MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasvscaval 17505
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑋(π‘ž,π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)
Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17504 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
11 fnfun 6648 . . . . . 6 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ Fun βˆ™ )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
13123ad2ant1 1131 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Fun βˆ™ )
14 eqidd 2728 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ 𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6891 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘Œ))
1615sneqd 4636 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} = {(πΉβ€˜π‘Œ)})
17 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 Β· π‘ž) = (𝑝 Β· π‘Œ))
1817fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
1914, 16, 18mpoeq123dv 7489 . . . . . . 7 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
2019ssiun2s 5045 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
21203ad2ant3 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17487 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
23223ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
2421, 23sseqtrrd 4019 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ )
25 simp2 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
26 fvex 6904 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ V
2726snid 4660 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}
28 opelxpi 5709 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
2925, 27, 28sylancl 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
30 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
31 fvex 6904 . . . . . 6 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) ∈ V
3230, 31dmmpo 8067 . . . . 5 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)})
3329, 32eleqtrrdi 2839 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
34 funssfv 6912 . . . 4 ((Fun βˆ™ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ ∧ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
36 df-ov 7417 . . 3 (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
37 df-ov 7417 . . 3 (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2792 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)))
39 fvoveq1 7437 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
40 eqidd 2728 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
41 fvex 6904 . . . 4 (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpo 7573 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4325, 27, 42sylancl 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4438, 43eqtrd 2767 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944  {csn 4624  βŸ¨cop 4630  βˆͺ ciun 4991   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  Basecbs 17165  Scalarcsca 17221   ·𝑠 cvsca 17222   β€œs cimas 17471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-imas 17475
This theorem is referenced by:  xpsvsca  17544  lmhmimasvsca  32724  qusvsval  32991  imaslmod  32992  imaslmhm  32996  quslmhm  32998
  Copyright terms: Public domain W3C validator