Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqmpt 44387
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqmpt.k 𝑘𝜑
climfveqmpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqmpt.A (𝜑𝐴𝑅)
climfveqmpt.i (𝜑𝑍𝐴)
climfveqmpt.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
climfveqmpt.t (𝜑𝐶𝑆)
climfveqmpt.l (𝜑𝑍𝐶)
climfveqmpt.c ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
climfveqmpt.e ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climfveqmpt (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climfveqmpt.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climfveqmpt.A . . 3 (𝜑𝐴𝑅)
32mptexd 7226 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climfveqmpt.t . . 3 (𝜑𝐶𝑆)
54mptexd 7226 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climfveqmpt.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climfveqmpt.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1903 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcv 2904 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1110nfcsb1 3918 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1210nfcsb1 3918 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1311, 12nfeq 2917 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1900 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1w 2817 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3908 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3908 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 345 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climfveqmpt.e . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvarfv 2234 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climfveqmpt.i . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
2423adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐴)
25 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2624, 25sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
27 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
28 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐴
297, 28nfan 1903 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
30 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘𝑉
3111, 30nfel 2918 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑉
3229, 31nfim 1900 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
33 eleq1w 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
3433anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
3517eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑉𝑗 / 𝑘𝐵𝑉))
3634, 35imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)))
37 climfveqmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑉)
3832, 36, 37chvarfv 2234 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑉)
39 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4010, 11, 17, 39fvmptf 7020 . . . . 5 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑉) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4127, 38, 40syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
4226, 41syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
43 climfveqmpt.l . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐶)
4443adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐶)
4544, 25sseldd 3984 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
46 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗𝐶)
47 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑘 𝑗𝐶
487, 47nfan 1903 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑗𝐶)
49 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘𝑊
5012, 49nfel 2918 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷𝑊
5148, 50nfim 1900 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
52 eleq1w 2817 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐶𝑗𝐶))
5352anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
5418eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗 → (𝐷𝑊𝑗 / 𝑘𝐷𝑊))
5553, 54imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)))
56 climfveqmpt.c . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐷𝑊)
5751, 55, 56chvarfv 2234 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝐶) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑊)
58 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
5910, 12, 18, 58fvmptf 7020 . . . . 5 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑊) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6046, 57, 59syl2anc 585 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐶) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6145, 60syldan 592 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
6222, 42, 613eqtr4d 2783 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
631, 3, 5, 6, 62climfveq 44385 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  Vcvv 3475  csb 3894  wss 3949  cmpt 5232  cfv 6544  cz 12558  cuz 12822  cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432
This theorem is referenced by:  fnlimfvre  44390
  Copyright terms: Public domain W3C validator