Theorem climmptf 45793

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climmptf.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climmptf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climmptf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climmptf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmptf.g	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmptf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmptf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climmptf.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		climmptf.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmptf.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		climmptf.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
5		nfcv 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
6		climmptf.k	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
7		nfcv 2896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
8	6, 7	nffv 6841	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
9		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
10	5, 8, 9	cbvmpt 5197	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
11	4, 10	eqtri 2756	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑗))
12	3, 11	climmpt 15488	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))
13	1, 2, 12	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2881   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  ℤcz 12478  ℤ_≥cuz 12742   ⇝ cli 15401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-neg 11357  df-z 12479  df-uz 12743  df-clim 15405

This theorem is referenced by: (None)