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Theorem imasvscafn 16398
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasvscaf.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasvscaf.f (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
imasvscaf.r (𝜑𝑅𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
imasvscaf.k 𝐾 = (Base‘𝐺)
imasvscaf.q · = ( ·𝑠𝑅)
imasvscaf.s = ( ·𝑠𝑈)
imasvscaf.e ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑝,𝑎,𝑞,𝐹   𝐾,𝑎,𝑝,𝑞   𝜑,𝑎,𝑝,𝑞   𝐵,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞   · ,𝑝,𝑞   ,𝑎,𝑝,𝑞   𝑉,𝑎,𝑝,𝑞
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑅(𝑎)   · (𝑎)   𝑈(𝑞,𝑝,𝑎)   𝐺(𝑞,𝑝,𝑎)   𝑍(𝑞,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2806 . . . . . . . 8 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2 fvex 6417 . . . . . . . 8 (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) ∈ V
31, 2fnmpt2i 7468 . . . . . . 7 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
4 fnrel 6196 . . . . . . 7 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) → Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
65rgenw 3112 . . . . 5 𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7 reliun 5441 . . . . 5 (Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∀𝑞𝑉 Rel (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
86, 7mpbir 222 . . . 4 Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝐺)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑅)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 = ( ·𝑠𝑈)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 16381 . . . . 5 (𝜑 = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
1817releqd 5405 . . . 4 (𝜑 → (Rel ↔ Rel 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
198, 18mpbiri 249 . . 3 (𝜑 → Rel )
20 dffn2 6254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) Fn (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V)
213, 20mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V
22 fssxp 6271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))):(𝐾 × {(𝐹𝑞)})⟶V → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V)
24 fof 6327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹:𝑉𝐵)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:𝑉𝐵)
2625ffvelrnda 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐵)
2726snssd 4530 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → {(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵)
28 xpss2 5330 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐹𝑞)} ⊆ 𝐵 → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵))
29 xpss1 5329 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ (𝐾 × 𝐵) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑞𝑉) → ((𝐾 × {(𝐹𝑞)}) × V) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3123, 30syl5ss 3809 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3231ralrimiva 3154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
33 iunss 4753 . . . . . . . . 9 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3432, 33sylibr 225 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
3517, 34eqsstrd 3836 . . . . . . 7 (𝜑 ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V))
36 dmss 5524 . . . . . . 7 ( ⊆ ((𝐾 × 𝐵) × V) → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom ⊆ dom ((𝐾 × 𝐵) × V))
38 vn0 4126 . . . . . . 7 V ≠ ∅
39 dmxp 5545 . . . . . . 7 (V ≠ ∅ → dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 × 𝐵) × V) = (𝐾 × 𝐵)
4137, 40syl6sseq 3848 . . . . 5 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × 𝐵))
42 forn 6330 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 = 𝐵)
4443xpeq2d 5340 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) = (𝐾 × 𝐵))
4541, 44sseqtr4d 3839 . . . 4 (𝜑 → dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹))
46 df-br 4845 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤 ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ )
4717eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
4847adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ ↔ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))))
49 eliun 4716 . . . . . . . . . . . 12 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ↔ ∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
50 df-3an 1102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉) ↔ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉))
511mpt2fun 6988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
52 funopfv 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = 𝑤)
54 df-ov 6873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
55 opex 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ V
56 vex 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑤 ∈ V
5755, 56opeldm 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
581, 2dmmpt2 7469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝐾 × {(𝐹𝑞)})
5957, 58syl6eleq 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
60 opelxp 5346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ↔ (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
6159, 60sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}))
62 fvoveq1 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
63 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
64 fvoveq1 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
65 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)) = (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6664, 65cbvmpt2v 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) = (𝑧𝐾, 𝑦 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑧 · 𝑞)))
6762, 63, 66, 2ovmpt2 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)}) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6861, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝑝(𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))(𝐹𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
6954, 68syl5eqr 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))‘⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7053, 69eqtr3d 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7170adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7261simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)})
73 elsni 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹𝑎) ∈ {(𝐹𝑞)} → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
75 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
7675imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7774, 76sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
