.A (𝜑𝐴𝑅)
climfveqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climfveqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climfveqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climfveqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climfveqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climfveqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climfveqmpt (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climfveqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climfveqmpt.A . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 7261 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climfveqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 7261 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climfveqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climfveqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1913 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1898 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcv 2908 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1110nfcsb1 3945 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1210nfcsb1 3945 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1311, 12nfeq 2922 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1895 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1w 2827 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 629 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3935 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3935 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2756 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climfveqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvarfv 2241 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climfveqmpt.i . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
2423adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐴)
25 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2624, 25sseldd 4009 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
27 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
28 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
297, 28nfan 1898 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
30 nfcv 2908 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
3111, 30nfel 2923 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
3229, 31nfim 1895 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
33 eleq1w 2827 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3433anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3517eleq1d 2829 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3634, 35imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
37 climfveqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3832, 36, 37chvarfv 2241 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
39 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4010, 11, 17, 39fvmptf 7050 . . . . 5 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4127, 38, 40syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4226, 41syldan 590 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
43 climfveqmpt.l . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐶)
4443adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐶)
4544, 25sseldd 4009 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
46 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗𝐶)
47 nfv 1913 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
487, 47nfan 1898 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
49 nfcv 2908 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
5012, 49nfel 2923 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
5148, 50nfim 1895 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
52 eleq1w 2827 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
5352anbi2d 629 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5418eleq1d 2829 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5553, 54imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
56 climfveqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5751, 55, 56chvarfv 2241 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
58 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5910, 12, 18, 58fvmptf 7050 . . . . 5 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6046, 57, 59syl2anc 583 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐶) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6145, 60syldan 590 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6222, 42, 613eqtr4d 2790 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
631, 3, 5, 6, 62climfveq 45590 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1781  wcel 2108  Vcvv 3488  csb 3921  wss 3976  cmpt 5249  cfv 6573  cz 12639  cuz 12903  cli 15530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534
This theorem is referenced by:  fnlimfvre  45595
  Copyright terms: Public domain W3C validator