MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscafn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasvscafn 17420
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasvscaf.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasvscaf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
imasvscaf.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
imasvscaf.g 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
imasvscaf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
imasvscaf.q Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
imasvscaf.s βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
imasvscaf.e ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
Assertion
Ref Expression
imasvscafn (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
Distinct variable groups:   𝑝,π‘Ž,π‘ž,𝐹   𝐾,π‘Ž,𝑝,π‘ž   πœ‘,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝐡,𝑝,π‘ž   𝑅,𝑝,π‘ž   Β· ,𝑝,π‘ž   βˆ™ ,π‘Ž,𝑝,π‘ž   𝑉,π‘Ž,𝑝,π‘ž
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘Ž)   𝑅(π‘Ž)   Β· (π‘Ž)   π‘ˆ(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝐺(π‘ž,𝑝,π‘Ž)   𝑍(π‘ž,𝑝,π‘Ž)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
2 fvex 6856 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) ∈ V
31, 2fnmpoi 8003 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})
4 fnrel 6605 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
65rgenw 3069 . . . . 5 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7 reliun 5773 . . . . 5 (Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 Rel (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
86, 7mpbir 230 . . . 4 Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
9 imasvscaf.u . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
10 imasvscaf.v . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
11 imasvscaf.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
12 imasvscaf.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑍)
13 imasvscaf.g . . . . . 6 𝐺 = (Scalarβ€˜π‘…)
14 imasvscaf.k . . . . . 6 𝐾 = (Baseβ€˜πΊ)
15 imasvscaf.q . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
16 imasvscaf.s . . . . . 6 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘ˆ)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 17403 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
1817releqd 5735 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Rel βˆ™ ↔ Rel βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
198, 18mpbiri 258 . . 3 (πœ‘ β†’ Rel βˆ™ )
20 dffn2 6671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) Fn (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) ↔ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V)
213, 20mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V
22 fssxp 6697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))):(𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})⟢V β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V)
24 fof 6757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
2511, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‰βŸΆπ΅)
2625ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ 𝐡)
2726snssd 4770 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ {(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡)
28 xpss2 5654 . . . . . . . . . . . 12 ({(πΉβ€˜π‘ž)} βŠ† 𝐡 β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
29 xpss1 5653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3027, 28, 293syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ ((𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) Γ— V) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3123, 30sstrid 3956 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3231ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
33 iunss 5006 . . . . . . . . 9 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3517, 34eqsstrd 3983 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
36 dmss 5859 . . . . . . 7 ( βˆ™ βŠ† ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) β†’ dom βˆ™ βŠ† dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V))
38 vn0 4299 . . . . . . 7 V β‰  βˆ…
39 dmxp 5885 . . . . . . 7 (V β‰  βˆ… β†’ dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) = (𝐾 Γ— 𝐡))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((𝐾 Γ— 𝐡) Γ— V) = (𝐾 Γ— 𝐡)
4137, 40sseqtrdi 3995 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— 𝐡))
42 forn 6760 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
4311, 42syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
4443xpeq2d 5664 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— ran 𝐹) = (𝐾 Γ— 𝐡))
4541, 44sseqtrrd 3986 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— ran 𝐹))
46 df-br 5107 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ )
4717eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
4847adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ ↔ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))))
49 eliun 4959 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
50 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉) ↔ ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘ž ∈ 𝑉))
511mpofun 7481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Fun (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
52 funopfv 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = 𝑀))
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = 𝑀)
54 df-ov 7361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩)
55 opex 5422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ V
56 vex 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑀 ∈ V
5755, 56opeldm 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
581, 2dmmpo 8004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)})
5957, 58eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
60 opelxp 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) ↔ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}))
6159, 60sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}))
62 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑝 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
63 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
64 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
65 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)) = (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
6664, 65cbvmpov 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) = (𝑧 ∈ 𝐾, 𝑦 ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑧 Β· π‘ž)))
6762, 63, 66, 2ovmpo 7516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
6861, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (𝑝(𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))(πΉβ€˜π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
6954, 68eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))β€˜βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7053, 69eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7170adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
