Theorem climfveqf 46606

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqf.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climfveqf.o	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climfveqf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climfveqf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climfveqf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climfveqf	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdm 15674	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
2	1	bilani 510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	2, 1	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4		climfveqf.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climfveqf.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		climfveqf.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		climfveqf.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		climfveqf.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		nfcv 2922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	9	nfel1 2938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
11	8, 10	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
12		climfveqf.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
13	12, 9	nffv 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
14		climfveqf.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
15	14, 9	nffv 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
16	13, 15	nfeq 2935	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
17	11, 16	nfim 1929	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
18		eleq1w 2843	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
19	18	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
20		fveq2 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
21		fveq2 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
22	20, 21	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
23	19, 22	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
24		climfveqf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
25	17, 23, 24	chvarfv 2276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
26	4, 5, 6, 7, 25	climeldmeq 46591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
28	3, 27	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29		climdm 15674	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
30	28, 29	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
31	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ 𝑊)
32	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
33	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	25	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	4, 31, 32, 33, 35	climeq 15687	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
37	30, 36	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
38		climuni 15672	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
39	2, 37, 38	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
40		ndmfv 6906	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
41	40	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
42		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
43	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
44	42, 43	mtbid 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
45		ndmfv 6906	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
46	44, 45	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
47	41, 46	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
48	39, 47	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2907  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  dom cdm 5648  ‘cfv 6528  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920   ⇝ cli 15604

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-sup 9412  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-seq 14099  df-exp 14159  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608

This theorem is used by:  climfveqmpt2  46619