Theorem climfveqf 46321

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqf.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climfveqf.o	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climfveqf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climfveqf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climfveqf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climfveqf	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdm 15605	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
2	1	bilani 509	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	2, 1	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4		climfveqf.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climfveqf.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		climfveqf.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		climfveqf.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		climfveqf.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		nfcv 2931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	9	nfel1 2947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
11	8, 10	nfan 1926	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
12		climfveqf.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
13	12, 9	nffv 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
14		climfveqf.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
15	14, 9	nffv 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
16	13, 15	nfeq 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
17	11, 16	nfim 1923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
18		eleq1w 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
19	18	anbi2d 641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
20		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
21		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
22	20, 21	eqeq12d 2785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
23	19, 22	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
24		climfveqf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
25	17, 23, 24	chvarfv 2282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
26	4, 5, 6, 7, 25	climeldmeq 46306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
27	26	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
28	3, 27	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29		climdm 15605	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
30	28, 29	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
31	6	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ 𝑊)
32	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
33	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	25	eqcomd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	4, 31, 32, 33, 35	climeq 15618	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
37	30, 36	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
38		climuni 15603	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
39	2, 37, 38	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
40		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
41	40	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
42		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
43	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
44	42, 43	mtbid 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
45		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
46	44, 45	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
47	41, 46	eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
48	39, 47	pm2.61dan 824	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916  ∅c0 4292   class class class wbr 5111  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862   ⇝ cli 15535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539

This theorem is referenced by:  climfveqmpt2  46334