MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd00 14618
Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5708 . . . 4 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5708 . . . . 5 (⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
3 swrdval 14617 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
4 fzo0 13680 . . . . . . . . . 10 (𝑋..^𝑋) = ∅
5 0ss 4392 . . . . . . . . . 10 ∅ ⊆ dom 𝑆
64, 5eqsstri 4012 . . . . . . . . 9 (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
76iftruei 4531 . . . . . . . 8 if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
8 zcn 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
98subidd 11581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋𝑋) = 0)
109oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
11103ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
12 fzo0 13680 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
1311, 12eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = ∅)
1413mpteq1d 5237 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
15 mpt0 6691 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
1614, 15eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
177, 16eqtrid 2779 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
183, 17eqtrd 2767 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
19183expb 1118 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
202, 19sylan2b 593 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
211, 20sylbi 216 . . 3 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
22 df-substr 14615 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
23 ovex 7447 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
2423mptex 7229 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))) ∈ V
25 0ex 5301 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25ifex 4574 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
2722, 26dmmpo 8069 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
2821, 27eleq2s 2846 . 2 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
29 df-ov 7417 . . 3 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩)
30 ndmfv 6926 . . 3 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩) = ∅)
3129, 30eqtrid 2779 . 2 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
3228, 31pm2.61i 182 1 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3469  wss 3944  c0 4318  ifcif 4524  cop 4630  cmpt 5225   × cxp 5670  dom cdm 5672  cfv 6542  (class class class)co 7414  1st c1st 7985  2nd c2nd 7986  0cc0 11130   + caddc 11133  cmin 11466  cz 12580  ..^cfzo 13651   substr csubstr 14614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-substr 14615
This theorem is referenced by:  pfx00  14648  swrdccatin1  14699  swrdccat3blem  14713
  Copyright terms: Public domain W3C validator