Theorem climmpt 15612

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmpt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
4		fvex 6884	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2861	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7211	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7	3, 6	eqeltri 2861	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
9		simpl 487	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		fveq2 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
11		fvex 6884	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
12	10, 3, 11	fvmpt 6979	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
13	12	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
14	13	adantl 486	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
15	1, 2, 8, 9, 14	climeq 15608	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853   ⇝ cli 15525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-neg 11432  df-z 12583  df-uz 12854  df-clim 15529

This theorem is referenced by:  climmpt2  15614  climrecl  15624  climge0  15625  caurcvg2  15719  caucvg  15720  climfsum  15862  dstfrvclim1  34785  divcnvg  46201  climmptf  46253