Theorem imasvscaval 17591

Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))

Assertion

Ref	Expression
imasvscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11		fnfun 6636	. . . . . 6 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun ∙ )
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ∙ )
13	12	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → Fun ∙ )
14		eqidd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → 𝐾 = 𝐾)
15		fveq2 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑌))
16	15	sneqd 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹‘𝑞)} = {(𝐹‘𝑌)})
17		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
18	17	fveq2d 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
19	14, 16, 18	mpoeq123dv 7486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
20	19	ssiun2s 5017	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21	20	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23	22	3ad2ant1 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
24	21, 23	sseqtrrd 3982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ )
25		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ V
27	26	snid 4633	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}
28		opelxpi 5699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
29	25, 27, 28	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
30		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31		fvex 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
32	30, 31	dmmpo 8067	. . . . 5 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)})
33	29, 32	eleqtrrdi 2880	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34		funssfv 6903	. . . 4 ⊢ ((Fun ∙ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ ∧ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
35	13, 24, 33, 34	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
36		df-ov 7414	. . 3 ⊢ (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
37		df-ov 7414	. . 3 ⊢ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)))
39		fvoveq1 7434	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
42	39, 40, 30, 41	ovmpo 7571	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
43	25, 27, 42	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
44	38, 43	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  {csn 4594  ⟨cop 4600  ∪ ciun 4960   × cxp 5660  dom cdm 5662  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  –onto→wfo 6535  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312   ·_𝑠 cvsca 17313   “_s cimas 17557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-imas 17561

This theorem is referenced by:  xpsvsca  17630  lmhmimasvsca  33298  qusvsval  33614  imaslmod  33615  imaslmhm  33619  quslmhm  33621