MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  comfeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem comfeq 17546
Description: Condition for two categories with the same hom-sets to have the same composition. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
comfeq.1 ยท = (compโ€˜๐ถ)
comfeq.2 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
comfeq.h ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
comfeq.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
comfeq.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ท))
comfeq.5 (๐œ‘ โ†’ (Homf โ€˜๐ถ) = (Homf โ€˜๐ท))
Assertion
Ref Expression
comfeq (๐œ‘ โ†’ ((compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ท) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ต   ๐ถ,๐‘“,๐‘”,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘“,๐‘”,๐‘ง   ยท ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐ท,๐‘“,๐‘”,๐‘ง   ๐‘“,๐ป,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ   โˆ™ ,๐‘“,๐‘”,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   โˆ™ (๐‘ง)   ยท (๐‘ง)   ๐ป(๐‘ง)

Proof of Theorem comfeq
Dummy variable ๐‘ข is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 comfeq.3 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
21sqxpeqd 5663 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) = ((Baseโ€˜๐ถ) ร— (Baseโ€˜๐ถ)))
3 eqidd 2738 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)))
42, 1, 3mpoeq123dv 7426 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ ((Baseโ€˜๐ถ) ร— (Baseโ€˜๐ถ)), ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))))
5 eqid 2737 . . . . 5 (compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ถ)
6 eqid 2737 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ถ) = (Baseโ€˜๐ถ)
7 comfeq.h . . . . 5 ๐ป = (Hom โ€˜๐ถ)
8 comfeq.1 . . . . 5 ยท = (compโ€˜๐ถ)
95, 6, 7, 8comfffval 17538 . . . 4 (compfโ€˜๐ถ) = (๐‘ข โˆˆ ((Baseโ€˜๐ถ) ร— (Baseโ€˜๐ถ)), ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)))
104, 9eqtr4di 2795 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))) = (compfโ€˜๐ถ))
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Hom โ€˜๐ท) = (Hom โ€˜๐ท)
12 comfeq.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (Homf โ€˜๐ถ) = (Homf โ€˜๐ท))
13123ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (Homf โ€˜๐ถ) = (Homf โ€˜๐ท))
14 xp2nd 7946 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ต)
15143ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ต)
1613ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ))
1715, 16eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (2nd โ€˜๐‘ข) โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
18 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ต)
1918, 16eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
206, 7, 11, 13, 17, 19homfeqval 17537 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง) = ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง))
21 xp1st 7945 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โ†’ (1st โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ต)
22213ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜๐‘ข) โˆˆ ๐ต)
2322, 16eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (1st โ€˜๐‘ข) โˆˆ (Baseโ€˜๐ถ))
246, 7, 11, 13, 23, 17homfeqval 17537 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((1st โ€˜๐‘ข)๐ป(2nd โ€˜๐‘ข)) = ((1st โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)(2nd โ€˜๐‘ข)))
25 df-ov 7354 . . . . . . . . 9 ((1st โ€˜๐‘ข)๐ป(2nd โ€˜๐‘ข)) = (๐ปโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ)
26 df-ov 7354 . . . . . . . . 9 ((1st โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)(2nd โ€˜๐‘ข)) = ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ)
2724, 25, 263eqtr3g 2800 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ปโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ) = ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ))
28 1st2nd2 7952 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โ†’ ๐‘ข = โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ)
29283ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ข = โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ)
3029fveq2d 6843 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ข) = (๐ปโ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ))
3129fveq2d 6843 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) = ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜โŸจ(1st โ€˜๐‘ข), (2nd โ€˜๐‘ข)โŸฉ))
3227, 30, 313eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ข) = ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข))
33 eqidd 2738 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))
3420, 32, 33mpoeq123dv 7426 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต) โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
3534mpoeq3dva 7428 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))))
36 comfeq.4 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ท))
3736sqxpeqd 5663 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) = ((Baseโ€˜๐ท) ร— (Baseโ€˜๐ท)))
38 eqidd 2738 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
3937, 36, 38mpoeq123dv 7426 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ ((Baseโ€˜๐ท) ร— (Baseโ€˜๐ท)), ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ท) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))))
