MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd00 13999
Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5589 . . . 4 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5589 . . . . 5 (⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
3 swrdval 13998 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
4 fzo0 13054 . . . . . . . . . 10 (𝑋..^𝑋) = ∅
5 0ss 4353 . . . . . . . . . 10 ∅ ⊆ dom 𝑆
64, 5eqsstri 4004 . . . . . . . . 9 (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
76iftruei 4476 . . . . . . . 8 if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
8 zcn 11978 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
98subidd 10977 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋𝑋) = 0)
109oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
11103ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
12 fzo0 13054 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
1311, 12syl6eq 2876 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = ∅)
1413mpteq1d 5151 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
15 mpt0 6486 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
1614, 15syl6eq 2876 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
177, 16syl5eq 2872 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
183, 17eqtrd 2860 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
19183expb 1114 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
202, 19sylan2b 593 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
211, 20sylbi 218 . . 3 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
22 df-substr 13996 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
23 ovex 7184 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
2423mptex 6984 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))) ∈ V
25 0ex 5207 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25ifex 4517 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
2722, 26dmmpo 7763 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
2821, 27eleq2s 2935 . 2 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
29 df-ov 7154 . . 3 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩)
30 ndmfv 6696 . . 3 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩) = ∅)
3129, 30syl5eq 2872 . 2 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
3228, 31pm2.61i 183 1 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3499  wss 3939  c0 4294  ifcif 4469  cop 4569  cmpt 5142   × cxp 5551  dom cdm 5553  cfv 6351  (class class class)co 7151  1st c1st 7681  2nd c2nd 7682  0cc0 10529   + caddc 10532  cmin 10862  cz 11973  ..^cfzo 13026   substr csubstr 13995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-substr 13996
This theorem is referenced by:  pfx00  14029  swrdccatin1  14080  swrdccat3blem  14094
  Copyright terms: Public domain W3C validator