MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscafn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscafn 17487
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
2 fvex 6903 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ V
31, 2fnmpoi 8058 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})
4 fnrel 6650 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
65rgenw 3063 . . . . 5 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7 reliun 5815 . . . . 5 (Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
86, 7mpbir 230 . . . 4 Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 17470 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
1817releqd 5777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rel βˆ™ ↔ Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
198, 18mpbiri 257 . . 3 (πœ‘ β†’ Rel βˆ™ )
20 dffn2 6718 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V)
213, 20mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V
22 fssxp 6744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V)
24 fof 6804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
2625ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
2726snssd 4811 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡)
28 xpss2 5695 . . . . . . . . . . . 12 ({(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡 β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
29 xpss1 5694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3123, 30sstrid 3992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3231ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
33 iunss 5047 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3517, 34eqsstrd 4019 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
36 dmss 5901 . . . . . . 7 ( βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) β†’ dom βˆ™ βŠ† dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
38 vn0 4337 . . . . . . 7 V β‰  βˆ…
39 dmxp 5927 . . . . . . 7 (V β‰  βˆ… β†’ dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) = (𝐾 Γ— 𝐡))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) = (𝐾 Γ— 𝐡)
4137, 40sseqtrdi 4031 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
42 forn 6807 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
4443xpeq2d 5705 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— ran 𝐹) = (𝐾 Γ— 𝐡))
4541, 44sseqtrrd 4022 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— ran 𝐹))
46 df-br 5148 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ )
4717eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
4847adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
49 eliun 5000 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
50 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘ž ∈ 𝑉))
511mpofun 7534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
52 funopfv 6942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = 𝑀))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = 𝑀)
54 df-ov 7414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩)
55 opex 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ V
56 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑀 ∈ V
5755, 56opeldm 5906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
581, 2dmmpo 8059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})
5957, 58eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
60 opelxp 5711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) ↔ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}))
62 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
63 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
64 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
65 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
6664, 65cbvmpov 7506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑧 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
6762, 63, 66, 2ovmpo 7570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
6861, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
6954, 68eqtr3id 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7053, 69eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7170adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
72 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
73 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž))
7461, 73simpl2im 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž))
7572, 74impel 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7671, 75eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)))
7776ex 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
7850, 77sylan2br 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
7978anassrs 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8079rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8149, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8248, 81sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8346, 82biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8483alrimiv 1928 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘€(βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
85 mo2icl 3709 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€(βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))) β†’ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
8786ralrimivva 3198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
88 fofn 6806 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
89 opeq2 4873 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© = βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩)
9089breq1d 5157 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9190mobidv 2541 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9291ralrn 7088 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9311, 88, 923syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9493ralbidv 3175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9587, 94mpbird 256 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀)
96 breq1 5150 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀))
9796mobidv 2541 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀))
9897ralxp 5840 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀)
9995, 98sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀)
100 ssralv 4049 . . . 4 (dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— ran 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀))
10145, 99, 100sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀)
102 dffun7 6574 . . 3 (Fun βˆ™ ↔ (Rel βˆ™ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀))
10319, 101, 102sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
104 eqimss2 4040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
10517, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
106 iunss 5047 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
107105, 106sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
108107r19.21bi 3246 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
109108adantrl 712 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
110 dmss 5901 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ β†’ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† dom βˆ™ )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† dom βˆ™ )
11258, 111eqsstrrid 4030 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† dom βˆ™ )
113 simprl 767 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐾)
114 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘ž) ∈ V
115114snid 4663 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π‘ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}
116 opelxpi 5712 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
117113, 115, 116sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
118112, 117sseldd 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ )
119118ralrimivva 3198 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ )
120 opeq2 4873 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© = βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩)
121120eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
122121ralrn 7088 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
12311, 88, 1223syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
124123ralbidv 3175 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
125119, 124mpbird 256 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ )
126 eleq1 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ dom βˆ™ ↔ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ))
127126ralxp 5840 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ )
128125, 127sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ )
129 dfss3 3969 . . . . 5 ((𝐾 Γ— ran 𝐹) βŠ† dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ )
130128, 129sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— ran 𝐹) βŠ† dom βˆ™ )
13144, 130eqsstrrd 4020 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— 𝐡) βŠ† dom βˆ™ )
13241, 131eqssd 3998 . 2 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ = (𝐾 Γ— 𝐡))
133 df-fn 6545 . 2 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ↔ (Fun βˆ™ ∧ dom βˆ™ = (𝐾 Γ— 𝐡)))
134103, 132, 133sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒ*wmo 2530   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βŸ¨cop 4633  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205   β€œs cimas 17454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-imas 17458
This theorem is referenced by:  imasvscaval  17488  imasvscaf  17489
  Copyright terms: Public domain W3C validator