Theorem climmpt 15662

Description: Exhibit a function 𝐺 with the same convergence properties as the not-quite-function 𝐹. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
2clim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climmpt.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climmpt	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem climmpt

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2clim.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 490	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ 𝑉)
3		climmpt.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘))
4		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
5	1, 4	eqeltri 2858	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
6	5	mptex 7226	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ (𝐹‘𝑘)) ∈ V
7	3, 6	eqeltri 2858	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
9		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		fveq2 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑚))
11		fvex 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑚) ∈ V
12	10, 3, 11	fvmpt 6990	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐺‘𝑚) = (𝐹‘𝑚))
13	12	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
14	13	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) = (𝐺‘𝑚))
15	1, 2, 8, 9, 14	climeq 15658	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ 𝑉) → (𝐹 ⇝ 𝐴 ↔ 𝐺 ⇝ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891   ⇝ cli 15575

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-neg 11472  df-z 12620  df-uz 12892  df-clim 15579

This theorem is used by:  climmpt2  15664  climrecl  15674  climge0  15675  caurcvg2  15769  caucvg  15770  climfsum  15911  dstfrvclim1  34997  divcnvg  46465  climmptf  46517