Theorem climfveqf 45652

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqf.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climfveqf.o	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climfveqf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climfveqf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climfveqf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climfveqf	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdm 15572	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
2	1	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
4	3, 1	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
5		climfveqf.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6		climfveqf.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
7		climfveqf.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
8		climfveqf.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
9		climfveqf.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
11	10	nfel1 2914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
12	9, 11	nfan 1898	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
13		climfveqf.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
14	13, 10	nffv 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
15		climfveqf.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
16	15, 10	nffv 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
17	14, 16	nfeq 2911	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
18	12, 17	nfim 1895	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
19		eleq1w 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
20	19	anbi2d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
21		fveq2 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
22		fveq2 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
23	21, 22	eqeq12d 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
24	20, 23	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
25		climfveqf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
26	18, 24, 25	chvarfv 2239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
27	5, 6, 7, 8, 26	climeldmeq 45637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
29	4, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
30		climdm 15572	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
31	29, 30	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
32	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ 𝑊)
33	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
34	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	26	eqcomd 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	35	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
37	5, 32, 33, 34, 36	climeq 15585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
38	31, 37	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
39		climuni 15570	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
40	3, 38, 39	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
41		ndmfv 6921	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
42	41	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
43		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
44	27	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
45	43, 44	mtbid 324	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
46		ndmfv 6921	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
47	45, 46	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
48	42, 47	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
49	40, 48	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2882  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  ‘cfv 6541  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860   ⇝ cli 15502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-seq 14025  df-exp 14085  df-cj 15120  df-re 15121  df-im 15122  df-sqrt 15256  df-abs 15257  df-clim 15506

This theorem is referenced by:  climfveqmpt2  45665