Theorem climmptf 46131

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmptf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmptf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmptf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmptf.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmptf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmptf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmptf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmptf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmptf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climmptf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
5		nfcv 2902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
6		climmptf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
7		nfcv 2902	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	6, 7	nffv 6844	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
9		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	5, 8, 9	cbvmpt 5181	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
11	4, 10	eqtri 2763	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
12	3, 11	climmpt 15531	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
13	1, 2, 12	syl2anc 590	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2887   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786   ⇝ cli 15444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-neg 11378  df-z 12523  df-uz 12787  df-clim 15448

This theorem is referenced by: (None)