Theorem imasvscaval 16584

Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))

Assertion

Ref	Expression
imasvscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 16583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11		fnfun 6233	. . . . . 6 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun ∙ )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ∙ )
13	12	3ad2ant1 1124	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → Fun ∙ )
14		eqidd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → 𝐾 = 𝐾)
15		fveq2 6446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑌))
16	15	sneqd 4409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹‘𝑞)} = {(𝐹‘𝑌)})
17		oveq2 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
18	17	fveq2d 6450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
19	14, 16, 18	mpt2eq123dv 6994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
20	19	ssiun2s 4797	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21	20	3ad2ant3 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 16566	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23	22	3ad2ant1 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
24	21, 23	sseqtr4d 3860	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ )
25		simp2 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		fvex 6459	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ V
27	26	snid 4429	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}
28		opelxpi 5392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
29	25, 27, 28	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
30		eqid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31		fvex 6459	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
32	30, 31	dmmpt2 7520	. . . . 5 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)})
33	29, 32	syl6eleqr 2869	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34		funssfv 6467	. . . 4 ⊢ ((Fun ∙ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ ∧ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
35	13, 24, 33, 34	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
36		df-ov 6925	. . 3 ⊢ (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
37		df-ov 6925	. . 3 ⊢ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2838	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)))
39		fvoveq1 6945	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40		eqidd 2778	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41		fvex 6459	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
42	39, 40, 30, 41	ovmpt2 7073	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
43	25, 27, 42	sylancl 580	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
44	38, 43	eqtrd 2813	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791  {csn 4397  ⟨cop 4403  ∪ ciun 4753   × cxp 5353  dom cdm 5355  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  –onto→wfo 6133  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342   “_s cimas 16550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-imas 16554

This theorem is referenced by:  xpsvsca  16625  qusscaval  30410  imaslmod  30411  quslmhm  30413