Theorem climfveqmpt 45686

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqmpt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqmpt.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
climfveqmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
climfveqmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
climfveqmpt.t	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
climfveqmpt.l	⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
climfveqmpt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
climfveqmpt.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
climfveqmpt	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑆(𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climfveqmpt.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climfveqmpt.A	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3	2	mptexd 7244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
4		climfveqmpt.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
5	4	mptexd 7244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) ∈ V)
6		climfveqmpt.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		climfveqmpt.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
8		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
9	7, 8	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
10		nfcv 2905	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
11	10	nfcsb1 3922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
12	10	nfcsb1 3922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
13	11, 12	nfeq 2919	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷
14	9, 13	nfim 1896	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
15		eleq1w 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
16	15	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
17		csbeq1a 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
18		csbeq1a 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐷 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
19	17, 18	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷))
20	16, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)))
21		climfveqmpt.e	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
22	14, 20, 21	chvarfv 2240	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
23		climfveqmpt.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
25		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝑍)
26	24, 25	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐴)
27		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
28		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴
29	7, 28	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
30		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑉
31	11, 30	nfel 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉
32	29, 31	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
33		eleq1w 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
34	33	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
35	17	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉))
36	34, 35	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
37		climfveqmpt.b	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
38	32, 36, 37	chvarfv 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉)
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
40	10, 11, 17, 39	fvmptf 7037	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
41	27, 38, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
42	26, 41	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
43		climfveqmpt.l	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 𝐶)
44	43	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐶)
45	44, 25	sseldd 3984	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝑗 ∈ 𝐶)
46		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → 𝑗 ∈ 𝐶)
47		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐶
48	7, 47	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)
49		nfcv 2905	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑊
50	12, 49	nfel 2920	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊
51	48, 50	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
52		eleq1w 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐶 ↔ 𝑗 ∈ 𝐶))
53	52	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶)))
54	18	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷 ∈ 𝑊 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊))
55	53, 54	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)))
56		climfveqmpt.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐷 ∈ 𝑊)
57	51, 55, 56	chvarfv 2240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊)
58		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)
59	10, 12, 18, 58	fvmptf 7037	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐶 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷 ∈ 𝑊) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
60	46, 57, 59	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐶) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
61	45, 60	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐷)
62	22, 42, 61	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ((𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)‘𝑗))
63	1, 3, 5, 6, 62	climfveq 45684	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ⦋csb 3899   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6561  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ⇝ cli 15520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524

This theorem is referenced by:  fnlimfvre  45689