MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscafn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscafn 16669
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . . . . 8 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2 fvex 6514 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V
31, 2fnmpoi 7578 . . . . . . 7 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
4 fnrel 6289 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) → Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
65rgenw 3100 . . . . 5 𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7 reliun 5540 . . . . 5 (Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∀𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
86, 7mpbir 223 . . . 4 Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐺)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑅)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 = ( ·𝑠𝑈)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 16652 . . . . 5 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
1817releqd 5504 . . . 4 (𝜑 → (Rel ↔ Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
198, 18mpbiri 250 . . 3 (𝜑 → Rel )
20 dffn2 6348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V)
213, 20mpbi 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V
22 fssxp 6365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V)
24 fof 6421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
2625ffvelrnda 6678 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2726snssd 4617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
28 xpss2 5428 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
29 xpss1 5427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3123, 30syl5ss 3871 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3231ralrimiva 3132 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
33 iunss 4836 . . . . . . . . 9 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3432, 33sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3517, 34eqsstrd 3897 . . . . . . 7 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
36 dmss 5622 . . . . . . 7 ( ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
38 vn0 4192 . . . . . . 7 V ≠ ∅
39 dmxp 5643 . . . . . . 7 (V ≠ ∅ → dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵)
4137, 40syl6sseq 3909 . . . . 5 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × 𝐵))
42 forn 6424 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
4443xpeq2d 5438 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) = (𝐾 × 𝐵))
4541, 44sseqtr4d 3900 . . . 4 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹))
46 df-br 4931 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤 ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ )
4717eleq2d 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
4847adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
49 eliun 4797 . . . . . . . . . . . 12 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
50 df-3an 1070 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉) ↔ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉))
511mpofun 7094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
52 funopfv 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤)
54 df-ov 6981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
55 opex 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ V
56 vex 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑤 ∈ V
5755, 56opeldm 5627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
581, 2dmmpo 7579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
5957, 58syl6eleq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
60 opelxp 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
6159, 60sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
62 fvoveq1 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
63 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
64 fvoveq1 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
65 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6664, 65cbvmpov 7067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑧𝐾, 𝑦 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6762, 63, 66, 2ovmpo 7128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6861, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6954, 68syl5eqr 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7053, 69eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7170adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
72 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
73 elsni 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)} → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
7461, 73simpl2im 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
7572, 74impel 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7671, 75eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)))
7776ex 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
7850, 77sylan2br 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
7978anassrs 460 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) ∧ 𝑞𝑉) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8079rexlimdva 3229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8149, 80syl5bi 234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8248, 81sylbid 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8346, 82syl5bi 234 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8483alrimiv 1886 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
85 mo2icl 3621 . . . . . . . 8 (∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
8786ralrimivva 3141 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
88 fofn 6423 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
89 opeq2 4679 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
9089breq1d 4940 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (⟨𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9190mobidv 2560 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9291ralrn 6681 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9311, 88, 923syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9493ralbidv 3147 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9587, 94mpbird 249 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
96 breq1 4933 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 𝑤 ↔ ⟨𝑝, 𝑦 𝑤))
9796mobidv 2560 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤))
9897ralxp 5563 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
9995, 98sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤)
100 ssralv 3925 . . . 4 (dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹) → (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10145, 99, 100sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤)
102 dffun7 6217 . . 3 (Fun ↔ (Rel ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10319, 101, 102sylanbrc 575 . 2 (𝜑 → Fun )
104 eqimss2 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
10517, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
106 iunss 4836 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
107105, 106sylib 210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
108107r19.21bi 3158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
109108adantrl 703 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
110 dmss 5622 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
11258, 111syl5eqssr 3908 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ dom )
113 simprl 758 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → 𝑝𝐾)
114 fvex 6514 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑞) ∈ V
115114snid 4474 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}
116 opelxpi 5445 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
117113, 115, 116sylancl 577 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
118112, 117sseldd 3861 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
119118ralrimivva 3141 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
120 opeq2 4679 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑞) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩)
121120eleq1d 2850 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑞) → (⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
122121ralrn 6681 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
12311, 88, 1223syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
124123ralbidv 3147 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
125119, 124mpbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
126 eleq1 2853 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 ∈ dom ↔ ⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ))
127126ralxp 5563 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
128125, 127sylibr 226 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
129 dfss3 3849 . . . . 5 ((𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
130128, 129sylibr 226 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom )
13144, 130eqsstr3d 3898 . . 3 (𝜑 → (𝐾 × 𝐵) ⊆ dom )
13241, 131eqssd 3877 . 2 (𝜑 → dom = (𝐾 × 𝐵))
133 df-fn 6193 . 2 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ (Fun ∧ dom = (𝐾 × 𝐵)))
134103, 132, 133sylanbrc 575 1 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068  wal 1505   = wceq 1507  wcel 2050  ∃*wmo 2545  wne 2967  wral 3088  wrex 3089  Vcvv 3415  wss 3831  c0 4180  {csn 4442  cop 4448   ciun 4793   class class class wbr 4930   × cxp 5406  dom cdm 5408  ran crn 5409  Rel wrel 5413  Fun wfun 6184   Fn wfn 6185  wf 6186  ontowfo 6188  cfv 6190  (class class class)co 6978  cmpo 6980  Basecbs 16342  Scalarcsca 16427   ·𝑠 cvsca 16428  s cimas 16636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-int 4751  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-1o 7907  df-oadd 7911  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-fin 8312  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-fz 12712  df-struct 16344  df-ndx 16345  df-slot 16346  df-base 16348  df-plusg 16437  df-mulr 16438  df-sca 16440  df-vsca 16441  df-ip 16442  df-tset 16443  df-ple 16444  df-ds 16446  df-imas 16640
This theorem is referenced by:  imasvscaval  16670  imasvscaf  16671
  Copyright terms: Public domain W3C validator