MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscaval 17420
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscaval ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑞,𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasvscaf.v . . . . . . 7 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasvscaf.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝑍)
5 imasvscaf.g . . . . . . 7 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
6 imasvscaf.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐺)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑅)
8 imasvscaf.s . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑈)
9 imasvscaf.e . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 17419 . . . . . 6 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
11 fnfun 6602 . . . . . 6 ( Fn (𝐾 × 𝐵) → Fun )
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → Fun )
13123ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → Fun )
14 eqidd 2737 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌𝐾 = 𝐾)
15 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹𝑞) = (𝐹𝑌))
1615sneqd 4598 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → {(𝐹𝑞)} = {(𝐹𝑌)})
17 oveq2 7365 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝 · 𝑞) = (𝑝 · 𝑌))
1817fveq2d 6846 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑌 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
1914, 16, 18mpoeq123dv 7432 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑌 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
2019ssiun2s 5008 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
21203ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 17402 . . . . . 6 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
23223ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
2421, 23sseqtrrd 3985 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ )
25 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → 𝑋𝐾)
26 fvex 6855 . . . . . . 7 (𝐹𝑌) ∈ V
2726snid 4622 . . . . . 6 (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}
28 opelxpi 5670 . . . . . 6 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
2925, 27, 28sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑌)}))
30 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))
31 fvex 6855 . . . . . 6 (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) ∈ V
3230, 31dmmpo 8003 . . . . 5 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) = (𝐾 × {(𝐹𝑌)})
3329, 32eleqtrrdi 2849 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))))
34 funssfv 6863 . . . 4 ((Fun ∧ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌))) ⊆ ∧ ⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
3513, 24, 33, 34syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩))
36 df-ov 7360 . . 3 (𝑋 (𝐹𝑌)) = ( ‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
37 df-ov 7360 . . 3 (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))‘⟨𝑋, (𝐹𝑌)⟩)
3835, 36, 373eqtr4g 2801 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)))
39 fvoveq1 7380 . . . 4 (𝑝 = 𝑋 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
40 eqidd 2737 . . . 4 (𝑥 = (𝐹𝑌) → (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
41 fvex 6855 . . . 4 (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)) ∈ V
4239, 40, 30, 41ovmpo 7515 . . 3 ((𝑋𝐾 ∧ (𝐹𝑌) ∈ {(𝐹𝑌)}) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4325, 27, 42sylancl 586 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑌)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑌)))(𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
4438, 43eqtrd 2776 1 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝑉) → (𝑋 (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  {csn 4586  cop 4592   ciun 4954   × cxp 5631  dom cdm 5633  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  s cimas 17386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-imas 17390
This theorem is referenced by:  xpsvsca  17459  qusscaval  32144  imaslmod  32145  quslmhm  32147
  Copyright terms: Public domain W3C validator