4035, 39eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ ((Baseโ€˜๐ท) ร— (Baseโ€˜๐ท)), ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ท) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))))
41 eqid 2737 . . . . 5 (compfโ€˜๐ท) = (compfโ€˜๐ท)
42 eqid 2737 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ท) = (Baseโ€˜๐ท)
43 comfeq.2 . . . . 5 โˆ™ = (compโ€˜๐ท)
4441, 42, 11, 43comfffval 17538 . . . 4 (compfโ€˜๐ท) = (๐‘ข โˆˆ ((Baseโ€˜๐ท) ร— (Baseโ€˜๐ท)), ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐ท) โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)(Hom โ€˜๐ท)๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ ((Hom โ€˜๐ท)โ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
4540, 44eqtr4di 2795 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) = (compfโ€˜๐ท))
4610, 45eqeq12d 2753 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) โ†” (compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ท)))
47 ovex 7384 . . . . . 6 ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง) โˆˆ V
48 fvex 6852 . . . . . 6 (๐ปโ€˜๐‘ข) โˆˆ V
4947, 48mpoex 8004 . . . . 5 (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) โˆˆ V
5049rgen2w 3067 . . . 4 โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) โˆˆ V
51 mpo2eqb 7482 . . . 4 (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) โˆˆ V โ†’ ((๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))))
5250, 51ax-mp 5 . . 3 ((๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
53 vex 3447 . . . . . . . . 9 ๐‘ฅ โˆˆ V
54 vex 3447 . . . . . . . . 9 ๐‘ฆ โˆˆ V
5553, 54op2ndd 7924 . . . . . . . 8 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘ข) = ๐‘ฆ)
5655oveq1d 7366 . . . . . . 7 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง) = (๐‘ฆ๐ป๐‘ง))
57 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ข) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ))
58 df-ov 7354 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ) = (๐ปโ€˜โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ)
5957, 58eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐ปโ€˜๐‘ข) = (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ))
60 oveq1 7358 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐‘ข ยท ๐‘ง) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง))
6160oveqd 7368 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“))
62 oveq1 7358 . . . . . . . . . 10 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐‘ข โˆ™ ๐‘ง) = (โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง))
6362oveqd 7368 . . . . . . . . 9 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))
6461, 63eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“) โ†” (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
6559, 64raleqbidv 3317 . . . . . . 7 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข)(๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
6656, 65raleqbidv 3317 . . . . . 6 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข)(๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
67 ovex 7384 . . . . . . . 8 (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ V
6867rgen2w 3067 . . . . . . 7 โˆ€๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข)(๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ V
69 mpo2eqb 7482 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข)(๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) โˆˆ V โ†’ ((๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข)(๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . 6 ((๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข)(๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))
71 ralcom 3270 . . . . . 6 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))
7266, 70, 713bitr4g 313 . . . . 5 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ ((๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
7372ralbidv 3172 . . . 4 (๐‘ข = โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
7473ralxp 5795 . . 3 (โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต)โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“)) = (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))
7552, 74bitri 274 . 2 ((๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข ยท ๐‘ง)๐‘“))) = (๐‘ข โˆˆ (๐ต ร— ๐ต), ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘” โˆˆ ((2nd โ€˜๐‘ข)๐ป๐‘ง), ๐‘“ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘ข) โ†ฆ (๐‘”(๐‘ข โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“))
7646, 75bitr3di 285 1 (๐œ‘ โ†’ ((compfโ€˜๐ถ) = (compfโ€˜๐ท) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ๐ป๐‘ฆ)โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ๐ป๐‘ง)(๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ ยท ๐‘ง)๐‘“) = (๐‘”(โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆ™ ๐‘ง)๐‘“)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3062  Vcvv 3443  โŸจcop 4590   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912  Basecbs 17043  Hom chom 17104  compcco 17105  Homf chomf 17506  compfccomf 17507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-homf 17510  df-comf 17511
This theorem is referenced by:  comfeqd  17547  2oppccomf  17567  oppccomfpropd  17569  resssetc  17938  resscatc  17955
  Copyright terms: Public domain W3C validator