Theorem imasvscaval 17719

Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))

Assertion

Ref	Expression
imasvscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞, 𝑝, 𝑎)   𝐺(𝑞, 𝑝, 𝑎)   𝑋(𝑞, 𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞, 𝑝, 𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11		fnfun 6644	. . . . . 6 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun ∙ )
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ∙ )
13	12	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → Fun ∙ )
14		eqidd 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → 𝐾 = 𝐾)
15		fveq2 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑌))
16	15	sneqd 4592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹‘𝑞)} = {(𝐹‘𝑌)})
17		oveq2 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
18	17	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
19	14, 16, 18	mpoeq123dv 7499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
20	19	ssiun2s 5006	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21	20	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23	22	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
24	21, 23	sseqtrrd 3946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ )
25		simp2 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		fvex 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ V
27	26	snid 4619	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}
28		opelxpi 5688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
29	25, 27, 28	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
30		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
32	30, 31	dmmpo 8086	. . . . 5 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)})
33	29, 32	eleqtrrdi 2871	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34		funssfv 6911	. . . 4 ⊢ ((Fun ∙ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ ∧ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
35	13, 24, 33, 34	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
36		df-ov 7427	. . 3 ⊢ (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
37		df-ov 7427	. . 3 ⊢ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)))
39		fvoveq1 7447	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41		fvex 6903	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
42	39, 40, 30, 41	ovmpo 7584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
43	25, 27, 42	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
44	38, 43	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ ciun 4950   × cxp 5649  dom cdm 5651  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441   “_s cimas 17685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-imas 17689

This theorem is used by:  xpsvsca  17758  lmhmimasvsca  33649  qusvsval  33963  imaslmod  33964  imaslmhm  33968  quslmhm  33970