MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmpt 14643
Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt.2 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climmpt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpr 478 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
3 climmpt.2 . . . 4 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
4 fvex 6424 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2874 . . . . 5 𝑍 ∈ V
65mptex 6715 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
73, 6eqeltri 2874 . . 3 𝐺 ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐺 ∈ V)
9 simpl 475 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 fveq2 6411 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
11 fvex 6424 . . . . 5 (𝐹𝑚) ∈ V
1210, 3, 11fvmpt 6507 . . . 4 (𝑚𝑍 → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
1312eqcomd 2805 . . 3 (𝑚𝑍 → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
1413adantl 474 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
151, 2, 8, 9, 14climeq 14639 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3385   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  cz 11666  cuz 11930  cli 14556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-neg 10559  df-z 11667  df-uz 11931  df-clim 14560
This theorem is referenced by:  climmpt2  14645  climrecl  14655  climge0  14656  caurcvg2  14749  caucvg  14750  climfsum  14890  dstfrvclim1  31056  divcnvg  40603  climmptf  40657
  Copyright terms: Public domain W3C validator