MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imasvscaval 17480
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑋(π‘ž,π‘Ž)   π‘Œ(π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)
Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17479 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
11 fnfun 6646 . . . . . 6 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ Fun βˆ™ )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ Fun βˆ™ )
14 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ 𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΉβ€˜π‘Œ))
1615sneqd 4639 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} = {(πΉβ€˜π‘Œ)})
17 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 Β· π‘ž) = (𝑝 Β· π‘Œ))
1817fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (π‘ž = π‘Œ β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
1914, 16, 18mpoeq123dv 7480 . . . . . . 7 (π‘ž = π‘Œ β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
2019ssiun2s 5050 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑉 β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
21203ad2ant3 1135 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17462 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
23223ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
2421, 23sseqtrrd 4022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ )
25 simp2 1137 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
26 fvex 6901 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ V
2726snid 4663 . . . . . 6 (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}
28 opelxpi 5712 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
2925, 27, 28sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)}))
30 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))
31 fvex 6901 . . . . . 6 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) ∈ V
3230, 31dmmpo 8053 . . . . 5 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘Œ)})
3329, 32eleqtrrdi 2844 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))))
34 funssfv 6909 . . . 4 ((Fun βˆ™ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ))) βŠ† βˆ™ ∧ βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1371 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩))
36 df-ov 7408 . . 3 (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = ( βˆ™ β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
37 df-ov 7408 . . 3 (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))β€˜βŸ¨π‘‹, (πΉβ€˜π‘Œ)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2797 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)))
39 fvoveq1 7428 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
40 eqidd 2733 . . . 4 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
41 fvex 6901 . . . 4 (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpo 7564 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)}) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4325, 27, 42sylancl 586 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘Œ)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Œ)))(πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
4438, 43eqtrd 2772 1 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ™ (πΉβ€˜π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋 Β· π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ ciun 4996   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197   β€œs cimas 17446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-imas 17450
This theorem is referenced by:  xpsvsca  17519  qusvsval  32455  imaslmod  32456  quslmhm  32458
  Copyright terms: Public domain W3C validator