Theorem swrd00 14616

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00	⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd00

Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5677	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2		opelxp 5677	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
3		swrdval 14615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
4		fzo0 13651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋..^𝑋) = ∅
5		0ss 4366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑆
6	4, 5	eqsstri 3996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
7	6	iftruei 4498	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
8		zcn 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
9	8	subidd 11528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
10	9	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
12		fzo0 13651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = ∅)
14	13	mpteq1d 5200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
15		mpt0 6663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
17	7, 16	eqtrid 2777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
18	3, 17	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
19	18	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
20	2, 19	sylan2b 594	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
21	1, 20	sylbi 217	. . 3 ⊢ (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
22		df-substr 14613	. . . 4 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
23		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ∈ V
24	23	mptex 7200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))) ∈ V
25		0ex 5265	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
26	24, 25	ifex 4542	. . . 4 ⊢ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))), ∅) ∈ V
27	22, 26	dmmpo 8053	. . 3 ⊢ dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
28	21, 27	eleq2s 2847	. 2 ⊢ (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
29		df-ov 7393	. . 3 ⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩)
30		ndmfv 6896	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩) = ∅)
31	29, 30	eqtrid 2777	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
32	28, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ifcif 4491  ⟨cop 4598   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  dom cdm 5641  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1^st c1st 7969  2^nd c2nd 7970  0cc0 11075   + caddc 11078   − cmin 11412  ℤcz 12536  ..^cfzo 13622   substr csubstr 14612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-substr 14613

This theorem is referenced by:  pfx00  14646  swrdccatin1  14697  swrdccat3blem  14711