MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd00 14679
Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables 𝑠 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5725 . . . 4 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5725 . . . . 5 (⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ))
3 swrdval 14678 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅))
4 fzo0 13720 . . . . . . . . . 10 (𝑋..^𝑋) = ∅
5 0ss 4406 . . . . . . . . . 10 ∅ ⊆ dom 𝑆
64, 5eqsstri 4030 . . . . . . . . 9 (𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆
76iftruei 4538 . . . . . . . 8 if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋)))
8 zcn 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
98subidd 11606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℤ → (𝑋𝑋) = 0)
109oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℤ → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
11103ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = (0..^0))
12 fzo0 13720 . . . . . . . . . . 11 (0..^0) = ∅
1311, 12eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (0..^(𝑋𝑋)) = ∅)
1413mpteq1d 5243 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))))
15 mpt0 6711 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ∅ ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅
1614, 15eqtrdi 2791 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))) = ∅)
177, 16eqtrid 2787 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → if((𝑋..^𝑋) ⊆ dom 𝑆, (𝑥 ∈ (0..^(𝑋𝑋)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 𝑋))), ∅) = ∅)
183, 17eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
19183expb 1119 . . . . 5 ((𝑆 ∈ V ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
202, 19sylan2b 594 . . . 4 ((𝑆 ∈ V ∧ ⟨𝑋, 𝑋⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
211, 20sylbi 217 . . 3 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
22 df-substr 14676 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅))
23 ovex 7464 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
2423mptex 7243 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))) ∈ V
25 0ex 5313 . . . . 5 ∅ ∈ V
2624, 25ifex 4581 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑥 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑥 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
2722, 26dmmpo 8095 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
2821, 27eleq2s 2857 . 2 (⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
29 df-ov 7434 . . 3 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩)
30 ndmfv 6942 . . 3 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩) = ∅)
3129, 30eqtrid 2787 . 2 (¬ ⟨𝑆, ⟨𝑋, 𝑋⟩⟩ ∈ dom substr → (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅)
3228, 31pm2.61i 182 1 (𝑆 substr ⟨𝑋, 𝑋⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  ifcif 4531  cop 4637  cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  1st c1st 8011  2nd c2nd 8012  0cc0 11153   + caddc 11156  cmin 11490  cz 12611  ..^cfzo 13691   substr csubstr 14675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-substr 14676
This theorem is referenced by:  pfx00  14709  swrdccatin1  14760  swrdccat3blem  14774
  Copyright terms: Public domain W3C validator