Theorem imasvscaval 17477

Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasvscaf.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasvscaf.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
imasvscaf.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
imasvscaf.s	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
imasvscaf.e	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))

Assertion

Ref	Expression
imasvscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ∙ ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasvscaf.u	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasvscaf.v	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasvscaf.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
4		imasvscaf.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
5		imasvscaf.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6		imasvscaf.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐺)
7		imasvscaf.q	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
8		imasvscaf.s	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑈)
9		imasvscaf.e	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑞 ∈ 𝑉)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	imasvscafn 17476	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ Fn (𝐾 × 𝐵))
11		fnfun 6600	. . . . . 6 ⊢ ( ∙ Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun ∙ )
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ∙ )
13	12	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → Fun ∙ )
14		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → 𝐾 = 𝐾)
15		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘𝑞) = (𝐹‘𝑌))
16	15	sneqd 4597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹‘𝑞)} = {(𝐹‘𝑌)})
17		oveq2 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
18	17	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
19	14, 16, 18	mpoeq123dv 7444	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
20	19	ssiun2s 5007	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21	20	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	imasvsca 17459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ∙ = ∪ 𝑞 ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
24	21, 23	sseqtrrd 3981	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ )
25		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26		fvex 6853	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ V
27	26	snid 4622	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}
28		opelxpi 5668	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
29	25, 27, 28	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)}))
30		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31		fvex 6853	. . . . . 6 ⊢ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
32	30, 31	dmmpo 8029	. . . . 5 ⊢ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹‘𝑌)})
33	29, 32	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34		funssfv 6861	. . . 4 ⊢ ((Fun ∙ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∙ ∧ ⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
35	13, 24, 33, 34	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩))
36		df-ov 7372	. . 3 ⊢ (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = ( ∙ ‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
37		df-ov 7372	. . 3 ⊢ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹‘𝑌)⟩)
38	35, 36, 37	3eqtr4g 2789	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)))
39		fvoveq1 7392	. . . 4 ⊢ (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41		fvex 6853	. . . 4 ⊢ (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
42	39, 40, 30, 41	ovmpo 7529	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ {(𝐹‘𝑌)}) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
43	25, 27, 42	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹‘𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
44	38, 43	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ∙ (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ⟨cop 4591  ∪ ciun 4951   × cxp 5629  dom cdm 5631  Fun wfun 6493   Fn wfn 6494  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200   “_s cimas 17443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-imas 17447

This theorem is referenced by:  xpsvsca  17516  lmhmimasvsca  32953  qusvsval  33296  imaslmod  33297  imaslmhm  33301  quslmhm  33303