Theorem climfveqf 46495

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
climfveqf.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
climfveqf.n	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
climfveqf.o	⊢ Ⅎ𝑘𝐺
climfveqf.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climfveqf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
climfveqf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
climfveqf.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climfveqf.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
climfveqf	⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

Distinct variable group:   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climfveqf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climdm 15643	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
2	1	bilani 510	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹))
3	2, 1	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ dom ⇝ )
4		climfveqf.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		climfveqf.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
6		climfveqf.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
7		climfveqf.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
8		climfveqf.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
10	9	nfel1 2940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑍
11	8, 10	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)
12		climfveqf.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
13	12, 9	nffv 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗)
14		climfveqf.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘𝐺
15	14, 9	nffv 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐺‘𝑗)
16	13, 15	nfeq 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)
17	11, 16	nfim 1929	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
18		eleq1w 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ 𝑍))
19	18	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍)))
20		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑗))
21		fveq2 6882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘𝑗))
22	20, 21	eqeq12d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗)))
23	19, 22	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))))
24		climfveqf.e	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
25	17, 23, 24	chvarfv 2278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
26	4, 5, 6, 7, 25	climeldmeq 46480	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
27	26	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
28	3, 27	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ dom ⇝ )
29		climdm 15643	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
30	28, 29	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
31	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐺 ∈ 𝑊)
32	5	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ∈ 𝑉)
33	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝑀 ∈ ℤ)
34	25	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
35	34	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑗) = (𝐹‘𝑗))
36	4, 31, 32, 33, 35	climeq 15656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐺 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺) ↔ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)))
37	30, 36	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺))
38		climuni 15641	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐹) ∧ 𝐹 ⇝ ( ⇝ ‘𝐺)) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
39	2, 37, 38	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
40		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
41	40	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ∅)
42		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ )
43	26	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → (𝐹 ∈ dom ⇝ ↔ 𝐺 ∈ dom ⇝ ))
44	42, 43	mtbid 327	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ )
45		ndmfv 6914	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ dom ⇝ → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
46	44, 45	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐺) = ∅)
47	41, 46	eqtr4d 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐹 ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))
48	39, 47	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ( ⇝ ‘𝐹) = ( ⇝ ‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∅c0 4282   class class class wbr 5107  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   ⇝ cli 15573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577

This theorem is used by:  climfveqmpt2  46508