Theorem swrd00 14406

Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
swrd00	⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd00

Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 5636	. . . 4 ⊢ (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2		opelxp 5636	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
3		swrdval 14405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
4		fzo0 13461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋..^𝑋) = ∅
5		0ss 4336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ⊆ dom 𝑆
6	4, 5	eqsstri 3960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
7	6	iftruei 4472	. . . . . . . 8 ⊢ if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
8		zcn 12374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
9	8	subidd 11370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋 − 𝑋) = 0)
10	9	oveq2d 7323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
11	10	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = (0..^0))
12		fzo0 13461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0..^0) = ∅
13	11, 12	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋 − 𝑋)) = ∅)
14	13	mpteq1d 5176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
15		mpt0 6605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
17	7, 16	eqtrid 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋 − 𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
18	3, 17	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
19	18	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
20	2, 19	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
21	1, 20	sylbi 216	. . 3 ⊢ (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
22		df-substr 14403	. . . 4 ⊢ substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))), ∅))
23		ovex 7340	. . . . . 6 ⊢ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ∈ V
24	23	mptex 7131	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))) ∈ V
25		0ex 5240	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
26	24, 25	ifex 4515	. . . 4 ⊢ if(((1st ‘𝑏)..^(2nd ‘𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd ‘𝑏) − (1st ‘𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st ‘𝑏)))), ∅) ∈ V
27	22, 26	dmmpo 7943	. . 3 ⊢ dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
28	21, 27	eleq2s 2855	. 2 ⊢ (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
29		df-ov 7310	. . 3 ⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩)
30		ndmfv 6836	. . 3 ⊢ (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩) = ∅)
31	29, 30	eqtrid 2788	. 2 ⊢ (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
32	28, 31	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ifcif 4465  ⟨cop 4571   ↦ cmpt 5164   × cxp 5598  dom cdm 5600  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  1^st c1st 7861  2^nd c2nd 7862  0cc0 10921   + caddc 10924   − cmin 11255  ℤcz 12369  ..^cfzo 13432   substr csubstr 14402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-substr 14403

This theorem is referenced by:  pfx00  14436  swrdccatin1  14487  swrdccat3blem  14501