Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  climfveqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climfveqf 41398
Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
climfveqf.p 𝑘𝜑
climfveqf.n 𝑘𝐹
climfveqf.o 𝑘𝐺
climfveqf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
climfveqf.f (𝜑𝐹𝑉)
climfveqf.g (𝜑𝐺𝑊)
climfveqf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
climfveqf (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Distinct variable group:   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climdm 14772 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
21biimpi 208 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
32adantl 474 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
43, 1sylibr 226 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
5 climfveqf.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 climfveqf.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑉)
7 climfveqf.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝑊)
8 climfveqf.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
9 climfveqf.p . . . . . . . . . . 11 𝑘𝜑
10 nfcv 2932 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑗
1110nfel1 2946 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑗𝑍
129, 11nfan 1862 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
13 climfveqf.n . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐹
1413, 10nffv 6509 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐹𝑗)
15 climfveqf.o . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐺
1615, 10nffv 6509 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐺𝑗)
1714, 16nfeq 2943 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)
1812, 17nfim 1859 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
19 eleq1w 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2019anbi2d 619 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
21 fveq2 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
22 fveq2 6499 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑗))
2321, 22eqeq12d 2793 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗)))
2420, 23imbi12d 337 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))))
25 climfveqf.e . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2618, 24, 25chvar 2326 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹𝑗) = (𝐺𝑗))
275, 6, 7, 8, 26climeldmeq 41383 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
2827adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
294, 28mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
30 climdm 14772 . . . . 5 (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
3129, 30sylib 210 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
327adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺𝑊)
336adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹𝑉)
348adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3526eqcomd 2784 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (𝐹𝑗))
3635adantlr 702 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗𝑍) → (𝐺𝑗) = (𝐹𝑗))
375, 32, 33, 34, 36climeq 14785 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
3831, 37mpbid 224 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
39 climuni 14770 . . 3 ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
403, 38, 39syl2anc 576 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
41 ndmfv 6529 . . . 4 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
4241adantl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
43 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4427adantr 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
4543, 44mtbid 316 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
46 ndmfv 6529 . . . 4 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
4745, 46syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
4842, 47eqtr4d 2817 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
4940, 48pm2.61dan 800 1 (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wnf 1746  wcel 2050  wnfc 2916  c0 4178   class class class wbr 4929  dom cdm 5407  cfv 6188  cz 11793  cuz 12058  cli 14702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-sup 8701  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-seq 13185  df-exp 13245  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706
This theorem is referenced by:  climfveqmpt2  41411
  Copyright terms: Public domain W3C validator