MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climmpt 14923
Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
2clim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climmpt.2 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climmpt ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2clim.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 simpr 485 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
3 climmpt.2 . . . 4 𝐺 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
4 fvex 6682 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
51, 4eqeltri 2914 . . . . 5 𝑍 ∈ V
65mptex 6983 . . . 4 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ∈ V
73, 6eqeltri 2914 . . 3 𝐺 ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐺 ∈ V)
9 simpl 483 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 fveq2 6669 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
11 fvex 6682 . . . . 5 (𝐹𝑚) ∈ V
1210, 3, 11fvmpt 6767 . . . 4 (𝑚𝑍 → (𝐺𝑚) = (𝐹𝑚))
1312eqcomd 2832 . . 3 (𝑚𝑍 → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
1413adantl 482 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
151, 2, 8, 9, 14climeq 14919 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹𝐴𝐺𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500   class class class wbr 5063  cmpt 5143  cfv 6354  cz 11975  cuz 12237  cli 14836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7153  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-neg 10867  df-z 11976  df-uz 12238  df-clim 14840
This theorem is referenced by:  climmpt2  14925  climrecl  14935  climge0  14936  caurcvg2  15029  caucvg  15030  climfsum  15170  dstfrvclim1  31640  divcnvg  41792  climmptf  41846
  Copyright terms: Public domain W3C validator