Theorem climfveqf 46137

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqf.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climfveqf.o	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climfveqf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climfveqf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climfveqf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climfveqf	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdm 15511	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
2	1	bilani 506	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	2, 1	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4		climfveqf.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climfveqf.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		climfveqf.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		climfveqf.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		climfveqf.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		nfcv 2903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	9	nfel1 2919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
11	8, 10	nfan 1907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
12		climfveqf.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
13	12, 9	nffv 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
14		climfveqf.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
15	14, 9	nffv 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
16	13, 15	nfeq 2916	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
17	11, 16	nfim 1904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
18		eleq1w 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
19	18	anbi2d 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
20		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
21		fveq2 6831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
22	20, 21	eqeq12d 2757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
23	19, 22	imbi12d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
24		climfveqf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
25	17, 23, 24	chvarfv 2254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
26	4, 5, 6, 7, 25	climeldmeq 46122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
27	26	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
28	3, 27	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29		climdm 15511	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
30	28, 29	sylib 220	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
31	6	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ 𝑊)
32	5	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
33	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	25	eqcomd 2747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	4, 31, 32, 33, 35	climeq 15524	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
37	30, 36	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
38		climuni 15509	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
39	2, 37, 38	syl2anc 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
40		ndmfv 6863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
41	40	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
42		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
43	26	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
44	42, 43	mtbid 326	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
45		ndmfv 6863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
46	44, 45	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
47	41, 46	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
48	39, 47	pm2.61dan 819	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   = wceq 1548  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2121  Ⅎwnfc 2888  ∅c0 4264   class class class wbr 5075  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783   ⇝ cli 15441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445

This theorem is referenced by:  climfveqmpt2  46150