Theorem climmptf 42323

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmptf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmptf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmptf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmptf.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmptf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmptf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmptf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmptf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmptf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climmptf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
5		nfcv 2955	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
6		climmptf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
7		nfcv 2955	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	6, 7	nffv 6655	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
9		fveq2 6645	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	5, 8, 9	cbvmpt 5131	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
11	4, 10	eqtri 2821	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
12	3, 11	climmpt 14920	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
13	1, 2, 12	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231   ⇝ cli 14833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-neg 10862  df-z 11970  df-uz 12232  df-clim 14837

This theorem is referenced by: (None)