Theorem climmptf 46109

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmptf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmptf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmptf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmptf.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmptf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmptf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmptf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmptf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmptf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climmptf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
5		nfcv 2898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
6		climmptf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
7		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	6, 7	nffv 6850	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
9		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	5, 8, 9	cbvmpt 5187	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
11	4, 10	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
12	3, 11	climmpt 15533	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
13	1, 2, 12	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788   ⇝ cli 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-neg 11380  df-z 12525  df-uz 12789  df-clim 15450

This theorem is referenced by: (None)