Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmptf 45636
Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climmptf.k 𝑘𝐹
climmptf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climmptf.f (𝜑𝐹𝑉)
climmptf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmptf.g 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climmptf (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmptf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climmptf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climmptf.f . 2 (𝜑𝐹𝑉)
3 climmptf.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 climmptf.g . . . 4 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
5 nfcv 2902 . . . . 5 𝑗(𝐹𝑘)
6 climmptf.k . . . . . 6 𝑘𝐹
7 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑘𝑗
86, 7nffv 6916 . . . . 5 𝑘(𝐹𝑗)
9 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
105, 8, 9cbvmpt 5258 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))
114, 10eqtri 2762 . . 3 𝐺 = (𝑗𝑍 ↦ (𝐹𝑗))
123, 11climmpt 15603 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
131, 2, 12syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  wnfc 2887   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  cz 12610  cuz 12875  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-clim 15520
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator