MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmpt 15603
Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt.2 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climmpt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpr 484 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
3 climmpt.2 . . . 4 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
4 fvex 6919 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2834 . . . . 5 𝑍 ∈ V
65mptex 7242 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
73, 6eqeltri 2834 . . 3 𝐺 ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐺 ∈ V)
9 simpl 482 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
11 fvex 6919 . . . . 5 (𝐹𝑚) ∈ V
1210, 3, 11fvmpt 7015 . . . 4 (𝑚𝑍 → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
1312eqcomd 2740 . . 3 (𝑚𝑍 → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
1413adantl 481 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
151, 2, 8, 9, 14climeq 15599 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  cz 12610  cuz 12875  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-neg 11492  df-z 12611  df-uz 12876  df-clim 15520
This theorem is referenced by:  climmpt2  15605  climrecl  15615  climge0  15616  caurcvg2  15710  caucvg  15711  climfsum  15852  dstfrvclim1  34458  divcnvg  45582  climmptf  45636
  Copyright terms: Public domain W3C validator