Theorem climfveqmpt 46823

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqmpt.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
climfveqmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climfveqmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
climfveqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
climfveqmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
climfveqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
climfveqmpt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climfveqmpt	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfveqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climfveqmpt.A	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3	2	mptexd 7240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4		climfveqmpt.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	4	mptexd 7240	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ V)
6		climfveqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climfveqmpt.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1948	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	7, 8	nfan 1933	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
11	10	nfcsb1 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
12	10	nfcsb1 3874	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
13	11, 12	nfeq 2939	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
14	9, 13	nfim 1930	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
15		eleq1w 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
18		csbeq1a 3865	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
19	17, 18	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷))
20	16, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)))
21		climfveqmpt.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
22	14, 20, 21	chvarfv 2279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
23		climfveqmpt.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	24, 25	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐴)
27		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
28		nfv 1948	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
29	7, 28	nfan 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑉
31	11, 30	nfel 2940	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉
32	29, 31	nfim 1930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
33		eleq1w 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
34	33	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
35	17	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉))
36	34, 35	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
37		climfveqmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
38	32, 36, 37	chvarfv 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
39		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
40	10, 11, 17, 39	fvmptf 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
41	27, 38, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
42	26, 41	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
43		climfveqmpt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
44	43	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐶)
45	44, 25	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐶)
46		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → 𝑗 ∈ 𝐶)
47		nfv 1948	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐶
48	7, 47	nfan 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
49		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑊
50	12, 49	nfel 2940	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊
51	48, 50	nfim 1930	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
52		eleq1w 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
53	52	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
54	18	eleq1d 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊))
55	53, 54	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
56		climfveqmpt.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
57	51, 55, 56	chvarfv 2279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
58		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
59	10, 12, 18, 58	fvmptf 7026	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐶 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
60	46, 57, 59	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
61	45, 60	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
62	22, 42, 61	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗))
63	1, 3, 5, 6, 62	climfveq 46821	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146  Vcvv 3454  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5189  ‘cfv 6547  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978   ⇝ cli 15666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8731  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-sup 9447  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-rp 13134  df-seq 14158  df-exp 14218  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-clim 15670

This theorem is used by:  fnlimfvre  46826