7871, 77eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) ∧ ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)))
7978ex 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8050, 79sylan2br 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((𝑝𝐾𝑎𝑉) ∧ 𝑞𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8180anassrs 455 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) ∧ 𝑞𝑉) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8281rexlimdva 3219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (∃𝑞𝑉 ⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8349, 82syl5bi 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8448, 83sylbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩, 𝑤⟩ ∈ 𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8546, 84syl5bi 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → (⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
8685alrimiv 2018 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))))
87 mo2icl 3583 . . . . . . . 8 (∀𝑤(⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤𝑤 = (𝐹‘(𝑝 · 𝑎))) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝑉)) → ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
8988ralrimivva 3159 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤)
90 fofn 6329 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉onto𝐵𝐹 Fn 𝑉)
91 opeq2 4596 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑎) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩)
9291breq1d 4854 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (⟨𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9392mobidv 2637 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐹𝑎) → (∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9493ralrn 6580 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9511, 90, 943syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9695ralbidv 3174 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑎𝑉 ∃*𝑤𝑝, (𝐹𝑎)⟩ 𝑤))
9789, 96mpbird 248 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
98 breq1 4847 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 𝑤 ↔ ⟨𝑝, 𝑦 𝑤))
9998mobidv 2637 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤))
10099ralxp 5465 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹∃*𝑤𝑝, 𝑦 𝑤)
10197, 100sylibr 225 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤)
102 ssralv 3863 . . . 4 (dom ⊆ (𝐾 × ran 𝐹) → (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)∃*𝑤 𝑥 𝑤 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10345, 101, 102sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤)
104 dffun7 6124 . . 3 (Fun ↔ (Rel ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∃*𝑤 𝑥 𝑤))
10519, 103, 104sylanbrc 574 . 2 (𝜑 → Fun )
106 eqimss2 3855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( = 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) → 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
10717, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
108 iunss 4753 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ ↔ ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
109107, 108sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑞𝑉 (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
110109r19.21bi 3120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑞𝑉) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
111110adantrl 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ )
112 dmss 5524 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → dom (𝑝𝐾, 𝑥 ∈ {(𝐹𝑞)} ↦ (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))) ⊆ dom )
11458, 113syl5eqssr 3847 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → (𝐾 × {(𝐹𝑞)}) ⊆ dom )
115 simprl 778 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → 𝑝𝐾)
116 fvex 6417 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑞) ∈ V
117116snid 4402 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}
118 opelxpi 5348 . . . . . . . . . 10 ((𝑝𝐾 ∧ (𝐹𝑞) ∈ {(𝐹𝑞)}) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
119115, 117, 118sylancl 576 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ (𝐾 × {(𝐹𝑞)}))
120114, 119sseldd 3799 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑞𝑉)) → ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
121120ralrimivva 3159 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom )
122 opeq2 4596 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝐹𝑞) → ⟨𝑝, 𝑦⟩ = ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩)
123122eleq1d 2870 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑞) → (⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ⟨𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
124123ralrn 6580 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
12511, 90, 1243syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
126125ralbidv 3174 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑞𝑉𝑝, (𝐹𝑞)⟩ ∈ dom ))
127121, 126mpbird 248 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
128 eleq1 2873 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑝, 𝑦⟩ → (𝑥 ∈ dom ↔ ⟨𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom ))
129128ralxp 5465 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom ↔ ∀𝑝𝐾𝑦 ∈ ran 𝐹𝑝, 𝑦⟩ ∈ dom )
130127, 129sylibr 225 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
131 dfss3 3787 . . . . 5 ((𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐾 × ran 𝐹)𝑥 ∈ dom )
132130, 131sylibr 225 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 × ran 𝐹) ⊆ dom )
13344, 132eqsstr3d 3837 . . 3 (𝜑 → (𝐾 × 𝐵) ⊆ dom )
13441, 133eqssd 3815 . 2 (𝜑 → dom = (𝐾 × 𝐵))
135 df-fn 6100 . 2 ( Fn (𝐾 × 𝐵) ↔ (Fun ∧ dom = (𝐾 × 𝐵)))
136105, 134, 135sylanbrc 574 1 (𝜑 Fn (𝐾 × 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100  wal 1635   = wceq 1637  wcel 2156  ∃*wmo 2631  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  wss 3769  c0 4116  {csn 4370  cop 4376   ciun 4712   class class class wbr 4844   × cxp 5309  dom cdm 5311  ran crn 5312  Rel wrel 5316  Fun wfun 6091   Fn wfn 6092  wf 6093  ontowfo 6095  cfv 6097  (class class class)co 6870  cmpt2 6872  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  s cimas 16365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-inf 8584  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-4 11362  df-5 11363  df-6 11364  df-7 11365  df-8 11366  df-9 11367  df-n0 11556  df-z 11640  df-dec 11756  df-uz 11901  df-fz 12546  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16171  df-imas 16369
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