72 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ ((πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))))
73 elsni 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘Ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž))
7461, 73simpl2im 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = (πΉβ€˜π‘ž))
7572, 74impel 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)) = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))
7671, 75eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) ∧ βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž)))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž)))
7776ex 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
7850, 77sylan2br 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉) ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
7978anassrs 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8079rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8149, 80biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8248, 81sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩, π‘€βŸ© ∈ βˆ™ β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8346, 82biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ (βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
8483alrimiv 1931 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆ€π‘€(βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))))
85 mo2icl 3673 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘€(βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀 β†’ 𝑀 = (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘Ž))) β†’ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
8684, 85syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘Ž ∈ 𝑉)) β†’ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
8786ralrimivva 3198 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀)
88 fofn 6759 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
89 opeq2 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© = βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩)
9089breq1d 5116 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9190mobidv 2548 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘Ž) β†’ (βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9291ralrn 7039 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9311, 88, 923syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9493ralbidv 3175 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘Ž)⟩ βˆ™ 𝑀))
9587, 94mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀)
96 breq1 5109 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀))
9796mobidv 2548 . . . . . 6 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀))
9897ralxp 5798 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβˆƒ*π‘€βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© βˆ™ 𝑀)
9995, 98sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀)
100 ssralv 4011 . . . 4 (dom βˆ™ βŠ† (𝐾 Γ— ran 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀))
10145, 99, 100sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀)
102 dffun7 6529 . . 3 (Fun βˆ™ ↔ (Rel βˆ™ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ™ βˆƒ*𝑀 π‘₯ βˆ™ 𝑀))
10319, 101, 102sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ Fun βˆ™ )
104 eqimss2 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( βˆ™ = βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
10517, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
106 iunss 5006 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
107105, 106sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
108107r19.21bi 3235 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘ž ∈ 𝑉) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
109108adantrl 715 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ )
110 dmss 5859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† βˆ™ β†’ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† dom βˆ™ )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ dom (𝑝 ∈ 𝐾, π‘₯ ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)} ↦ (πΉβ€˜(𝑝 Β· π‘ž))) βŠ† dom βˆ™ )
11258, 111eqsstrrid 3994 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}) βŠ† dom βˆ™ )
113 simprl 770 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐾)
114 fvex 6856 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘ž) ∈ V
115114snid 4623 . . . . . . . . . 10 (πΉβ€˜π‘ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}
116 opelxpi 5671 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ 𝐾 ∧ (πΉβ€˜π‘ž) ∈ {(πΉβ€˜π‘ž)}) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
117113, 115, 116sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ (𝐾 Γ— {(πΉβ€˜π‘ž)}))
118112, 117sseldd 3946 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ π‘ž ∈ 𝑉)) β†’ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ )
119118ralrimivva 3198 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ )
120 opeq2 4832 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© = βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩)
121120eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (πΉβ€˜π‘ž) β†’ (βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
122121ralrn 7039 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
12311, 88, 1223syl 18 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
124123ralbidv 3175 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘ž ∈ 𝑉 βŸ¨π‘, (πΉβ€˜π‘ž)⟩ ∈ dom βˆ™ ))
125119, 124mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ )
126 eleq1 2826 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ dom βˆ™ ↔ βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ ))
127126ralxp 5798 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝐾 βˆ€π‘¦ ∈ ran πΉβŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ∈ dom βˆ™ )
128125, 127sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ )
129 dfss3 3933 . . . . 5 ((𝐾 Γ— ran 𝐹) βŠ† dom βˆ™ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝐾 Γ— ran 𝐹)π‘₯ ∈ dom βˆ™ )
130128, 129sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— ran 𝐹) βŠ† dom βˆ™ )
13144, 130eqsstrrd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ— 𝐡) βŠ† dom βˆ™ )
13241, 131eqssd 3962 . 2 (πœ‘ β†’ dom βˆ™ = (𝐾 Γ— 𝐡))
133 df-fn 6500 . 2 ( βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡) ↔ (Fun βˆ™ ∧ dom βˆ™ = (𝐾 Γ— 𝐡)))
134103, 132, 133sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ βˆ™ Fn (𝐾 Γ— 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒ*wmo 2537   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3446   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  βˆͺ ciun 4955   class class class wbr 5106   Γ— cxp 5632  dom cdm 5634  ran crn 5635  Rel wrel 5639  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138   β€œs cimas 17387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-imas 17391
This theorem is referenced by:  imasvscaval  17421  imasvscaf  17422
  Copyright terms: Public domain W3C validator