Theorem climmptf 46219

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmptf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmptf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmptf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmptf.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmptf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmptf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmptf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmptf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmptf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climmptf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
5		nfcv 2923	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
6		climmptf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
7		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	6, 7	nffv 6873	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
9		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	5, 8, 9	cbvmpt 5201	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
11	4, 10	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
12	3, 11	climmpt 15581	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
13	1, 2, 12	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836   ⇝ cli 15494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-po 5553  df-so 5554  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-neg 11414  df-z 12566  df-uz 12837  df-clim 15498

This theorem is referenced by: (None)