MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscafn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscafn 17483
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
2 fvex 6905 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ V
31, 2fnmpoi 8056 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})
4 fnrel 6652 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
65rgenw 3066 . . . . 5 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7 reliun 5817 . . . . 5 (Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
86, 7mpbir 230 . . . 4 Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 17466 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
1817releqd 5779 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rel βˆ™ ↔ Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
198, 18mpbiri 258 . . 3 (πœ‘ β†’ Rel βˆ™ )
20 dffn2 6720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V)
213, 20mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V
22 fssxp 6746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V)
24 fof 6806 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
2625ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
2726snssd 4813 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡)
28 xpss2 5697 . . . . . . . . . . . 12 ({(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡 β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
29 xpss1 5696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3123, 30sstrid 3994 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3231ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
33 iunss 5049 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3517, 34eqsstrd 4021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
36 dmss 5903 . . . . . . 7 ( βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) β†’ dom βˆ™ βŠ† dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
38 vn0 4339 . . . . . . 7 V β‰  βˆ…
39 dmxp 5929 . . . . . . 7 (V β‰  βˆ… β†’ dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) = (𝐾 Γ— 𝐡))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) = (𝐾 Γ— 𝐡)
4137, 40sseqtrdi 4033 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
42 forn 6809 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
4443xpeq2d 5707 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— ran 𝐹) = (𝐾 Γ— 𝐡))
4541, 44sseqtrrd 4024 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— ran 𝐹))
46 df-br 5150 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ )
4717eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
4847adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
49 eliun 5002 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
50 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘ž ∈ 𝑉))
511mpofun 7532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
52 funopfv 6944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = 𝑀))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = 𝑀)
54 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩)
55 opex 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ V
56 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑀 ∈ V
5755, 56opeldm 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
581, 2dmmpo 8057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})
5957, 58eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
60 opelxp 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) ↔ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}))
62 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
63 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
64 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
65 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
6664, 65cbvmpov 7504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑧 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
6762, 63, 66, 2ovmpo 7568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
6861, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
6954, 68eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7053, 69eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7170adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
72 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
73 elsni 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž))
7461, 73simpl2im 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž))
7572, 74impel 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7671, 75eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)))
7776ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
7850, 77sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
7978anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8079rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8149, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8248, 81sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8346, 82biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8483alrimiv 1931 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘€(βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
85 mo2icl 3711 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€(βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))) β†’ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
8786ralrimivva 3201 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
88 fofn 6808 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
89 opeq2 4875 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© = βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩)
9089breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9190mobidv 2544 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9291ralrn 7090 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9311, 88, 923syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9493ralbidv 3178 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9587, 94mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀)
96 breq1 5152 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀))
9796mobidv 2544 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀))
9897ralxp 5842 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀)
9995, 98sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀)
100 ssralv 4051 . . . 4 (dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— ran 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀))
10145, 99, 100sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀)
102 dffun7 6576 . . 3 (Fun βˆ™ ↔ (Rel βˆ™ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀))
10319, 101, 102sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
104 eqimss2 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
10517, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
106 iunss 5049 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
107105, 106sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
108107r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
109108adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
110 dmss 5903 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ β†’ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† dom βˆ™ )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† dom βˆ™ )
11258, 111eqsstrrid 4032 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† dom βˆ™ )
113 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐾)
114 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘ž) ∈ V
115114snid 4665 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π‘ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}
116 opelxpi 5714 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
117113, 115, 116sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
118112, 117sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ )
119118ralrimivva 3201 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ )
120 opeq2 4875 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© = βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩)
121120eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
122121ralrn 7090 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
12311, 88, 1223syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
124123ralbidv 3178 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
125119, 124mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ )
126 eleq1 2822 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ dom βˆ™ ↔ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ))
127126ralxp 5842 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ )
128125, 127sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ )
129 dfss3 3971 . . . . 5 ((𝐾 Γ— ran 𝐹) βŠ† dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ )
130128, 129sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— ran 𝐹) βŠ† dom βˆ™ )
13144, 130eqsstrrd 4022 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— 𝐡) βŠ† dom βˆ™ )
13241, 131eqssd 4000 . 2 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ = (𝐾 Γ— 𝐡))
133 df-fn 6547 . 2 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ↔ (Fun βˆ™ ∧ dom βˆ™ = (𝐾 Γ— 𝐡)))
134103, 132, 133sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2533   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  Rel wrel 5682  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201   β€œs cimas 17450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-imas 17454
This theorem is referenced by:  imasvscaval  17484  imasvscaf  17485
  Copyright terms: Public domain W3C validator