Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqmpt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqmpt3 42367
 Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. TODO: this is more general than climfveqmpt 42356 and should replace it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqmpt3.k 𝑘𝜑
climfveqmpt3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqmpt3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqmpt3.a (𝜑𝐴𝑉)
climfveqmpt3.c (𝜑𝐶𝑊)
climfveqmpt3.i (𝜑𝑍𝐴)
climfveqmpt3.s (𝜑𝑍𝐶)
climfveqmpt3.b ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈)
climfveqmpt3.d ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
climfveqmpt3 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝑈,𝑘   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqmpt3
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climfveqmpt3.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climfveqmpt3.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
32mptexd 6965 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵) ∈ V)
4 climfveqmpt3.c . . 3 (𝜑𝐶𝑊)
54mptexd 6965 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐶𝐷) ∈ V)
6 climfveqmpt3.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climfveqmpt3.k . . . . . 6 𝑘𝜑
8 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑍
97, 8nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
10 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑘𝑗
1110nfcsb1 3851 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1210nfcsb1 3851 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐷
1311, 12nfeq 2968 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷
149, 13nfim 1897 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
15 eleq1w 2872 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
1615anbi2d 631 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
17 csbeq1a 3842 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
18 csbeq1a 3842 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
1917, 18eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷))
2016, 19imbi12d 348 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)))
21 climfveqmpt3.d . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵 = 𝐷)
2214, 20, 21chvarfv 2240 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐷)
23 climfveqmpt3.i . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐴)
2423adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐴)
25 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
2624, 25sseldd 3916 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐴)
27 nfcv 2955 . . . . . . 7 𝑘𝑈
2811, 27nfel 2969 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵𝑈
299, 28nfim 1897 . . . . 5 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)
3017eleq1d 2874 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵𝑈𝑗 / 𝑘𝐵𝑈))
3116, 30imbi12d 348 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)))
32 climfveqmpt3.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐵𝑈)
3329, 31, 32chvarfv 2240 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑈)
34 eqid 2798 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
3510, 11, 17, 34fvmptf 6767 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵𝑈) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
3626, 33, 35syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
37 climfveqmpt3.s . . . . . 6 (𝜑𝑍𝐶)
3837adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑍𝐶)
3938, 25sseldd 3916 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝐶)
4022, 33eqeltrrd 2891 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐷𝑈)
41 eqid 2798 . . . . 5 (𝑘𝐶𝐷) = (𝑘𝐶𝐷)
4210, 12, 18, 41fvmptf 6767 . . . 4 ((𝑗𝐶𝑗 / 𝑘𝐷𝑈) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
4339, 40, 42syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐷)
4422, 36, 433eqtr4d 2843 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ((𝑘𝐶𝐷)‘𝑗))
451, 3, 5, 6, 44climfveq 42354 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘(𝑘𝐴𝐵)) = ( ⇝ ‘(𝑘𝐶𝐷)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ⦋csb 3828   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5111  ‘cfv 6325  ℤcz 11972  ℤ≥cuz 12234   ⇝ cli 14836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-sup 8893  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-rp 12381  df-seq 13368  df-exp 13429  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840 This theorem is referenced by:  smflimmpt  43484
 Copyright terms: Public domain W3C validator