MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasvscaval 17514
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑋(π‘ž,π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)
Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17513 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
11 fnfun 6649 . . . . . 6 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ Fun βˆ™ )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
13123ad2ant1 1130 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Fun βˆ™ )
14 eqidd 2726 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ 𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6890 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘Œ))
1615sneqd 4637 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} = {(πΉβ€˜π‘Œ)})
17 oveq2 7421 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 Β· π‘ž) = (𝑝 Β· π‘Œ))
1817fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
1914, 16, 18mpoeq123dv 7489 . . . . . . 7 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
2019ssiun2s 5047 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
21203ad2ant3 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17496 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
23223ad2ant1 1130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
2421, 23sseqtrrd 4015 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ )
25 simp2 1134 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
26 fvex 6903 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ V
2726snid 4661 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}
28 opelxpi 5710 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
2925, 27, 28sylancl 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
30 eqid 2725 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
31 fvex 6903 . . . . . 6 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) ∈ V
3230, 31dmmpo 8069 . . . . 5 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)})
3329, 32eleqtrrdi 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
34 funssfv 6911 . . . 4 ((Fun βˆ™ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ ∧ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1368 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
36 df-ov 7416 . . 3 (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
37 df-ov 7416 . . 3 (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2790 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)))
39 fvoveq1 7436 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
40 eqidd 2726 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
41 fvex 6903 . . . 4 (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpo 7575 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4325, 27, 42sylancl 584 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4438, 43eqtrd 2765 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {csn 4625  βŸ¨cop 4631  βˆͺ ciun 4992   Γ— cxp 5671  dom cdm 5673  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231   β€œs cimas 17480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-imas 17484
This theorem is referenced by:  xpsvsca  17553  lmhmimasvsca  32799  qusvsval  33107  imaslmod  33108  imaslmhm  33112  quslmhm  33114
  Copyright terms: Public domain W3C validator