MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaval 17527
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17526 . . . . . 6 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
11 fnfun 6659 . . . . . 6 ( Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun )
13123ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → Fun )
14 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑌))
1615sneqd 4644 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹𝑞)} = {(𝐹𝑌)})
17 oveq2 7434 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
1817fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
1914, 16, 18mpoeq123dv 7501 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
2019ssiun2s 5055 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21203ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17509 . . . . . 6 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23223ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
2421, 23sseqtrrd 4023 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ )
25 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → 𝑋𝐾)
26 fvex 6915 . . . . . . 7 (𝐹𝑌) ∈ V
2726snid 4669 . . . . . 6 (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}
28 opelxpi 5719 . . . . . 6 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
2925, 27, 28sylancl 584 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
30 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31 fvex 6915 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
3230, 31dmmpo 8081 . . . . 5 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹𝑌)})
3329, 32eleqtrrdi 2840 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34 funssfv 6923 . . . 4 ((Fun ∧ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∧ ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
36 df-ov 7429 . . 3 (𝑋 (𝐹𝑌)) = ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
37 df-ov 7429 . . 3 (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2793 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)))
39 fvoveq1 7449 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40 eqidd 2729 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41 fvex 6915 . . . 4 (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpo 7587 . . 3 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4325, 27, 42sylancl 584 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4438, 43eqtrd 2768 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3949  {csn 4632  cop 4638   ciun 5000   × cxp 5680  dom cdm 5682  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  ontowfo 6551  cfv 6553  (class class class)co 7426  cmpo 7428  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  s cimas 17493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-imas 17497
This theorem is referenced by:  xpsvsca  17566  lmhmimasvsca  32780  qusvsval  33088  imaslmod  33089  imaslmhm  33093  quslmhm  33095
  Copyright terms: Public domain W3C validator