Theorem climmpt 15522

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmpt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
4		fvex 6904	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2828	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7227	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7	3, 6	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
9		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
11		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
12	10, 3, 11	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
13	12	eqcomd 2737	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
14	13	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
15	1, 2, 8, 9, 14	climeq 15518	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829   ⇝ cli 15435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-neg 11454  df-z 12566  df-uz 12830  df-clim 15439

This theorem is referenced by:  climmpt2  15524  climrecl  15534  climge0  15535  caurcvg2  15631  caucvg  15632  climfsum  15773  dstfrvclim1  33942  divcnvg  44805  climmptf  44859