Theorem imasvscaval 17471

Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))

Assertion

Ref	Expression
imasvscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17470	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11		fnfun 6600	. . . . . 6 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun ∙ )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ∙ )
13	12	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → Fun ∙ )
14		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → 𝐾 = 𝐾)
15		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑌))
16	15	sneqd 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹‘𝑞)} = {(𝐹‘𝑌)})
17		oveq2 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
18	17	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
19	14, 16, 18	mpoeq123dv 7443	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
20	19	ssiun2s 5006	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21	20	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17453	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23	22	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
24	21, 23	sseqtrrd 3973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ )
25		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		fvex 6855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ V
27	26	snid 4621	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}
28		opelxpi 5669	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
29	25, 27, 28	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
30		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31		fvex 6855	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
32	30, 31	dmmpo 8025	. . . . 5 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)})
33	29, 32	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34		funssfv 6863	. . . 4 ⊢ ((Fun ∙ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ ∧ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
35	13, 24, 33, 34	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
36		df-ov 7371	. . 3 ⊢ (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
37		df-ov 7371	. . 3 ⊢ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)))
39		fvoveq1 7391	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41		fvex 6855	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
42	39, 40, 30, 41	ovmpo 7528	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
43	25, 27, 42	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
44	38, 43	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ⟨cop 4588  ∪ ciun 4948   × cxp 5630  dom cdm 5632  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  –onto→wfo 6498  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193   “_s cimas 17437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-imas 17441

This theorem is referenced by:  xpsvsca  17510  lmhmimasvsca  33132  qusvsval  33445  imaslmod  33446  imaslmhm  33450  quslmhm  33452