MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaval 17380
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑋(π‘ž,π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17379 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
11 fnfun 6599 . . . . . 6 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ Fun βˆ™ )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Fun βˆ™ )
14 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ 𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘Œ))
1615sneqd 4596 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} = {(πΉβ€˜π‘Œ)})
17 oveq2 7359 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 Β· π‘ž) = (𝑝 Β· π‘Œ))
1817fveq2d 6843 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
1914, 16, 18mpoeq123dv 7426 . . . . . . 7 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
2019ssiun2s 5006 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
21203ad2ant3 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17362 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
23223ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
2421, 23sseqtrrd 3983 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ )
25 simp2 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
26 fvex 6852 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ V
2726snid 4620 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}
28 opelxpi 5668 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
2925, 27, 28sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
30 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
31 fvex 6852 . . . . . 6 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) ∈ V
3230, 31dmmpo 7995 . . . . 5 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)})
3329, 32eleqtrrdi 2849 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
34 funssfv 6860 . . . 4 ((Fun βˆ™ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ ∧ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
36 df-ov 7354 . . 3 (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
37 df-ov 7354 . . 3 (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2802 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)))
39 fvoveq1 7374 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
40 eqidd 2738 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
41 fvex 6852 . . . 4 (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpo 7509 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4325, 27, 42sylancl 586 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4438, 43eqtrd 2777 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3908  {csn 4584  βŸ¨cop 4590  βˆͺ ciun 4952   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  β€“ontoβ†’wfo 6491  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353  Basecbs 17043  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097   β€œs cimas 17346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-imas 17350
This theorem is referenced by:  xpsvsca  17419  qusscaval  31970  imaslmod  31971  quslmhm  31973
  Copyright terms: Public domain W3C validator