MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaval 16584
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 16583 . . . . . 6 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
11 fnfun 6233 . . . . . 6 ( Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun )
13123ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → Fun )
14 eqidd 2778 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6446 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑌))
1615sneqd 4409 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹𝑞)} = {(𝐹𝑌)})
17 oveq2 6930 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
1817fveq2d 6450 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
1914, 16, 18mpt2eq123dv 6994 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
2019ssiun2s 4797 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21203ad2ant3 1126 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 16566 . . . . . 6 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23223ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
2421, 23sseqtr4d 3860 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ )
25 simp2 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → 𝑋𝐾)
26 fvex 6459 . . . . . . 7 (𝐹𝑌) ∈ V
2726snid 4429 . . . . . 6 (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}
28 opelxpi 5392 . . . . . 6 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
2925, 27, 28sylancl 580 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
30 eqid 2777 . . . . . 6 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31 fvex 6459 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
3230, 31dmmpt2 7520 . . . . 5 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹𝑌)})
3329, 32syl6eleqr 2869 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34 funssfv 6467 . . . 4 ((Fun ∧ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∧ ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1439 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
36 df-ov 6925 . . 3 (𝑋 (𝐹𝑌)) = ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
37 df-ov 6925 . . 3 (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2838 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)))
39 fvoveq1 6945 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40 eqidd 2778 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41 fvex 6459 . . . 4 (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpt2 7073 . . 3 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4325, 27, 42sylancl 580 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4438, 43eqtrd 2813 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106  wss 3791  {csn 4397  cop 4403   ciun 4753   × cxp 5353  dom cdm 5355  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ontowfo 6133  cfv 6135  (class class class)co 6922  cmpt2 6924  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  s cimas 16550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-imas 16554
This theorem is referenced by:  xpsvsca  16625  qusscaval  30410  imaslmod  30411  quslmhm  30413
  Copyright terms: Public domain W3C validator